2021-2022學年湖北省荊州市區(qū)李埠中學高二數學理下學期期末試卷含解析

2021-2022學年湖北省荊州市區(qū)李埠中學高二數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.實軸長為4，且焦點為（±5，0）的雙曲線的標準方式為（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：A【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】根據題意，可以設要求雙曲線的標準方程為﹣=1，又由其實軸長分析可得a的值，代入雙曲線的方程計算可得答案．【解答】解：根據題意，要求雙曲線的焦點為（±5，0），在x軸上，且c=5，則設其標準方程為﹣=1，又由其實軸長為4，則2a=4，即a=2，代入雙曲線的方程可得：﹣=1，故選：A．2.過原點且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為（

）A．

B．

C．2

D．

參考答案：A3.圓錐曲線）橢圓的離心率等于（

）A．

B．

C．

D．2參考答案：C略4.不等式的解集為(

)A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）參考答案：B考點：一元二次不等式的解法．專題：計算題．分析：先將此分式不等式等價轉化為一元二次不等式組，特別注意分母不為零的條件，再解一元二次不等式即可解答： 解：不等式?（x+1）（x﹣2）≤0且x≠2?﹣1≤x≤2且x≠2?﹣1≤x＜2故選B點評：本題考察了簡單分式不等式的解法，一般是轉化為一元二次不等式來解，但要特別注意轉化過程中的等價性5.當時，下面的程序段輸出的結果是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知函數，，，使得成立，則實數a的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】先求導，求出的最值，再根據，使得，得到關于a的不等式解得即可．【詳解】∵，故的最小值為;函數≤a,故a≥e故選：A．【點睛】本題考查了導數與函數的最值問題，以及不等式有解問題，雙變元問題，考查轉化化歸能力，屬于中檔題．7.用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”則假設的內容是（）A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除C．a，b不能被5整除 D．a，b有1個不能被5整除參考答案：B【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】反設是一種對立性假設，即想證明一個命題成立時，可以證明其否定不成立，由此得出此命題是成立的．【解答】解：由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設其否定成立進行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故應選B．【點評】反證法是命題的否定的一個重要運用，用反證法證明問題大大拓展了解決證明問題的技巧．8.計算（ex+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣1參考答案：C【考點】67：定積分．【分析】由題意首先求得原函數，然后利用微積分基本定理即可求得定積分的值．【解答】解：由微積分基本定理可得．故選：C．9.雙曲線（a＞0，b＞0）的一個焦點F（c，0），虛軸的一個端點為B（0，b），如果直線FB與該雙曲線的漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】利用已知條件列出方程，求解即可．【解答】解：雙曲線（a＞0，b＞0）的一個焦點F（c，0），虛軸的一個端點為B（0，b），如果直線FB與該雙曲線的漸近線垂直，可得：?=﹣1，可得c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，可得e=．故選：D．10.某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點．公司為了調查產品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調查其銷售收入和售后服務情況，記這項調查為②．則完成①、②這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是（）A．分層抽樣法，系統抽樣法B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C．系統抽樣法，分層抽樣法D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法參考答案：B【考點】分層抽樣方法；系統抽樣方法．【專題】應用題．【分析】此題為抽樣方法的選取問題．當總體中個體較少時宜采用簡單隨機抽樣法；當總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較多時，宜采用系統抽樣．【解答】解：依據題意，第①項調查中，總體中的個體差異較大，應采用分層抽樣法；第②項調查總體中個體較少，應采用簡單隨機抽樣法．故選B．【點評】本題考查隨機抽樣知識，屬基本題型、基本概念的考查．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設等比數列的前項和為，若，則=

。參考答案：4略12.若函數f（x）=x3+bx（x∈R）在點（﹣1，f（﹣1））處的切線與直線y=﹣x+2a平行，則實數b的值

．參考答案：﹣4【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出原函數的導函數，得到f′（1），由函數f（x）=x3+bx（x∈R）在點（﹣1，f（﹣1））處的切線與直線y=﹣x+2a平行即可求得b值．【解答】解：由f（x）=x3+bx，得f′（x）=3x2+b，∴f′（1）=3+b，∵函數f（x）=x3+bx（x∈R）在點（﹣1，f（﹣1））處的切線與直線y=﹣x+2a平行，∴3+b=﹣1，解得b=﹣4．故答案為：﹣4．【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是中檔題．13.若（x﹣）9的展開式中x3的系數是﹣84，則a=

．參考答案：1【考點】DB：二項式系數的性質．【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為3得展開式中x3的系數，列出方程解得．【解答】解：展開式的通項為=（﹣a）rC9rx9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展開式中x3的系數是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案為1【點評】本試題主要考查二項展開式的通項公式和求指定項系數的方法．14.

