高數(shù)微分方程模擬試題及答案

第七章常微分方程階段測(cè)驗(yàn)i使用班級(jí)（教師填寫）:題號(hào)—一—二二四五，六七八九總分得分閱卷人|一?單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共20分）題審|1?微分方程（y'Ay〃二1的階數(shù)為題審!（A）一（B）二（C）三（D）五題命線訂裝封題命線訂裝封|2?容易驗(yàn)證：y1=coswx,y2=sinwx（w>0）是二階微分方程y''+w2y=0的解，試指出下列哪個(gè)函數(shù)是方程的通解。（式中C1，C2為任意常數(shù)）（i(A)y=Ccoswx+Csinwx12(B)y=Ccoswx+2sinwx封出:封出:(C)y=Ccoswx+2Csinwx11(D)y=C2coswx+Csinwx12b.微分方程xy'=yIny-yInx是號(hào)學(xué)i（A）可分離變量方程；i（C號(hào)學(xué)i（A）可分離變量方程；i（C）一階線性微分方程;(B)(D)齊次方程；以上都不對(duì)。--題---答密（H?微分方程dx=S寸+三的解為i(A)y=(lnX+C)2x；(B)y=0；i(C)y=(ln|x|+C)2x和y=0；（D）以上都不對(duì)。|5.設(shè)f（x）,f'（x）為已知的連續(xù)函數(shù),則方程y'+f'（x）y=f（x）f'（x）的解是（(A)y=f(x)一1+(A)y=f(x)一1+ce-f(x)；(B)y=f(x)+1+ce-f(x)；：）寫填生學(xué)(級(jí)(C)y=f(x)一c+ce-f(x)；(D)y=f(x)+ce-f(x)|6.微分方程y"一y=ex+1的一個(gè)特解應(yīng)有形式(D)axex+b!(A)aex+b；(B)axex+bx；(C)(D)axex+b|7.微分方程y〃'+y'=sinx的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（(A)(A)Asinx(B)Acosx(C)(C)Asix+Bcosx(D)x(Asinx+Bcosx)(B)(B)(Ax2+Bx)cos2x(D)(Ax+B)cos2xE.微分方程y''+y=xcos2x的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（|(A)(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2xi(C)Acos2x+Bsin2xp?微分方程y〃+2y'+1=0的通解是（(A)y=(Ci+C2x)e-x；(B)(C)(C)i(C)y=C+Ce-2x-1x；122y=C1cosx+C2sinx-2x°嚴(yán)?設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)y1，y2,y3都是二階非齊次線性方程y"+p（x）y+q（x）y=f（x）的解，i|C1，C2是任意常數(shù)’則該非齊次方程的通解是（|(|(A)Ciyi+乍2+y3；(B)Cy+Cy-(C+C)y1122123|(|(C)C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3；(D)Cy+Cy+(1—C—C)y1122123TOC\o"1-5"\h\z|二?填空題（每小題3分，共15分）I|1?一曲線上點(diǎn)（x,y）的切線自切點(diǎn)到縱坐標(biāo)軸間的切線段有定長(zhǎng)2,則曲線應(yīng)滿足的微分方|程。Ib.鐳的衰變速度與它的現(xiàn)存量m成正比（比例系數(shù)為k），已知在時(shí)刻鐳的存量為m，則鐳|0|的量m與時(shí)間t應(yīng)滿足的微分方程初值問(wèn)題是。|〔3?—質(zhì)量為m的物體在空氣中由靜止開(kāi)始下落。已知空氣阻力與下落速度平方成正比（比例||系數(shù)為k），則物體下落的速度與時(shí)間應(yīng)滿足的微分方程初值問(wèn)題i.