第四章·幾何圖形初步·第2課時(shí)·直線、射線、線段和反向延長線

初中數(shù)學(xué)第四章《幾何圖形初步》“直線、射線、線段、反向延長線”培訓(xùn)教程知識點(diǎn)精講幾何圖形中有四種線，即：直線、射線、線段和反向延長線。問(1)：在平面內(nèi)，如何作一條直線？如何確定兩條直線相交？圖1圖2答：依據(jù)“直線公理”：兩點(diǎn)確定一條直線。如圖1，在平面內(nèi)任取兩點(diǎn)A、B，把點(diǎn)A、B用直線連接起來，再把這條線的兩端延長，就作出了一條直線AB。答：當(dāng)兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這兩條直線相交。這個(gè)公共點(diǎn)叫做這兩條直線的交點(diǎn)。如圖2，直線AB和CD只有一個(gè)公共點(diǎn)O，則這兩條直線相交，點(diǎn)O就是直線AB和CD的交點(diǎn)。問(2)：如何區(qū)分直線、射線、線段和反向延長線？答：依據(jù)定義區(qū)分，如圖所示：①直線就是沒有端點(diǎn)、可以向兩邊無限延伸、不能測量長度的線。如圖，就是直線，沒有端點(diǎn)，可以向兩端無限延伸。②射線就是有一個(gè)端點(diǎn)，可以向另一邊無限延伸、不能測量長度的線。如圖，、就是射線，有一個(gè)端點(diǎn)O，向另一邊無限延伸。③線段就是直線上任意兩點(diǎn)之間的部分，有兩個(gè)端點(diǎn)，可以測量長度的線。如圖，AB就是線段，有兩個(gè)端點(diǎn)A、B，可以測量長度。④反向延長線就是從一條射線或線段的端點(diǎn)出發(fā)，與從這個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的射線或線段的方向相反，且和這條射線或線段在同一條直線上的射線或線段。任意一條射線或線段都有反向延長線，直線沒有反向延長線。如圖，射線OA從線段OB的端點(diǎn)O出發(fā)，與從點(diǎn)O出發(fā)的線段OB的方向相反，且和OB在同一條直線上且。此時(shí)，射線OA就是線段OB的反向延長線。【例1】直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)和及其對應(yīng)的線段條數(shù)如下表所示。由表中的數(shù)據(jù)分析：當(dāng)直線上增至9個(gè)點(diǎn)時(shí)，直線上有多少條線段？直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)23456直線上線段的條數(shù)1361015解：分析表中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：如表所示：直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)增至n個(gè)時(shí)，直線上線段的條數(shù)則對應(yīng)增加n－1條。∴當(dāng)直線上增至7個(gè)點(diǎn)時(shí)，直線上線段的條數(shù)則對應(yīng)增加6條，線段的條數(shù)=15＋6=21條。當(dāng)直線上增至8個(gè)點(diǎn)時(shí)，直線上線段的條數(shù)則對應(yīng)增加7條，線段的條數(shù)=21＋7=28條。當(dāng)直線上增至9個(gè)點(diǎn)時(shí)，直線上線段的條數(shù)則對應(yīng)增加8條，線段的條數(shù)=28＋8=36條。線段的長度就是線段兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離。線段之間，可以通過測量比較長短也可以不用測量比較長短。問(3)：不用測量線段的長度，如何比較兩條線段的長短？圖1圖2圖3答：如圖，已知線段AB和。把AB移到上，使端點(diǎn)A、重合。①如圖1，若端點(diǎn)B、也重合，則這兩條線段兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離相等，所以兩條線段的長度相等，即：AB=；②如圖2，若端點(diǎn)B落在之內(nèi)，則端點(diǎn)A、B之間的距離小于端點(diǎn)、之間的距離，所以線段AB的長小于線段的長，即：AB＜；③如圖3，若端點(diǎn)B落在之外，則端點(diǎn)A、B之間的距離大于端點(diǎn)、之間的距離，所以線段AB的長大于線段的長，即：AB＞。由以上比較兩條線段長短的方法可知：不用測量線段的長度，通過平移重疊的方式就可以比較兩條線段的長短。問(4)：運(yùn)用這種方法，如何表示兩條線段之和、兩條線段之差？答：如圖，已知線段AB和。①將這兩條線段AB、移到同一條直線上，使端點(diǎn)B、重合，線段AB、不重疊。由此得到的線段A的長度就是兩條線段之和，即：AB＋=A。②若這兩條線段長度不相等，AB＜，使端點(diǎn)A、重合，線段AB、重疊。因?yàn)榫€段AB比短，所以端點(diǎn)B落在之內(nèi)。由此得到線段B就是兩條線段之差，即：－AB=B。若這兩條線段長度相等，AB=，則端點(diǎn)A、和B、都重合，所以兩條線段重合，沒有剩余部分，兩條線段之差為0，即：AB－=0。