2023年上海高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期數(shù)學(xué)同步講義第8講正切函數(shù)圖像及其性質(zhì)含詳解

第8講正切函數(shù)圖像及其性質(zhì)

知識(shí)梳理

1、正切函數(shù)的圖像:

7171

可選擇的區(qū)間作出它的圖像，通過(guò)單位圓和正切線，類比正、余弦函數(shù)圖像的畫(huà)

2,2

法作出正切函數(shù)的圖像

根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖像向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)y=tanx,xwR,

71

且左eZ)的圖像，稱“正切曲線”.

由正弦函數(shù)圖像可知：

7t

(1)定義域：{XIXWZTT+B■(攵eZ)},

(2)值域：R

觀察：當(dāng)x從小于左兀ez),x---->左兀+］時(shí)，tanxf+oo

當(dāng)x從大于￡+m1eZ),x--->g.+攵兀時(shí)，tanx—>-oo.

(3)周期性：T=7t

(4)奇偶性：tan(-x)=-tanx,所以是奇函數(shù)

/兀，兀

(5)單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間(一豆+左兀，,+Kc),%￡Z內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.

(6)中心對(duì)稱點(diǎn)：[-^-,o],ZeZ

2、余切函數(shù)的圖象：

71

即將y=tanx的圖象，向左平移萬(wàn)個(gè)單位，再以x軸為對(duì)稱軸上下翻折，即得y=cotx的

圖象

由余弦函數(shù)圖像可知：

(1)定義域：{XIXWM(LGZ)},

(2)值域：R

(3)周期性：T=TI

(4)奇偶性：tan(-x)=-tanx,所以是奇函數(shù)

(5)單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間伏兀，兀+攵兀),左eZ內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.

（6）中心對(duì)稱點(diǎn)：,Oj,^eZ

例題解析

一、正切函數(shù)的圖像

例1.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=tan

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期、對(duì)稱中心；

（2）作出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.

\sinx

例2.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）己知函數(shù)/1x1=0.

I。I

（1）求函數(shù)/G）的定義域;

（2）用定義判斷函數(shù)/（X）的奇偶性；

（3）在匚兀，兀］上作出函數(shù)/Q）的圖象.

例3.作函數(shù)y=幻〃IxI的圖像.

例4.求函數(shù)/(x)=tanx+kanx|的定義域、周期、單調(diào)增區(qū)間，并畫(huà)草圖.

例5.根據(jù)正切函數(shù)圖象，寫(xiě)出滿足下列條件的x的范圍.

(1)tanx>0(2)tanx=0(3)tanx<0(4)tanx〉/

例6.根據(jù)正切函數(shù)圖像，寫(xiě)出使下列不等式成立的x值的集合:

(1)l+tanx>0(2)tanx-73>0

例7.比較下列兩數(shù)的大小

⑴ta/兀與tanW兀6]3

(2)tanmTi與tan(一m)兀(3)cotSl與co，191

77

例8.函數(shù)y=sin無(wú)與y=tanx的圖像在［-2兀,2兀］上的交點(diǎn)有（）

A3個(gè)8.5個(gè)C.7個(gè)DD9個(gè)

【鞏固訓(xùn)練】

1.作出函數(shù)y=ltanxl的圖象.

2.利用圖像，不等式一&<tan2x41的解集為

13n

3.比較tan|與tan的大小.

4.若?。?tang,,試比較〃T）,/（。）,/⑴，并按從小到大的順序排列：.

5.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）

（1）求函數(shù)f（數(shù)的最小正周期,對(duì)稱中心;

（2）作出函數(shù)/G）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.

二、正切函數(shù)的定義域及值域

1、正切函數(shù)的定義域

例1.求下列函數(shù)的定義域

1

(1)y=tan2x(2)y=j3-tan2x(3)y=cosx-tanx(4)y

1+tanx

例2.（2019?寶山區(qū)?上海交大附中高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，與函數(shù)/G）=tanx完

全相同的是（）

1-tan2—%

2

sin2x\-cos2x

c.y

1+cos2xsin2x

例3.（2019?上海市大同中學(xué)高一期中）函數(shù)y=arcsinx+tan2x的定義域是—

例4.（2017?上海楊浦區(qū)?復(fù)旦附中高一期中）已知函數(shù)

fG）=lg（tanx-l）+,則/G）的定義域是—.

