2021年湖南省長沙市橋驛鎮(zhèn)橋驛中學高三數(shù)學理測試題含解析

2021年湖南省長沙市橋驛鎮(zhèn)橋驛中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象與y=﹣1的圖象的相鄰兩交點間的距離為π，要得到y(tǒng)=f（x）的圖象，只需把y=cos2x的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位參考答案：B【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】依題意可知f（x）=sin（ωx+）的周期為π，從而可求得ω，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象與y=﹣1的圖象的相鄰兩交點間的距離為π，∴f（x）=sin（ωx+）的周期T=π，又ω＞0，T==π，∴ω=2；∴f（x）=sin（2x+）．令g（x）=cos2x=sin（2x+），則g（x）=sin（2x+）g（x﹣）=sin[2（x﹣）+）]=sin（2x+）=f（x），∴要想得到f（x）=sin（2x+）的圖象，只需將y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的圖象右平移個單位即可．故選B．【點評】本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，求得ω的值是關鍵，考查平移知識與運算能力，屬于中檔題．2.設等差數(shù)列滿足，且，為其前項和，則數(shù)列的最大項為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A3.在邊長為1的正方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為A1B1，C1D1，AB，CD的中點，點P從G出發(fā)，沿折線GBCH勻速運動，點Q從H出發(fā)，沿折線HDAG勻速運動，且點P與點Q運動的速度相等，記E，F(xiàn)，P，Q四點為頂點的三棱錐的體積為V，點P運動的路程為x，在0≤x≤2時，V與x的圖象應為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】分情況表示出三棱錐的體積，根據(jù)分段函數(shù)解析式判定函數(shù)圖象.【詳解】（1）當0時，點P與點Q運動的速度相等根據(jù)下圖得出：面OEF把幾何體PEFQ分割為相等的幾何體，∵S△OEF，P到面OEF的距離為x，VPEFQ＝2VP﹣OEF＝2x＝2?，（2）當x時，P在AB上，Q在C1D1上，P到，S△OEF，VPEFQ＝2VP﹣OEF＝2定值．（3）當x≤2時，S△OEF，P到面OEF的距離為2﹣x，VPEFQ＝2VP﹣OEF＝2（2﹣x）x，V故選：C．【點睛】此題考查求錐體體積，關鍵在于根據(jù)幾何體特征準確分類討論表示出錐體體積，結合分段函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象.4.有下面的試驗1)如果，那么；2)某人買彩票中獎；3)3+5〉10；4)在地球上，蘋果不抓住必然往下掉。其中是必然現(xiàn)象的有

（

）A、1) B、4)

C、1)3)

D、1)4)

參考答案：D5.已知函數(shù)關于原點對稱，則函數(shù)的對稱中心的坐標為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.要計算的結果，如圖程序框圖中的判斷框內(nèi)可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017參考答案： B7.若直線與曲線相切，則常數(shù)A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.已知集合，，則（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略9.已知O為坐標原點，雙曲線的右焦點F，以為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點的兩點A、B，若，則雙曲線的離心率為（

）Ａ．2

B．3

Ｃ．

D．參考答案：C10.如果a,b,c滿足c<b<a且ac<0，那么下列選項中不一定成立的是（

）A．a(chǎn)b>acB．c（b-a）>0

C．

D．a(chǎn)c（a-c）<0參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，函數(shù)有相同的最小值，則___________．參考答案：12.已知頂點、、的對邊分別為、、，且，，若，則

．參考答案：13.已知H是△ABC的垂心（三角形三條高所在直線的交點），，則cosDBAC的值為

．參考答案：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC，∵，∴則，，即，，化簡得：，則，得，從而．14.若實數(shù)滿足不等式，則的取值范圍是

參考答案：[-,2)

略15.若函數(shù)f(x)＝，則f(x)的定義域是

．參考答案：

命題意圖：考查學生對定義域求解及對數(shù)函數(shù)的理解。16.lg+2lg2﹣（）﹣1=．參考答案：﹣1【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】利用對數(shù)的運算法則以及負指數(shù)冪的運算化簡各項，利用lg2+lg5=1化簡求值．【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；故答案為：﹣1．【點評】本題考查了對數(shù)的運算以及負指數(shù)冪的運算；用到了lg2+lg5=1．17.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，若則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)

（I）求的值域；

（II）試畫出函數(shù)在區(qū)間[-1，5]上的圖象。參考答案：略19.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≤恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；若a＞0時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減．（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，，由此進行分類討論，能求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），，若a≤0，則f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，若a＞0，則由f′（x）=0，得x=，當x∈（0，）時，f′（x）＞0，當x∈（）時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減．所以當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當a＞0時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減．（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，，①若a≤0，F(xiàn)′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上遞增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上遞增，g（x）≥g（1）=0，從而f（x）﹣不符合題意．②若0＜a＜，當x∈（1，），F(xiàn)′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上遞增，從而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上遞增，g（x）≥g（1）=0，從而f（x）﹣不符合題意．③若a，F(xiàn)′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上遞減，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，從而g（x）在[1，+∞）上遞減，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，綜上所述，a的取值范圍是[）．【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維的要求較高，解題時要注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．20.高考數(shù)學試題中共有10道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且僅有一個是正確的.評分標準規(guī)定：“每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分.”某考生每道題都給出了一個答案，已確定有6道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜，試求出該考生：（1）得50分的概率；（2）得多少分的可能性最大；參考答案：解析：（1）得分為50分，10道題必須全做對.

在其余的四道題中，有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為，還有一道答對的概率為，所以得分為50分的概率為：P＝

（2）依題意，該考生得分的范圍為｛30，35，40，45，50｝.

得分為30分表示只做對了6道題，其余各題都做錯，所以概率為：

同樣可以求得得分為35分的概率為：

得分為40分的概率為：;

得分為45分的概率為：;

得分為50分的概率為：

所以得35分或得40分的可能性最大.

21.設函數(shù)f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）如果a＞0且關于x的方程f（x）=m有兩解x1，x2（x1＜x2），證明x1+x2＞2a．參考答案：【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）得，把=代入（*）式，令，得只需證．令（0＜t＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（1）由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax，可知=．因為函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），所以，①若a＞0，則當x∈（0，a）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；②若a=0，則當f'（x）=2x＞0在x∈（0，+∞）內(nèi)恒成立，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；③若a＜0，則當時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．（2）要證x1+x2＞2a，只需證．設g（x）=f'（x）=﹣，因為，所以g（x）=f'（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．所以只需證，即證，只需證．（*）又