《命名及其關(guān)系》 全市一等獎(jiǎng)

命題及其關(guān)系【方法技巧】1.將命題改寫為“若p,則q”形式的方法及原則2.命題改寫中的注意點(diǎn)若命題不是以“若p,則q”這種形式給出時(shí),首先要確定這個(gè)命題的條件p和結(jié)論q,進(jìn)而再寫成“若p,則q”的形式.【變式訓(xùn)練】將下列命題改寫成“若p,則q”的形式.(1)當(dāng)a>b時(shí),ac>bc.(2)同弧所對(duì)的圓周角不相等.【解題指南】解答此類問題時(shí)首先確定命題的條件p與結(jié)論q,然后再寫成“若p,則q”的形式.【解析】(1)若a>b,則ac>bc.(2)若兩個(gè)角為同弧所對(duì)的圓周角,則它們不相等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】指出下列命題的條件與結(jié)論并寫成“若p,則q”的形式:(1)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直.(2)平行于同一平面的兩條直線互相平行.【解析】(1)命題的條件是四邊形是平行四邊形,結(jié)論是:兩條對(duì)角線互相垂直.寫成“若p,則q”的形式為:若四邊形是平行四邊形,則它的兩條對(duì)角線互相垂直.(2)條件:兩條直線平行于同一平面,結(jié)論:它們互相平行,若兩條直線平行于同一平面,則它們互相平行.類型二命題真假判斷【典例2】(1)“方程x2+x+1=0有實(shí)根”是

命題(填“真”或“假”).(2)判斷下列命題的真假:①已知a,b,c,d∈R,若a≠c或b≠d,則a+b≠c+d;②空集是任何集合的真子集;③垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行.【解題探究】1.題(1)中方程x2+x+1=0的判別式是大于0還是小于0?該方程有實(shí)根嗎?2.題(2)中判斷一個(gè)命題是假命題或真命題的關(guān)鍵是什么?【探究提示】1.方程的判別式Δ=12-4=-3,故判別式小于0,該方程無實(shí)根.2.判斷一個(gè)命題是假命題只需舉一反例即可,要說明某個(gè)命題是真命題,必須用學(xué)過的公式定理加以證明.【自主解答】(1)因?yàn)棣?1-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0無實(shí)根,因此原命題是假命題.答案:假(2)①假命題.反例:1≠4或5≠2,而1+5=4+2.②假命題.空集是任何非空集合的真子集.③假命題.反例:有可能互相垂直.【方法技巧】判斷命題真假的策略(1)要判斷一個(gè)命題是真命題,一般要有嚴(yán)格的證明或有事實(shí)依據(jù),比如根據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證.(2)要判斷一個(gè)命題是假命題,只要舉一個(gè)反例即可.【變式訓(xùn)練】“常數(shù)列是等差數(shù)列”是

命題,“常數(shù)列是等比數(shù)列”是

命題.(填“真”或“假”)【解析】“常數(shù)列是等差數(shù)列”是真命題,“常數(shù)列是等比數(shù)列”是假命題.答案:真假【補(bǔ)償訓(xùn)練】把下列命題寫成“若p,則q”的形式,并判斷命題的真假.(1)正n邊形(n≥3)的n個(gè)內(nèi)角全相等.(2)菱形的對(duì)角線相等且互相平分.【解析】(1)此命題可改寫為:“若一個(gè)多邊形是正n邊形,則這個(gè)正n邊形的n個(gè)內(nèi)角全相等”.此命題是真命題.(2)命題“菱形的對(duì)角線相等且互相平分”,改寫為:“若一個(gè)四邊形是菱形,則它的對(duì)角線相等且互相平分”.此為假命題.【誤區(qū)警示】解答本題(2)易出現(xiàn)把命題的條件寫成“菱形的對(duì)角線相等”,結(jié)論寫成“它的對(duì)角線互相平分”的錯(cuò)誤,導(dǎo)致出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因是對(duì)“若p,則q”形式的命題理解不透所致.【拓展類型】由命題真假求參數(shù)范圍【備選例題】(1)命題“f(x)=ax是增函數(shù)”是真命題,則a的取值范圍是

.(2)已知命題P:lg(x2-2x-2)≥0;命題Q:1-x+<1,若命題P是真命題,命題Q是假命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=ax是增函數(shù),所以a＞1.答案：a＞1(2)由lg(x2-2x-2)≥0,得x2-2x-2≥1,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.由得x2-4x＜0,解得0＜x＜4.因?yàn)槊}P為真命題，命題Q為假命題，所以解得x≤-1或x≥4.所以，滿足條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-∞,-1］∪［4,+∞).【方法技巧】由命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧一般地,若命題Q是假命題,那么命題非Q就是真命題,它們的交集為,并集為全集R,實(shí)質(zhì)上當(dāng)命題Q是假命題時(shí),可先求出命題Q為真命題時(shí)的解集,然后求其補(bǔ)集即命題Q為假命題時(shí)的解集即可.【易錯(cuò)誤區(qū)】忽視命題的條件以及平面向量的運(yùn)算而致誤【典例】設(shè)p:平面向量a,b,c互不共線,q表示下列不同的結(jié)論:(1)|a+b|<|a|+|b|.(2)a·b=|a|·|b|.(3)(a·b)c-(a·c)b與a垂直.(4)(a·b)c=a(b·c).其中,使命題“若p,則q”為真命題的所有序號(hào)是

.【解析】由于p:平面向量a，b，c互不共線，則必有|a+b|＜|a|+|b|，(1)正確；由于a·b=|a||b|cosθ＜|a||b|，(2)不正確；由于［(a·b)c-(a·c)b］·a=(a·b)(c·a)-(a·c)(b·a)=0①，所以(a·b)c-(a·c)b與a垂直，(3)正確；由平面向量的數(shù)量積的定義知,(a·b)c與c共線，而a(b·c)與a共線，且a,b,c互不共線，故(a·b)c≠a(b·c)②，(4)不正確.綜上可知真命題的序號(hào)是(1)(3).答案：(1)(3)【常見誤區(qū)】錯(cuò)解錯(cuò)因剖析填(1)在①處忽視向量的數(shù)量積滿足分配律及數(shù)乘向量滿足結(jié)合律而導(dǎo)致漏掉答案(3)填(1),(4)在②處對(duì)向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律不理解而錯(cuò)選(4)【防范措施】1.注意命題的條件與結(jié)論若一個(gè)命題具備所給的條件,一定能得到所給的結(jié)論,它就是真命題;若不一定能或一定不能得到所給的結(jié)論,那么就是假命題,如本例命題的條件是判斷命題的結(jié)論是否成立的重要前提.2.平面向量的概念與運(yùn)算要明確平面向量與數(shù)量積的概念及運(yùn)算尤其是與實(shí)數(shù)運(yùn)算的不同,這是避免判斷命題真假出錯(cuò)的關(guān)鍵,如本例(4)是錯(cuò)誤的,根據(jù)數(shù)量積的定義可判斷.【類題試解】在

上填上適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)句,使其成為真命題:(1)若

,則a+b