例5.求函數(shù)y=lg（tanX-J3）+J2cosx+&的定義域.

【鞏固訓(xùn)練】

1.函數(shù)y=tan[x+：J的定義域?yàn)?/p>

2.與函數(shù)y=tan(2x+下)的圖象不相交的一條直線是()

4

71八?！溉甙素?/p>

A.x=—B.x=——C.x=—D.x=一

2248

3.求下列函數(shù)的定義域

L---171

(1)丁=Jsin工?---；(2)y=tan(x+—)-log(2cosx-l).

tanx4sinx

2、正切函數(shù)的值域與最值

例1.（2016?上海浦東新區(qū)?華師大二附中高一期中）設(shè)函數(shù)

f^）=----------------,關(guān)于的性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是_________.

1+cos2x-cosx

,71,一

①定義域是jxxwZ兀+爹，攵eZ；②值域是R；③最小正周期是兀；

④/G）是奇函數(shù)；⑤/（X）在定義域上單調(diào)遞增.

例2.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域:

1+tanx71\

(1)y----------,x€

1-tanx

兀兀

(2)y=tairJC+3tanx-1,xG

例3.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域:

2tanx+1f_K兀］

⑵丫二丁而工”干什

（3）y=sec20+2tan0+1,0e--y

例4.函數(shù)y=2tan[x+.],xw0,-的值域?yàn)?------------

7171_J_+2tanx+l的最值及相應(yīng)的8值；.

例5.若xe,求函數(shù)y=

COS2X

K1L

例6.已知y=tanx-atan2x,當(dāng)》6[0,彳],。時(shí)，函數(shù)y=F,求實(shí)數(shù)。的值.

34max

5

例7.求函數(shù)丁=的值域.

2tan2%-4tanx+3

【鞏固訓(xùn)練】

1.求函數(shù)y=sinx+tanx,x的值域.

44

2

2.求函數(shù)y=的最大值，并求當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，自變量x的集合.

l+(tanx-l)2

3.己知y=tan2x-2tanx+3,求它的最小值.

4.函數(shù)y=tan2x+4tanx-1的值域?yàn)?/p>

三、正切函數(shù)的性質(zhì)

1、正余切函數(shù)的周期性

例1.（2016?上海浦東新區(qū)?高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，以兀為最小正周期，且在區(qū)間

（J，兀）上為減函數(shù)的是（）

A.y=cos2xB.y=2|sinx|c.j=[-[''D.y=-cotx

例2.（2015?上海）下列函數(shù)中，以兀為周期的偶函數(shù)是（）

A.y=sin2xB.y=cos-C.y=sin_D.）'=cos2x

22

例3.（2018?上海市青浦高級(jí)中學(xué)）函數(shù)y=3tan（3xj）的最小正周期為

O

例4.（2019?上海市向明中學(xué)高一期中）函數(shù)y=cot2尤的最小正周期為.

例5.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的最小正周期：

二兀、

（1）…an2x-；

（2）y=tanx+cotx.

例6.求下列函數(shù)的周期:

2tanx

(1)y=-tan(3x+?(3)y=cotx-tanx

2tan—

?.1x

(4)y=------(5)y=sinxll+tanxtan—

l-taru_

2

【鞏固訓(xùn)練】

71

1.函數(shù)y=3tan(2x+x)的周期為.

71

2.函數(shù)y=1211(狽+”)(。。0)的最小正周期為,

O

3.函數(shù)y=>‘a(chǎn)n"的周期為_(kāi)_.

1+tan2x

2、正切函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性

(l)/(x)=2+cosx+|tanjd(2)/Q)=x2tanx-cot2x(3)/G)='+S*nA_COSA.