已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，點P為橢圓上一點，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，則橢圓的離心率e=

.

參考答案：15.曲線在點（1，3）處的切線方程是

.

參考答案：略16.某程序框圖如圖所示，則輸出的結果為．參考答案：1由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算變量S的值并輸出對應的n的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．解：模擬程序的運行，可得S=1，n=7不滿足條件S＞15，執(zhí)行循環(huán)體，S=8，n=5不滿足條件S＞15，執(zhí)行循環(huán)體，S=13，n=3不滿足條件S＞15，執(zhí)行循環(huán)體，S=16，n=1滿足條件S＞15，退出循環(huán)，輸出n的值為1．故答案為：1．17.定義運算，若復數z滿足，其中i為虛數單位，則復數z=．參考答案：1﹣i【考點】OM：二階行列式的定義；A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】設出要求的復數，根據條件中定義的行列式，寫出含有復數的行列式的結果，根據復數相等的充要條件，寫出關于所設的復數的實部和虛部的方程，解方程即可．【解答】解：設z=a+bi∵行列式的運算定義為，∴等價于zi+z=2，∴（a+bi）i+（a+bi）=2，∴a﹣b+（b+a）i=2，∴a+b=0，a﹣b=2，∴a=1，b=﹣1，∴z=1﹣i，故答案為：1﹣i．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數f(x)=sin(2x-)+2，求：(Ⅰ)函數f(x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)函數f(x)的單調遞增區(qū)間。參考答案：解：（Ⅰ）最小正周期…3分當時，………6分（Ⅱ）由,………9分得,

……………11分∴的單調遞增區(qū)間為（）………12分（遞增區(qū)間寫為開區(qū)間或半開半閉區(qū)間不扣分，未寫扣1分）略19.已知ABC的三個內角A、B、C成等差數列，a、b、c分別為ABC所對的邊。求證：(注:可以用分析法證明)

參考答案：略20.已知函數f（x）=ex﹣ax2，e=2.71828…，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e﹣2）x+b．（1）求a，b的值；（2）設x≥0，求證：f（x）＞x2+4x﹣14．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】綜合題；轉化思想；演繹法；導數的綜合應用．【分析】（1）求導數，得切線方程，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e﹣2）x+b，即可求a，b的值；（2）由（1）可得f（x）=ex﹣x2，證明f（x）＞x2+4x﹣14，只要證明ex﹣2x2﹣4x+14＞0，構造函數，確定函數的單調性，即可證明結論．【解答】解：（1）函數的導數f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e﹣2）x+b曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e﹣2）x+b，得，∴a=b=1；（2）證明：由（1）可得f（x）=ex﹣x2，要證f（x）＞x2+4x﹣14，只要證明ex﹣2x2﹣4x+14＞0．設g（x）=ex﹣2x2﹣4x+14，g′（x）=ex﹣4x﹣4，設h（x）=ex﹣4x﹣4，則h′（x）=ex﹣4，∴h（x）在（0，2ln2）上單調遞減，（2ln2，+∞）上單調遞增，設曲線y=h（x）與x軸的交點為（m，0）∵h（0）=﹣3＜0，h（2）=e2﹣12＜0，h（3）=e3﹣16＞0，∴2＜m＜3，em=4m+4，∵x∈（0，m），g′（x）＜0，x∈（m，+∞），g′（x）＞0，∴g（x）≥g（m）=18﹣2m2，∵2＜m＜3，∴g（x）≥2（9﹣m2）＞0，即f（x）＞x2+4x﹣14．【點評】本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查構造法的運用，屬于中檔題．21.已知袋子中裝有紅色球1個，黃色球1個，黑色球n個（小球大小形狀相同），從中隨機抽取1個小球，取到黑色小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）若紅色球標號為0，黃色球標號為1，黑色球標號為2，現從袋子中有放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b．（?。┯洝癮+b=2”為事件A，求事件A的概率；（ⅱ）在區(qū)間[0，2]內任取2個實數x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率；概率的意義．【分析】（Ⅰ）從中隨機抽取1個小球，取到黑色小球的概率是，列出方程．求解n的值；（Ⅱ）（?。┣蟪鰪拇又鞋F從袋子中有放回地隨機抽取2個小球的所有事件個數，滿足“a+b=2”為事件A的個數，然后求解概率；（ⅱ）直接利用幾何概型，求解全部結果的區(qū)域面積與所求結果的區(qū)域面積，求解概率即可．【解答】解：（Ⅰ）依題意，得n=1（Ⅱ）（?。┯洏颂枮?的小球為s，標號為1的小球為t，標號為2的小球為k，則取出2個小球的可能情況有：（s，t），（s，k），（t，s），（t，k），（k，s），（k，t），（s，s），（t，t），（k，k），共9種，其中滿足“a+b=2”的有