在一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)之間取一點(diǎn)，把這條線段分成兩條相等的線段，就得到了這條線段的中點(diǎn)。問(5)：什么是線段的中點(diǎn)？什么是線段的三分點(diǎn)、四分點(diǎn)？由此類推，從中可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？圖1：AOB圖2：ACDB圖3：AEFGB答：將一條線段分成相等的兩條線段的點(diǎn)叫做這條線段的中點(diǎn)，又稱之為“二分點(diǎn)”。線段有一個(gè)“二分點(diǎn)”。如圖1，AO=OB，點(diǎn)O就是線段AB的中點(diǎn)，即線段AB的“二分點(diǎn)”。答：由此類推：如圖2，將一條線段AB分成相等的三條線段的點(diǎn)C、D叫做這條線段的“三分點(diǎn)”。線段有兩個(gè)“三分點(diǎn)”。如圖3，將一條線段AB分成相等的四條線段的點(diǎn)E、F、G叫做這條線段的“四分點(diǎn)”。線段有三個(gè)“四分點(diǎn)”。由此可知：把一條線段分成相等的n條線段的點(diǎn)叫做線段的“n分點(diǎn)”。線段的“n分點(diǎn)”有n－1個(gè)?！纠?】已知一條線段上有12分點(diǎn)，線段長度是39厘米。求：從這條線段上從左起第一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的所有線段的長共有多少厘米？解：如圖，12分點(diǎn)把線段分成了相等的13條線段，每條線段長=39÷13=3厘米。從這條線段上左起第一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)，和其他13個(gè)點(diǎn)中的每一點(diǎn)都能形成一條線段，共13條線段。長度從小到大依為：3,6,9,12,15,18，21，24，27,30,33,36,39?！嗨芯€段的長=273厘米?！纠?】已知兩根木條，一根長60cm，一根長100cm，將它們的一端重合，放在同一條直線上，求此時(shí)兩根木條中點(diǎn)之間的距離。解：這兩根木條可以看作兩條線段。設(shè)線段AB=60cm，=100cm?？梢杂袃煞N放法： 第一種是線段AB和的端點(diǎn)B、重合，兩線段不重疊，放在同一條直線上。如圖，分別取線段AB和的中點(diǎn)C和D,兩中點(diǎn)之間的距離CD=CB＋D。∵中點(diǎn)將線段分成相等的兩條線段。∴CB=AB=30cm，D==50cm?！郈D=CB＋D=30＋50=80cm。第二種是線段AB和的端點(diǎn)A、重合，兩線段重疊，放在同一條直線上。如圖，分別取線段AB和的中點(diǎn)C和D，兩中點(diǎn)之間的距離CD=D－AC。∵中點(diǎn)將線段分成相等的兩條線段?！郃C=AB=30cm，D==50cm。∴CD=D－AC=50－30=20cm。兩點(diǎn)之間的所有連線中，不僅有線段，而且有折線和曲線。問(6)：兩點(diǎn)之間的所有連線中，哪一種連線最短？答：“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短?！边@一結(jié)論通常稱之為“線段公理”。公理是經(jīng)過長期反復(fù)的實(shí)踐檢驗(yàn)，已經(jīng)證明是正確的事實(shí)，不需要再證明?！纠?】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，D是斜邊AB上的一定點(diǎn)，P是直角邊AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)。如何在直角邊AC邊上作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B、D的距離最短？寫出作法，并說明理由。圖1圖2作法：①如圖2，過點(diǎn)D作⊥AC，垂足為點(diǎn)E；②延長DE至點(diǎn)，使DE=E；③連接點(diǎn)B、，交AC于點(diǎn)P。點(diǎn)P就是AC邊上到點(diǎn)B、D的距離最短的點(diǎn)。理由：如圖2，△DEP和△EP的對應(yīng)邊DE=E，EP=EP，對應(yīng)角∠DEP=∠EP=Rt∠,所以△DEP△EP沿公共邊EP折疊能互相重合，則對應(yīng)邊PD和P重合，PD=P。所以，點(diǎn)P到點(diǎn)B、D的距離PB+PD等于兩點(diǎn)之間的線段長B。依據(jù)線段公理“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短”，則點(diǎn)P就是AC邊上到點(diǎn)B、D的距離最短的點(diǎn)。典型題型精編解析選擇題：1.以下判斷錯(cuò)誤的是（）A.若兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)，則這兩條直線必然相交B.任意兩點(diǎn)都能確定一條直線C.線段就是有兩個(gè)端點(diǎn)、可以測量長度的直線D.