111+sinx+cosx

(4)/(x)=xtan2尤+尤4(5)/G)=tan2X-tanX

例2.求函數(shù)/（x）=----------的最小正周期，并判斷函數(shù)的奇偶性.

tanx一cotx

例3.（2020?上海市南洋模范中學(xué)高一月考）函數(shù)y=tan12x—：）的最小正周期為

,對(duì)稱中心為.

例4..（2015?上海）下列結(jié)論中：

1）函數(shù)y=sinQn：-X）GGZ）為奇函數(shù)

2）函數(shù)片tan（2x+看）的圖象關(guān)于點(diǎn)咯,4對(duì)稱

（c吟2

3）函數(shù)y=cos[2x+.J的圖象的一條對(duì)稱軸為》=一9兀

4）若tan（7T-x）=2,則cos2x=；

其中正確的結(jié)論序號(hào)為.

71

例5.求函數(shù)y=3tan（2x+y）的對(duì)稱中心的坐標(biāo).

,jl7、i

例6.若y=tan(2x+0)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為勺,0),若一^"〈亍，求。的值.

【鞏固訓(xùn)練】

1.判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)/(x)=tanx-—L-;(2)/(x)=2+cosx+|tanx|..

tanx

2.判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)y=tan(3x-^-)(2)y=ltan(x+,l

3.函數(shù)y=tan2x的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.

x7T

4.下列坐標(biāo)所表式的點(diǎn)中，不是函數(shù)y=tan（--—）的圖象的對(duì)稱中心的是（）

2o

A（pO）R（一半0）C（3,O）D.（^,0）

3、正切函數(shù)的單調(diào)性

例1.（2020?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高一月考）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在（0,兀）上單調(diào)

遞增的是（）

A.y=sinxB.y=cosxc.y=tanxD.y=sin-

例2.（2019?上海市宜川中學(xué)高一期中）函數(shù)＞=tan2x的單調(diào)遞增區(qū)間是________.

例3.（2019?上海市向明中學(xué)高一期中）函數(shù)y=tan[2x-?）的單調(diào)遞增區(qū)間為

例4.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

例5.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

n-、

（1）y=cot（--2x）（2）y=1tanxI

4

例6.已知函數(shù)y=tanwx在[一萬(wàn)內(nèi)是減函數(shù)，貝ij()

A.0<w<15.-1<w<0C.w>1D.

w<-1

例7.已知函數(shù)y=3tan(二一1)+仇XG[O,[]是增函數(shù)，值域?yàn)閇一23,0],求a,6的值。

a33

例8.求函數(shù)＞=|tan卜+?)|的定義域、值域并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性.

例9.(2018?上海靜安區(qū)?高一期末)已知余切函數(shù)/G)=cotx.

(1)請(qǐng)寫(xiě)出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；(不必證明)

(2)求證：余切函數(shù)/Q)=cotx在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞減.

例10.設(shè)足球場(chǎng)寬65米，球門(mén)寬7米，當(dāng)足球運(yùn)動(dòng)員沿邊路帶球突破，距底線多遠(yuǎn)處射球

H,對(duì)球門(mén)所張的角最大.（保留兩位小數(shù)）

【鞏固訓(xùn)練】

1.求函數(shù)y=tan（2x-；）的單調(diào)區(qū)間.

2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

X71

(1)y=2tan(-+_)(2)y=tan(-3x+

36

3.下列函數(shù)中，周期為兀，且在0,；上是單調(diào)遞增函數(shù)的是（）

A.y=ta中|B.y=sin|x|C.y=|tanx|D.y=[cos]

3.下列命題中正確的是)

A.y=tanx在第一象限單調(diào)遞增8.在函數(shù)丫=tan尤中,x越大，V也越大

C.當(dāng)x>0時(shí)，總有tanx〉0D.y=tanx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

4.下列命題中正確的是（）

Ay=cosx在第二象限是減函數(shù)B.y=tan無(wú)在定義域內(nèi)是增函數(shù)

兀71

Cy=lcos（2x+^）l的周期是,Dy=sinlxl是周期為2兀的偶函數(shù)

