八級數(shù)學(xué)下冊第18章平行四邊形整合提升密碼（新版）華東師大版

專訓(xùn)1判定平行四邊形的四種常用方法名師點(diǎn)金：判定平行四邊形的方法通常有四種，即定義和三種判定定理，選擇判定方法時(shí)，一定要結(jié)合題目的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，從而簡化解題過程．利用兩組對邊分別平行判定平行四邊形1．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且BF＝DE，連結(jié)AF，CE，BE，DF，AF與BE相交于M點(diǎn)，DF與CE相交于N點(diǎn)．求證：四邊形FMEN為平行四邊形．(第1題)利用兩組對邊分別相等判定平行四邊形2．如圖，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等邊三角形．求證：四邊形ADEF是平行四邊形．(第2題)利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形3．(中考·啟東)如圖，AB∥CD，AB＝CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，且BE＝CF.(1)求證：△ABE≌△DCF；(2)試證明：以A，F(xiàn)，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．(第3題)利用對角線互相平分判定平行四邊形4．(中考·哈爾濱)如圖①，?ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，EF過點(diǎn)O，與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH過點(diǎn)O，與AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，連結(jié)EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH.(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形；(2)如圖②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形(四邊形AGHD除外)．(第4題)專訓(xùn)2平行四邊形的性質(zhì)與判定的四種常見應(yīng)用題型名師點(diǎn)金：平行四邊形的性質(zhì)與判定定理的應(yīng)用是中考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，從平行四邊形的邊、角、對角線等方面進(jìn)行考查，題型多樣，一般以簡單題為主，有向解決實(shí)際問題方面發(fā)展的趨勢．利用性質(zhì)與判定判定平行四邊形1．如圖，在?ABCD中，AE，CF分別是∠DAB，∠BCD的平分線．求證：四邊形AFCE是平行四邊形．(第1題)利用性質(zhì)與判定探究線段的關(guān)系2．(中考·青島)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE⊥AE，垂足為E.(1)求證：△ABD≌△CAE；(2)連結(jié)DE，線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(第2題)利用性質(zhì)與判定探究四邊形的動點(diǎn)問題3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝8，M是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合)，連結(jié)PM并延長交AD的延長線于點(diǎn)Q.問：當(dāng)BP取何值時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形？請說明理由．(第3題)利用性質(zhì)與判定解決翻折問題4．如圖，在長方形紙片ABCD中，翻折∠B，∠D，使BC，AD都恰好落在AC上，F(xiàn)，H分別是B，D落在AC上的兩點(diǎn)，E，G分別是折痕CE，AG與AB，CD的交點(diǎn)．(1)求證：四邊形AECG是平行四邊形；(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求線段EF的長．(第4題)專訓(xùn)3全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用名師點(diǎn)金：本章是中考必考內(nèi)容，主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，也常與其他內(nèi)容相結(jié)合進(jìn)行綜合考查；其主要考點(diǎn)可概括為：一個(gè)圖形，一個(gè)性質(zhì)，一個(gè)判定，兩個(gè)技巧，一種思想．一個(gè)圖形——平行四邊形(第1題)1．如圖，E，F(xiàn)分別為平行四邊形ABCD兩對邊AD，BC的中點(diǎn)，AF與BE交于點(diǎn)G，CE與DF交于點(diǎn)H，連結(jié)GH，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為()A．7個(gè)B．8個(gè)C．9個(gè)D．10個(gè)一個(gè)性質(zhì)——平行四邊形的性質(zhì)2．如圖，已知D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CE∥AB，DE交AC于點(diǎn)O，且OA＝OC，猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．(第2題)一個(gè)判定——平行四邊形的判定3．如圖，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE.求證：四邊形DEBF是平行四邊形．(第3題)兩個(gè)作輔助線技巧eq\a\vs4\al(技巧1)連對角線或平移對角線4．(中考·遂寧)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF.求證：(1)AE＝CF；(2)四邊形AECF是平行四邊形．(第4題)eq\a\vs4\al(技巧2)作平行線間的垂線段5．如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形．求證：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.(第5題)一種思想——轉(zhuǎn)化思想6．如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在?ABCD的邊DC和CB上，且AE＝AF，DG⊥AF，BH⊥AE，點(diǎn)G，H是垂足．求證：DG＝BH.