只有射線和線段能反向延長，直線不能反向延長【答案】C【解析】A項(xiàng)是兩條直線相交的定義。故A項(xiàng)正確。B項(xiàng)是“直線公理”。故B項(xiàng)正確。反向延長線是從同一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的、方向相反、且在同一條直線上的兩條射線或線段。射線和線段有端點(diǎn)，可以反向延長。直線沒有端點(diǎn)，不能反向延長，只能向兩邊無限延長。故D項(xiàng)正確。線段是直線上兩點(diǎn)之間的部分，和直線有區(qū)別，不能把線段看作直線，故C項(xiàng)錯(cuò)誤。選C。2.下列結(jié)論正確的一組是()OAB①直線AB與直線BA是同一條直線②射線OA、OB和AB是同一條射線③線段AB與線段BA是同一條線段④線段AO是線段BA的反向延長線⑤射線AO是射線AB的反向延長線A.②④B.①③⑤C.①⑤D.①③④【答案】B【解析】同一條直線可以用直線上的任意兩點(diǎn)表示。點(diǎn)A、B在同一條直線上。所以，直線AB與直線BA表示的是同一條直線。故①正確。端點(diǎn)相同、方向相同、且在同一條直線上的的射線才是同一條射線。射線OA、OB的端點(diǎn)都是O，方向都向右，且在同一條直線上。所以射線OA、OB是同一條射線。射線AB的端點(diǎn)是A，和OA、OB不是同一個(gè)端點(diǎn)，和OA、OB不是同一條射線。故②錯(cuò)誤。同一條線段可以用線段上的任意兩端點(diǎn)表示。點(diǎn)A、B是同一條線段的兩端點(diǎn)。所以，線段AB與線段BA表示的是同一條線段。故③正確。反向延長線就是和已知一條射線或線段的端點(diǎn)相同，向這條射線或線段的相反方向延伸，且與這條射線或線段在同一條直線上的射線。線段BA表示的方向是由右向左，和線段AO表示的方向相同，不是相反，且出發(fā)的端點(diǎn)也不同，所以，線段AO不是線段BA的反向延長線。故④錯(cuò)誤。射線AO和射線AB符合反向延長線的定義。故⑤正確。故①③⑤正確。選B。3.如圖，線段AB=CD，BD=BE，則線段AC和DE的大小關(guān)系是()ACBDEA.AC＞DEB.AC＜DEC.AC=DED.不能確定【答案】C【解析】如圖，AC=AB－CB，BD=CD－CB。已知AB=CD，代換得：BD=AB－CB。所以，AC=BD。由已知BD=BE可知：點(diǎn)D是DE的中點(diǎn)，則BD=DE。代換得：AC=DE。故選C。4.如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CB的三等分點(diǎn)。若AB=8，則線段CD的長等于（）ACDBA.2B.C.D.2【答案】D【解析】已知：點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)。則：CB=AB。已知AB=8，則：CB=·8=4。由已知“點(diǎn)D是線段CB三等分點(diǎn)”可得：DB=CB。則CD=CB－DB=CB－CB=CB=·4==2。故選D。填空題：1.如圖，直線上依次有5個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E，則圖中線段有_____條，射線有_____條，線段DE的反向延長線有_____條。ABCDE【答案】10；10；1【解析】(1)線段是直線上任意兩點(diǎn)之間的部分。如圖，已知直線上依次有5個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E，其中任意兩點(diǎn)之間的部分就是線段。以點(diǎn)A為端點(diǎn)，從左向右數(shù)，有AB、AC、AD、AE四條線段；以點(diǎn)B為端點(diǎn)，從左向右數(shù)，有BC、BD、BE三條線段；以點(diǎn)C為端點(diǎn)，從左向右數(shù)，有CD、CE兩條線段；以點(diǎn)D為端點(diǎn)，從左向右數(shù)，有CE一條線段。共10條。注意：不要把重復(fù)的同一條線段計(jì)算在內(nèi)。比如，線段AB和線段BA是重復(fù)的同一條線段。(2)如圖，分別以點(diǎn)A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)，向左、向右延伸。從每個(gè)端點(diǎn)出發(fā)，各有左、右兩條射線，五個(gè)端點(diǎn)共有10條不同的射線。注意：端點(diǎn)相同、方向相同、且在同一條直線上的射線是同一條射線。不要把重復(fù)的同一條射線計(jì)算在內(nèi)。(3)反向延長線是一條射線，它與原射線或線段從同一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)、方向相反、且在同一條直線上。如圖，直線上線段DE表示的方向是從端點(diǎn)D出發(fā)，由點(diǎn)E方向延伸，其反向延長線就是從同一個(gè)端點(diǎn)D出發(fā)，向與線段DE相反方向延伸，且與線段DE在同一條直線上的射線。