“空間向量與立體幾何”備考進行時(全文)

精品文檔-下載后可編輯“空間向量與立體幾何”備考進行時(全文)在江蘇新課標高考中，建立適當的空間直角坐標系，利用向量的坐標運算證明線線、線面、面面的平行與垂直，以及空間角（線線角、線面角、面面角）與距離的求解問題，歷來是附加題命題的熱點，難度中等.那么立體幾何中的空間向量法主要涉及哪些問題呢？

一、利用向量證明平行與垂直

例1如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，點M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角.

（1）求證：CM∥平面PAD;

（2）求證：平面PAB平面PAD.

分析：（1）建立空間直角坐標系，證明向量CM與平面PAD的法向量垂直.（2）取AP的中點E，利用向量證明BE平面PAD即可.

證明：以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.

PC平面ABCD，

∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，

∠PBC=30°.

PC=2，BC=23，PB=4.

D（0，1，0），B（23，0，0），A（23，4，0），P（0，0，2），M（32，0，32），

DP=（0，-1，2），DA=（23，3，0），CM=（32，0，32），

（1）令n=（x，y，z）為平面PAD的一個法向量，則DP?n=0，

DA?n=0，

即-y+2z=0，

23x+3y=0，z=12y，

x=-32y，

令y=2，得n=（-3，2，1）.

n?CM=-3×32+2×0+1×32=0，

nCM，

又CM平面PAD，CM∥平面PAD.

（2）取AP的中點E，并連接BE，則E（3，2，1），BE=（-3，2，1），

PB=AB，BEPA.

又BE?DA=（-3，2，1）?（23，3，0）=0，

BEDA，則BEDA.

PA∩DA=A.BE平面PAD，

又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.

評注：（1）證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零，或證明直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，然后說明直線在平面外即可.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉化為直線與直線垂直證明.

二、利用空間向量求線線角、線面角

例2如圖，已知點P在正方體ABCDA′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°.

（1）求DP與CC′所成角的大小;

（2）求DP與平面AA′D′D所成角的大小.

分析：由正方體的幾何特征，易于建立空間坐標系，關鍵在于求直線DP的一個方向向量，可延長DP交D′B′于點H，可轉化為向量DH的坐標.

解：如圖，以D為原點，DA所在直線為x軸，建立空間直角坐標系Dxyz，

設正方體棱長為1，則DA=（1，0，0），CC1=（0，0，1）.連接BD，B′D′，在平面BB′D′D中，延長DP交B′D′于H.

設DH=（m，m，1）（m>0），由已知〈DH，DA〉=60°，

由DA?DH=|DA||DH|cos〈DH，DA〉，可得2m=2m2+1.

解得m=22，所以DH=（22，22，1）.

（1）因為cos〈DH，CC′〉=22×0+22×0+1×11×2=22，

所以〈DH，CC′〉=45°.即DP與CC′所成的角為45°.

（2）平面AA′D′D的一個法向量是DC=（0，1，0）.

因為cos〈DH，DC〉=22×0+22×1+1×01×2=12，所以〈DH，DC〉=60°.

可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.

評注：1.用向量法求線線角，線面角的一般步驟為：①建立恰當的空間直角坐標系;②求出相關點坐標，寫出相關向量坐標;③結合公式進行計算.解本題的關鍵在于求向量DH的坐標，根據向量平行，求向量DH，簡化了解題過程.

2.（1）異面直線所成角θ（0°

三、利用向量求二面角

例3如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側棱A1A底面ABCD，AB∥DC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點.

（1）證明B1C1CE;

（2）求二面角B1CEC1的正弦值;

（3）設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為26，求線段AM的長.

分析：由條件特征，易建立空間坐標系，方便運用向量求解.（1）利用向量證明B1C1?CE=0;（2）求平面B1CE與平面CEC1的法向量，進而求二面角的正弦值;（3）設出EM=λEC1，根