7171

5.函數(shù)/Q）=tan松O>0）的圖像相鄰的兩支截直線y=所的線段長(zhǎng)度為二，則

44

的值為（）

71

A.—B.0C.1D.2

4

6.直線y=4（。為常數(shù)）與正切曲線y=tan8X（（0為常數(shù)，且8>0）相交的兩相鄰點(diǎn)間的

距離為（）

2兀71

A.nB.——C.-。?與a值有關(guān)

33

7.已知函數(shù)了二二tan（2x+（p）的圖像過(guò)點(diǎn)（副,則中可以是（）

71717171

A.——C.——D.—

661212

/八兀)A

8.在下列函數(shù)中，同時(shí)滿足:①在0,不上遞增;②以2兀為周期;③是奇函數(shù)的是()

\2)

x

A.y=tanxB.y=cosxC.y=tan—D.

y=-tanx

9.求函數(shù)y=tan(3x-?)的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性。

反思總結(jié)

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正切函數(shù)的圖像及性質(zhì)的前提下，進(jìn)一

步分析和探究余切函數(shù)圖像和性質(zhì)及正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用。例題的設(shè)計(jì)上從最基本

的利用單調(diào)性比較大小出發(fā)，到函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，再到單調(diào)性和周期性的變式訓(xùn)練，由

淺入深，層層遞進(jìn)，以積極發(fā)揮課堂教學(xué)的基礎(chǔ)型和研究型功能，教師遵循“以學(xué)生為主體”

的思想，鼓勵(lì)學(xué)生善于觀察和發(fā)現(xiàn)；鼓勵(lì)學(xué)生積極思考和探究；鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，努力營(yíng)

造一個(gè)民主和諧、平等交流的課堂氛圍，采取啟發(fā)、對(duì)話式教學(xué)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，使學(xué)生較開(kāi)闊的思維空間，讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)生的數(shù)

學(xué)思維能力。

第8講正切函數(shù)圖像及其性質(zhì)

知識(shí)梳理

1、正切函數(shù)的圖像:

n71

可選擇的區(qū)間作出它的圖像，通過(guò)單位圓和正切線，類比正、余弦函數(shù)圖像的畫(huà)

2,2

法作出正切函數(shù)的圖像

根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖像向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)y=tanx,xwR,

71

且xwKt+'l左eZ)的圖像，稱“正切曲線”.

由正弦函數(shù)圖像可知：

7t

(D定義域：兀+5?優(yōu)eZ)},

(2)值域：R

觀察：當(dāng)x從小于依+][eZ),X》上兀+—時(shí)，tanx->+00

當(dāng)x從大于三+%兀1￡z),x----＞三+比時(shí)，tanxf-oo

(4)周期性：T=n

(4)奇偶性：tan(—x)=—tanx,所以是奇函數(shù)

兀，兀，,

(5)單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間(一區(qū)+m，彳+m),左eZ內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.

(6)中心對(duì)稱點(diǎn)：［一］,。＞攵eZ

2、余切函數(shù)的圖象：

71

即將y=tanx的圖象，向左平移'個(gè)單位，再以x軸為對(duì)稱軸上下翻折，即得y=cotx的

圖象

由余弦函數(shù)圖像可知：

(1)定義域：{xlxw火兀(AeZ)},

(2)值域：R

(3)周期性：丁=兀

(4)奇偶性：tan(-x)=-tanx,所以是奇函數(shù)

（5）單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間伏兀，兀+左兀）,左€2內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.

（6）中心對(duì)稱點(diǎn)：H，0）,左eZ

例題解析

一、正切函數(shù)的圖像

例1.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=tan1-；?

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期、對(duì)稱中心;

（2）作出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.

【答案】（1）最小正周期3兀，對(duì)稱中心是（兀+?女兀,0）GeZ）；（2）答案見(jiàn)解析.

【分析】（1）首先根據(jù)正切函數(shù)的周期公式即可得到函數(shù)/G）的周期，再根據(jù)正切函數(shù)

的對(duì)稱中心即可得到函數(shù)f（X）的對(duì)稱中心.

