高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-數(shù)列求和-裂項(xiàng)相消法

#/6例3求數(shù)列｛1n(n+l)(n+2)｝的前n和Sn例4求數(shù)列1vn+■；n+1的前n項(xiàng)和.例5：求數(shù)列11^312^413^51n(n+2)，…的前n項(xiàng)和S例6、求和Sn2242(2n)2++A+—1-33-5(2n-1)(2n+1)、累加法1適用于：a二a+f(n)這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個(gè)方法之一。n+1n2.若a-a=f(n)(n>2),n+1na—a=f(1)21a一a=f(2)32LLa-a=f(n)TOC\o"1-5"\h\zn+1n兩邊分別相加得a-a=￡f(n)n+11k=1例1已知數(shù)列｛a｝滿足a=a+2n+1,a=1，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。nn+1n1n解：由a=a+2n+1得a-a=2n+1貝yn+1nn+1na=(a-a)+(a-a)+L+(a-a)+(a-a)+annn-1n-1n-232211=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+L+(2x2+1)+(2x1+1)+1=2[(n-1)+(n-2)+L+2+1]+(n-1)+1=2(^+(n-1)+12=(n-1)(n+1)+1=n2所以數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=加。nn例2已知數(shù)列｛a｝滿足a=a+2x3n+1,a=3，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。nn+1n1n解法一：由a=a+2x3n+1得a-a=2x3n+1貝yn+1nn+1n

a=(a—a)+(a—a)+L+(a—a)+(a—a)+annn—1n—1n—232211=(2X3n-1+1)+(2X3n-2+1)+L+(2X32+1)+(2X31+1)+3=2(3n—1+3n—2+L+311貝Ua=xnx3n11貝Ua=xnx3n+x3n—.k=123(123(1—3n-1)1—3+(n—1)+3=3n—3+n—1+3=3n+n—1所以a=3n+n—1.naa21解法二：a=3a+2X3n+1兩邊除以3n+1，得才卄=n++—n+1n3n+13n33n+1TOC\o"1-5"\h\zaa21貝卩一n+1—n=+，'故3n+13n33n+1a+T3aaaaa+T3n=(―n—―n—1)+(―n—1—n2)+(―n2—n3)+L+3n3naa3n23n23n3n1n1(21)(21)(21)T(21)333n33n-133n-233232(n1)(1111L1)133n3n3n13n232因此a=因此a=如豈+龍(1—I3n31—3+1=+1—322x3n練習(xí)1.已知數(shù)列^^n｝的首項(xiàng)為1，a=a+2n(neN*)n+1n寫出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.答案：n2—n+1練習(xí)2已知數(shù)列練習(xí)2已知數(shù)列｛an｝滿足a1=31=a+n—1n(n—1)(n>2)，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.a答案：裂項(xiàng)求和n評(píng)注：已知a1評(píng)注：已知a1=aa—an+1=f(n)，，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng)a①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù),累加后可分組求和;③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù),累加后可裂項(xiàng)求和。例3?已知數(shù)列｛3｝中，"n>0且an,求數(shù)列｛3｝的通項(xiàng)公式.n-1+)n-1+)nn—1,又S1=ai得ai=1屛=呼，又an>$J2n(n+1)2,1nS二(a+——)Sn2nan解:由已知2an得化簡有汽-Si1=n，由類型(1)有S=S12+2+3+A+nJ2n(n+1)—J2n(n—1)此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.二、累乘法1.適用于：a=f(n)a這是廣義的等比數(shù)列n+1n累乘法是最基本的二個(gè)方法之二。2．若an2．若an+1anaa=f(n)，則-2=f(1)-3=f(2)丄a2，n+1=f(n)an兩邊分別相乘得，匚=a?打f(k)a11例4已知數(shù)列｛a｝滿足ann+1=2(n+1)5nxa-na=3，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。1n則則=2(n+1)5n，故an解：因?yàn)閍=2(n+1)5nxa-a=3，所以a豐0-n+1n1naaaaan-?—n-1?L?2?anaaaa1n-1n-221=[2(n-1+1)5”-1][2(n-2+1)5”-2]丄-[2(2+l)x52][2(1+l)x51]x3=2n-1[n(n-1)丄-3x2]x5(”-1)+(n-2)+l+2+1x3n(n—1)=3x2n-1x52xn!n(n-1)所以數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=3x2n-1x52xn!.nn例5?設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且°+也+1-nan+an+1an=0(n=1,2,3,…)，則它的通項(xiàng)公式是an=(a+a)kn+1)a-na]=0解：已知等式可化為：n+1nn+1nan>°(an>°(n￡"*)???(n+1)an+1-na=0,即ann+1an-1n—=ann-1aaaaaa=—?—?——n-1?A?亠?anaaa1n-1n-21n-1n-211-?1-nn-12=naaaa評(píng)注本題是關(guān)于n和an+1的二次齊次式，可以通過因式分解(一般情況時(shí)用求根公式)得到n與"n+1的更為明顯的關(guān)系式，從而求出an?練習(xí)?已知an+1=nan+n-ha1>-1,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.答案