如圖，這樣的射線有DC、DB、DA，三條射線端點(diǎn)相同、方向相同、且在同一條直線上，其實(shí)是同一條射線，故線段DE的反向延長線有1條。2.如圖，點(diǎn)M、C是線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線段MB的三等分點(diǎn)，若AC=12，則CB=______。AMCB【答案】【解析】由已知可得：AM=MB，且CB=MB，即MB=3CB，又AC=AM＋MC=12。如圖，MB=MC＋CB，已知MB=3CB，代換得：3CB=MC＋CB，整理得：MC=2CB。已知AM=MB=MC＋CB，且MC=2CB，代換得：AM=2CB＋CB=3CB。已知AM＋MC=12，代換得：3CB＋2CB=12。解得：CB=。解此題的關(guān)鍵在于由已知數(shù)據(jù)和條件得出等式，進(jìn)行等量代換。注意做到步驟清晰，不要亂。3.如圖，若點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的二等分點(diǎn)，且點(diǎn)E是在線段AB的延長線上，BE=CB，則線段DB、CE的大小關(guān)系是___________。ADCBE【答案】相等【解析】由已知可得：AC=AB，DC=AC。如圖，DB=DC＋CB，且DC=AC，代換得：DB=AC＋CB。如圖，AB=AC＋CB，且AC=AB，即AB=3AC。代換得：3AC=AC＋CB，化簡得：AC=CB，代入DB=AC＋CB得：DB=·CB＋CB=CB。。如圖，CE=CB＋BE，且已知BE=CB，代換得：CE=CB＋CB=CB。所以，DB=CE=CB。解此題的關(guān)鍵在于由已知數(shù)據(jù)和條件得出等式，進(jìn)行等量代換。注意做到步驟清晰，不要亂。4.已知“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，這一定理成立的依據(jù)是___________________?！敬鸢浮烤€段公理?！窘馕觥俊皟牲c(diǎn)之間的所有連線中，線段最短?！边@就是線段公理。公理就是人類經(jīng)過長期反復(fù)實(shí)踐檢驗(yàn)得出的不證自明的基本事實(shí)，不需要證明。把三角形的第三邊看作是連接兩點(diǎn)的線段，另兩邊看作是連接兩點(diǎn)的兩條折線。依據(jù)線段公理，另兩邊兩條折線的長一定大于第三邊線段的長。即：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。解答題：1.兩條直線相交，最多有一個(gè)交點(diǎn)。三條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？四條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？五條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？依次類推，n條直線相交，最多有幾個(gè)交點(diǎn)？解：兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)。三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)，對應(yīng)增加2個(gè)交點(diǎn)。四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，對應(yīng)增加3個(gè)交點(diǎn)。五條直線相交，最多有10個(gè)交點(diǎn)，對應(yīng)增加4個(gè)交點(diǎn)。依次類推，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：n條直線相交，對應(yīng)增加n－1個(gè)交點(diǎn)。從1個(gè)交點(diǎn)算起，把增加的交點(diǎn)個(gè)數(shù)依次相加，得數(shù)就是n條直線相交最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。即：1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)個(gè)。設(shè)：W=1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)＋n。①把①式從右向左相加寫成：W=n＋(n－1)＋(n－2)＋……＋4＋3＋2＋1。②∵兩等式左右兩邊同時(shí)相加，所得依然相等。∴①＋②得：2W=(n＋1)＋(n＋1)＋……＋(n＋1)。∵兩等式右邊一一對應(yīng)相加，是n個(gè)n＋1相加，即：n(n＋1)。∴2W=n(n＋1)，則W=。即：1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)＋n=?！?＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)=－n=。即：n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)，n是正整數(shù)，n≥2?！咀ⅰ拷獯祟}的關(guān)鍵在于探