（2）根據(jù)函數(shù)的解析式得到/G）的圖象與1軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（兀，0）,圖象上的

[7」）、兩點(diǎn)，再找到兩側(cè)相鄰的漸近線方程，畫(huà)出函數(shù)的圖象即可.

n一

T=1=3兀

【詳解】（1）

3

V-JTkTT3

令9一1二/~，keZ,解得了=兀+]攵兀keZ,

故對(duì)稱中心為卜+|攵兀，0）QeZ）.

X71

（2）令至一9=0,解得》=兀

X7171771

43~3=4,解得x

X717171

令二了=一下解得x=w

%兀兀5兀

令可_9=亍，解得X=~y,

X7171兀

令可一1=_,，解得了二.^

所以函數(shù)/（x）=tan（￡—g]的圖象與X軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（九，°）,

干一1J兩點(diǎn),

圖象上的點(diǎn)有加、

715兀7t571

在這個(gè)I,T周期內(nèi)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為X=-爹和尤=彳,

從而得到函數(shù)/G）在一個(gè)周期（一

內(nèi)的簡(jiǎn)圖（如圖）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期和對(duì)稱中心，同時(shí)考查了正切函數(shù)的圖象，關(guān)鍵點(diǎn)

是找出圖象上的點(diǎn)用描點(diǎn)法畫(huà)圖象，屬于中檔題.

￡（\sinx

例2.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)

IVzVzOI

（1）求函數(shù)/（X）的定義域；

（2）用定義判斷函數(shù)/G）的奇偶性；

（3）在匚兀，兀］上作出函數(shù)/G）的圖象.

【答案】（1）\xx^kn+--,k&Z\.（2）奇函數(shù)，見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)COSXH0,求解即可；

（2）由（1）可知/（X）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，判定了（-X）和/G）的關(guān)系，從而判定奇

偶性；

（3）將/G）寫(xiě)為分段函數(shù)，畫(huà)出圖象即可

71

【詳解】（1）由COSXH0,得xwKt+彳{keZ）,

,71,

所以函數(shù)/（X）的定義域是，XKTteZ>

2

（2）由（1）知函數(shù)/（X）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

因?yàn)椤獂）=普W=A巖=—,G）,所以/G）是奇函數(shù).

兀7T

tanx,———<不<——

/(x)=<22

(3)

71

-tanx.-7i<x<---或--兀-<X<71

22

所以/（x）在［一兀，兀］上的圖象如圖所示,

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域,考查奇偶性的判斷，考查函數(shù)圖象.

例3.作函數(shù)y=tan\x\的圖像.

【難度】★★

【答案】如圖

【解析】

tanxx>O,x^kn+—

2

71

-tanxx<0,xwZ兀+一

5%

2T

例4.求函數(shù)/(x)=tanx+|tanx|的定義域、周期、單調(diào)增區(qū)間，并畫(huà)草圖.

【難度】★★★

7171

【答案】定義域：{#冗。左兀+,?￡Z},周期：T=n,單調(diào)增區(qū)間：伙幾次兀+,)

3n

(3)tanx<0(4)tanx>/

(1)tanx>0(2)tanx=O

【難度】★

【答案】

(1)(攵兀，女兀eZ(2)^\x=kit,kez-^

(3)(攵兀一],E),左eZ(4)(：+而，;+A兀)keZ

例6.根據(jù)正切函數(shù)圖像，寫(xiě)出使下列不等式成立的x值的集合：

⑵tanx-J3>0

⑴l+tanxN°

【難度】★★

【答案】(1)伙兀一;,Ki+；),keZ

(2)伙兀+：,左兀+￡),女eZ

例7.比較下列兩數(shù)的大小

210613

(1)tan—兀與tan——兀(2)tan,兀與tan(一1)兀(3)cotSi與co〃91

77

【難度】★

2"兀()tan^>tan(-12)K

【答案】（1）tan—兀<tan2(3)co/81<co/191

7755

例8.函數(shù)丁=5由兀與丁=1211》的圖像在［-2兀,2兀］上的交點(diǎn)有)

A.3個(gè)8.5個(gè)C.7個(gè)D.0.9個(gè)

【難度】★★

【答案】B

【鞏固訓(xùn)練】

1.作出函數(shù)y=ltanxl的圖象.