實(shí)用文檔..實(shí)用文檔.II|4.滿足方程x2y"=1,y'(l)=-1,y(1)=0的解為。Ii〔5?設(shè)f(t),f(t)，…,f(t)是定義在區(qū)間［a,卩］上的函數(shù)組，則f(t),f(t)，…,f(t)線性無(wú)關(guān)|12n12nI的含義是—Ii三.求下列微分方程的解(每小題7分，共49分)|i1、求微分方程(xy'—y)cos2上+x=0的通解。：x|2、求微分方程2x(yex2—1)dx+ex2dy二0的通解|3、求微分方程yy"+y'2二0的通解TOC\o"1-5"\h\zIIiix+y.x-y!4、求微分方程y'+sm=sm的通解。ii22i|5、求微分方程x2y〃+xy'二1的通解|6、求微分方程y〃+2y'-3y=0的一條積分曲線，使其在原點(diǎn)處與直線y=4x相切實(shí)用文檔實(shí)用文檔5.(A)10.(D)dm72.=-km,5.(A)10.(D)dm72.=-km,mdtil.x2+(xy‘)2=41,k[3.v'+vI2=g,vm胃.只有當(dāng)實(shí)數(shù)q,k2,k3,…,k全為零，才能使等式kJ1(t)+k2f(t)+???+kf(t)=m0(k是比例系數(shù))4.y=-Inx0對(duì)于所有te[a,P]成立。I三.求下列微分方程的解(每小題7分,y'=y-丄xcos2-x1?-i1、解：原方程化為:iddx:C0S2udu=-;x!以u(píng)=-代入得原方程的通解:x共49分)令y=ux,上述方程化為:積分得：丄u+丄sin2u=-Inx+C'^242—+sin叟+4Inx=Cxx|一?單項(xiàng)選擇題(每小題3分，本題共15分)|1.(B)2.(A)3.(B)4.(C)〔6.(D)7.(D)8(A)9.(C)I二?填空題(每小題3分，共15分)'2、解：方程改變?yōu)榫€性微分方程:y+2xy=2xe-xiyp+p'2、解：方程改變?yōu)榫€性微分方程:iyp+p2=0解得：p=十；把y'=p代入p=—dyyy|故通解為:y=e-x2+J2xe-x2-ex2dx；即：y=|故通解為:y=e-x2k、解：令y'=p，則y〃=p瑋代入方程yy"+y'2=0得:|dy

y2得通解為：亍=丫+C2x+y.x一4、解：因?yàn)閤+y.x一4、解：因?yàn)閟in一sini2Idyx?y八+2cos—sm=0'dx222-=2cos|sin2，故原方程可化簡(jiǎn)為dy2sin—2分離變量得:=-cos-dx2:y積分得通解：訟叮一噸+C11|5、解：11|5、解：y+y'=-:xx2Iy'=1[ln|.x|x+C]；y=—ln2x+Cln|x|+C|6、解：方程的通解為:|6、解：方程的通解為:y=Cex+Ce-3x12C=1,C12由已知y(0)=0,y'(0)C=1,C12故所求積分曲線的方程為：y二ex-e-3x|7、解：特征方程r2+1=0的根為ru=±'；因?yàn)閏hx=2ex+e-x故設(shè)特解為:y*=Aex+Be-x代入方程得:y*=-(ex+e-x)=1|代入方程得:1|易知9*(x)=2ex是非齊次方程的一個(gè)特解，故非齊次方程的通解為42四.解等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：0(x)=ex-fxQ(t)dt,0I再求導(dǎo)得微分方程:9(x)''=ex-q(x),即Q(x)"+Q(x)=ex|微分方程的特征方程為：r+1=0。i其根為r=±i。故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：9(x)=Ccosx+Csinxi1,21211艸(x)=Ccosx+Csinx+ex由所給等式知申(0)=1,0(0)=1,由此得二C2二2.122122!1i因此申(x)=—(cosx+sinx+ex)12|五.解設(shè)點(diǎn)(x,y)為曲線上任一點(diǎn)，則曲線在該點(diǎn)的切線方程為：Y-y=yr(X-x)