(第6題)答案eq\a\vs4\al(專訓(xùn)1)1．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.又∵DE＝BF，∴四邊形BFDE為平行四邊形．∴BE∥DF.同理AF∥CE.∴四邊形FMEN為平行四邊形．2．證明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等邊三角形，∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°，AC＝AF.∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，∴∠ABC＝∠DBE.∴△ABC≌△DBE.∴AF＝AC＝DE.∴AF＝DE.同理可證△ABC≌△FEC，∴AB＝EF.∴AD＝EF.∴四邊形ADEF是平行四邊形．3．證明：(1)∵AB∥CD，(第3題)∴∠B＝∠C.∵在△ABE與△DCF中，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝CF，∴△ABE≌△DCF(S.A.S.)．(2)如圖，連結(jié)AF，DE.由(1)知，△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，∴∠AEF＝∠DFE，∴AE∥DF，∴四邊形AFDE是平行四邊形，即以A，F(xiàn)，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．4．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.在△OAE與△OCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAO＝∠FCO，,OA＝OC，,∠AOE＝∠COF，))∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF.同理OG＝OH，∴四邊形EGFH是平行四邊形．(2)解：與四邊形AGHD面積相等的平行四邊形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH.eq\a\vs4\al(專訓(xùn)2)1．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∠BCD＝∠DAB.又∵AE，CF分別是∠DAB，∠BCD的平分線，∴∠EAB＝eq\f(1,2)∠DAB，∠DCF＝eq\f(1,2)∠DCB.∴∠EAB＝∠DCF.∵DC∥AB，∴∠DCF＋∠CFA＝180°.∴∠EAB＋∠CFA＝180°.∴AE∥CF.又∵DC∥AB，∴四邊形AFCE是平行四邊形．2．(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.又∵AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC.即∠ADB＝90°.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC.∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°.∴∠ADB＝∠CEA.又∵AB＝CA，∴△ABD≌△CAE(A.A.S)．(2)解：DE∥AB且DE＝AB.理由如下：∵△ABD≌△CAE，∴AE＝BD.又∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形．∴DE∥AB且DE＝AB.3．解：當(dāng)BP＝eq\f(13,2)時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形．理由：設(shè)PC＝x，則BP＝8－x.因?yàn)镸是CD的中點(diǎn)，所以DM＝CM.因?yàn)锳D∥BC，所以∠Q＝∠MPC.又因?yàn)椤螪MQ＝∠CMP，所以△DMQ≌△CMP.所以DQ＝PC＝x.所以AQ＝AD＋DQ＝5＋x.因?yàn)锽P＝AQ，所以8－x＝5＋x.解得x＝eq\f(3,2).所以BP＝8－eq\f(3,2)＝eq\f(13,2).故當(dāng)BP＝eq\f(13,2)時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形．4．(1)證明：由翻折可得∠GAH＝eq\f(1,2)∠DAC，∠ECF＝eq\f(1,2)∠ACB.∵四邊形ABCD是長方形，∴DA∥BC.∴∠DAC＝∠ACB.∴∠GAH＝∠ECF.∴AG∥CE.又∵AE∥CG，∴四邊形AECG是平行四邊形．(2)解：易得AC＝5cm，∴AF＝2cm，設(shè)EF＝BE＝xcm，則AE＝(4－x)cm，∴在Rt△AEF中，AE2＝AF2＋EF2.即(4－x)2＝22＋x2，解得x＝eq\f(3,2).∴線段EF的長為eq\f(3,2)cm.eq\a\vs4\al(專訓(xùn)3)1．B2．解：線段CD與線段AE平行且相等．理由：∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO.又∵OA＝OC，∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE.又∵OA＝OC，∴四邊形ADCE為平行四邊形，∴CD與AE平行且相等．3．證明：∵BE∥DF，∴∠AFD＝∠CEB.又∵∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，∴△ADF≌△CBE(A.A.S.)．∴DF＝BE.又∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．4．證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,∠ABE＝∠CDF，,BE＝DF，))∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF.(2)如圖，連結(jié)AC，與BD交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO.又∵BE＝DF，∴EO＝FO.∴四邊形AECF是平行四邊形．(第4題)5．證明：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)F，∴AC2＝AE2＋CE2＝AB2－BE2＋(BC－BE)2＝AB2＋BC2－2BE·BC，BD2＝DF2＋BF2＝(CD2－CF2)＋(BC＋CF)2＝CD2＋BC2＋2BC·CF.∴AC2＋BD2＝AB2＋CD2＋BC2＋BC2＋2BC·CF－2BE·BC.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD且AB＝DC，DA＝BC.∴∠ABE＝∠DCF.∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE≌△DCF.