【難度】★★

【答案】如圖

2.利用圖像，不等式-JT<tan2x41的解集為

【難度】★★

,kn7ikit兀、，

【答案】（丁一n，/+d］/eZ

2o2o

17K

3.比較ta^與tan的大小?

【難度】★

(1771)2兀

tan-----=-tan——

(答案I5)5

兀2兀71271，即tan(-1■兀)

內(nèi)單調(diào)遞增.二.tan4<tan---tan—>-tan—

4.若/(x)=tan(x+l),試比較/(-1),/(0),/⑴，并按從小到大的順序排列：_________.

4

【難度】★★

【答案】/(1)</(-1)</(0)

5.(2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))

(1)求函數(shù)f(數(shù)的最小正周期,對(duì)稱中心;

(2)作出函數(shù)/G)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.

【答案】(1)T=2兀，兀+Z兀,0)QeZ)；(2)圖象見(jiàn)解析

【分析】(1)首先根據(jù)正切函數(shù)的周期公式即可得到函數(shù)/(》)=tan的周期，再

根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心即可得到函數(shù)/Q)=tan(g-的對(duì)稱中心.

(2)首先根據(jù)函數(shù)的解析式得到數(shù)/Q)=tan(5-的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

(27171571

I—在這個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為％=-3和方=§，再畫(huà)出函數(shù)

的圖象即可.

7=：=2兀

2

YTTkit?

令：一可=￡_,keZ,解得x=g兀+左兀，keZ,

故對(duì)稱中心為(j兀+%兀,0GGZ）_

X兀八271X7171771

（2）令不一可=0,解得x=亍,令_=解得X=T，

Z33234o

X717171X71715兀

令不一5=一7，解得x=/，令7一方二x，解得了=f-，

234O2J23

X717171

令]一1=_,，解得工=一9,

所以函數(shù)/G)=tan[-U的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：，°

5)\J

71571

在這個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為x=-和x=3.

故函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象為:

【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期和對(duì)稱中心，同時(shí)考查了正切函數(shù)的圖象，屬于中

檔題.

二、正切函數(shù)的定義域及值域

1、正切函數(shù)的定義域

例1.求下列函數(shù)的定義域

(1)y=tan2x(2)y=J3二tan24(3)y=cosx-tanx(4)y=-------

1+tanx

【難度】★

兀女兀，?

【答案】（1）,+c,keZ\

42

(2)~—+kTt,—+k7i\,k&Z

(3)且xHE+二keZ>

,兀口,71,?

(4)<xxKTIkn+—,keZ>

例2.（2019?寶山區(qū)?上海交大附中高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，與函數(shù)/G）=tan尤完

全相同的是（）

1-tan2

1-cos2x

1+cos2xsin2x

【答案】C

【分析】先判斷函數(shù)的定義域是否相同，再通過(guò)化簡(jiǎn)判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，從而判斷出

與/（X）相同的函數(shù).

【詳解】/（X）的定義域?yàn)椤禭Ixkn+—兀,keZ>,

2「

xX71

2tantan—±1—?！酪?攵兀/wZ

224

A.y=---------因?yàn)関，所以，

x,兀X7t

1-tan2—一w攵兀+一,keZ—W2兀+—,左￡Z

2122122

土或兀+兀，｝）定義域不相同;

定義域?yàn)椋鹸lx*20gX02kkwZ,5/G=tanx

,兀，

1cosxw0xw攵兀+一

B.y=------.因?yàn)椤皊inx*。,所以2

cotx

x手kR,keZ

所以定義域?yàn)椋鹸|xk等，kwZ｝,與/G）=tanx定義域不相同:

sin2x,因?yàn)?+COS2XH0,所以定義域?yàn)椋鹸lxH/Ji+g/eZ：,

C-”下益五

又因?yàn)閥=*;_=粵q=tanx,所以與/(x)=tanx相同:

1+cos2x2cos2x

1_c^)s

D.y=■———,因?yàn)镾in2x。。，所以2x#Kt?eZ,定義域?yàn)?/p>

sin2x

用衣竺，0Z,

2，

與/（x）=tanx定義域不相同.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的相同函數(shù)的判斷，難度一般.判斷相同函數(shù)時(shí)，首先判

斷定義域是否相同，定義域相同時(shí)再去判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同（函數(shù)化簡(jiǎn)），結(jié)合定義域與

對(duì)應(yīng)關(guān)系即可判斷出是否是相同函數(shù).

例3.（2019?上海市大同中學(xué)高一期中）函數(shù)y=arcsinx+tan2x的定義域是

【答案】[T，-3）U（-5,3）U（+1]

【分析】解不等式71，即得解.

|2xw左兀eZ

I+—2,k

一14x41

【詳解?】由題得2行也+兀

,keZ

2

所以xe[T，-：）U（一：，[）U（t，ll.

4444

7TTC7T7T

故函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,一,）U（一才京UJ，1]

4444

兀717171

故答案為[-1，-丁）U（-7,3T）U（T，1]

444

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查反三角函數(shù)和正切函數(shù)的定義域，意在考

查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

例4.（2017?上海楊浦區(qū)?復(fù)旦附中高一期中）已知函數(shù)

/G）=lg（tanx-l）+J9—X2,則/G）的定義域是—.

3兀兀死71

【答案】~'~2U

tanx-1>0\

【分析】由意義得出19T220'解出該不等式組即可得出函數(shù)>=/x的定義域.

tanx-1>0

【詳解】r函數(shù)f(x)=lg(tanx-l)+J9-X2,

9-X2>0

kn+—<x<kit+—(.k&Z^)

42

-3<x<3

因此,

故答案為:為I

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求解，同時(shí)也涉及了正切不等式的求解，考查運(yùn)算求解能

力，屬于中等題.

例5.求函數(shù)y=lg(tan+J2cosx+0的定義域.

【難度】★★

【答案】（氏兀+??兀+］）,我￡Z

tanx>y/3

【解析】2cosx+壽20由此不等式組作圖:

71

xwkn+—,keZ

2

工（攵兀+—,女冗+—）,keZ

【鞏固訓(xùn)練】

1.函數(shù)y=tanx+彳的定義域?yàn)?

【難度】★

,兀,

［答案】

4

兀

2.與函數(shù)>==tan(2x+-)的圖象不相交的一條直線是()

4

71?！肛Ｘ?/p>

A.x=—B.x=——C.x=一D.x=一

2248

【難度】★

【答案】D

3.求下列函數(shù)的定義域

L__171

(l)y=Jsinx-----；(2)y=tan(x+—)-log(2cosx-l).

tanx4而大

【難度】★★★

【答案】見(jiàn)解析

解：等價(jià)轉(zhuǎn)化為求一個(gè)不等式組的解

sinx>0

71

⑴〈tanxw0nxeQkTt,2kR+兀)，不工&兀+一,(AwZ)

71,

xwkn+-(Zc￡Z)

,冗…71

%￡(2左兀一至，2攵兀+9)

2cosx-l>0

冗71

(2)-sinx>0=><xe(2k7i,2k7i+^)U(2k7t+-,2攵兀+兀)

兀71

X+—W攵兀+—,(ZEZ),兀

X^KTl=—

424

717171

=>X￡(2Z兀，2氏兀+w)U(2女兀+4,2氏兀+3),(%￡Z).

注：轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意必須是等價(jià)轉(zhuǎn)換，才能保證結(jié)果既不擴(kuò)大也不縮小.在求條件組的解

時(shí)，常會(huì)求角集得交集，可以畫(huà)數(shù)軸，用單位圓或函數(shù)的圖像，應(yīng)熟練掌握這種技能.

2、正切函數(shù)的值域與最值

例1.（2016?上海浦東新區(qū)?華師大二附中高一期中）設(shè)函數(shù)

/（x）=sm2：-sinx,關(guān)于/Q）的性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是

1+cos2x-cosx

兀

①定義域是Jxx#左兀卜②值域是R；③最小正周期是兀；

④/G）是奇函數(shù)；⑤/（龍）在定義域上單調(diào)遞增.

【答案】③④

【分析】先求定義域，再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)求值域、求周期、判斷單調(diào)

性與奇偶性.

/\sin2x-sinx1八八

【詳解】/\-V7=--------------->.1+cos2x-cosx^0

1+cos2x-cosx

1

2cos2X-COSXH0「.COS"0且COSX,

71,兀，）

定義域是xw攵f冗+—,xwKi±—MwZ,；

sin2x-sinxsinx(2cosx-1)

f(x)--------------=--------------=tanx

1+cos2x-cosxcosx(2cosx-1)

所以/（x）w士JJ;/G）最小正周期是兀；/（x）是奇函數(shù);

/（X）在定義域上不具有單調(diào)性

故答案為：③④

【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及函數(shù)綜合性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

例2.(2020?上海高一課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的值域:

1+tanx

y=tairA：+3tanx-l,xe

【答案】(1)(一1』)；(2)一彳，3

【分析】⑴由定義域可得tanxeJo,0),令，=tanx則reJo,0),所以

1+f-2

y=--=-i+—,再根據(jù)辱函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算司彳i：

i-tt-\

(2)利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：(1)因?yàn)閥=：+tan';x€(_g,o],所以tanxe(Y),0)

1-tanx\2J

令Z=tanx則te(-oo,0)

1+f,-2

所以y=--=―]+--

i-tt-\

因?yàn)閘e(-oo,0),所以"le(Yo,-l),J_e(-l,0),二Le(0,2),

t-lt-l

-1+—e(-l,l),即ye(-4,l)

（2）因?yàn)閥=tam+3tanx-l,x￡

所以tanxe[-JJ,l]

令機(jī)=tanx,mG

所以y=/（機(jī)）=機(jī)2+3加-1=[機(jī)+—]--

I2J4

所以/（加）在-|,1匕單調(diào)遞增，在一戶一當(dāng)上單調(diào)遞減,

{CH。MX'r）=2-3退

所以/（〃?）6--13,3

■13;

即函數(shù)的值域?yàn)橐会埽?

【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，換元法求函數(shù)的值域，屬于中檔題.

例3.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：

(1)y=tan[x+[],xe兀兀-

2'6]'

2tanx+1（兀兀、

（2）y=--------一7,工；

1-tanx\46J

（3）y=sec20+2tan0+1,0e.

LL（15+3/1_

【答案】（l）[-x/T,>/T]；（2）—片；（3）[1,5+273]

k22

71

【分析】（1）首先令f=x+z，得到y(tǒng)=tanf,再根據(jù)y=tanf的單調(diào)性即可得到函數(shù)的

6

值域.

2/+1-3

（2）首先令t=tanx,得到y(tǒng)=-；—=-2+,—,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到值域.

\-t1-t

（3）首先將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=taruB+2tan°+2,令，=12119,得到、=晨+2/+2,再

利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.

兀兀?！肛Ｘ?/p>

【詳解】⑴令』+丁因?yàn)閄〉一萬(wàn)方,所以，十支

又〉=演/在此一號(hào),三上為增函數(shù)，所以所求函數(shù)值域?yàn)椋?

（兀兀、

（2）令/=tanx,因?yàn)楣ぁ辏垡?，不卜所以I，3J

,3（1間

因?yàn)閥=i-t為減函數(shù)，所以，=?；—在一1，二為增函數(shù),

JI3）

3（J3］

即：y=—2+L在fe-1,X_上為增函數(shù)，

ITI3）

3_5+33

c31y

所以y=_2+—=--,imax1出2

min221----

3

（15+3⑸

所以函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)于，

\22）

13八-sin20+COS20小八」八八八八

(3)y------+2tan0+1=-----------+2tan0+1=tan20+2tan0+2.

cos20cos2?

令"tanOfe-1,1,所以re[-壽,4].

y=/2+2,+2=(『+1)2