三年級第十講等差數(shù)列全解課件

高斯-德國數(shù)學(xué)家

?約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚梗–.F.Gauss，1777年4月30日－1855年2月23日），德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家。高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并有“數(shù)學(xué)王子”的美譽。他獨立發(fā)現(xiàn)了二項式定理的一般形式、數(shù)論上的“二次互反律”、素數(shù)定理、及算術(shù)-幾何平均數(shù)。1795年高斯進入哥廷根大學(xué)，1796年得到了一個數(shù)學(xué)史上極重要的結(jié)果，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》。高斯在歷史上影響巨大，有數(shù)學(xué)王子、數(shù)學(xué)家之王的美稱、被認為是人類有史以來最偉大的四位數(shù)學(xué)家之一（阿基米德、牛頓、高斯、歐拉）。

第十講

等差數(shù)列

200年前，德國有位

數(shù)學(xué)家叫高斯，他小時候就非

常聰明。。一天，他的小學(xué)數(shù)學(xué)老師教完加法后，想要休息一下，便出了一道題目要同學(xué)們算算看，題目是：1+2+3+.....+97+98+99+100=?老師心里正想，這下子小朋友一定要算到下課了吧！正要出去時，看見高斯舉起小手，問：“高斯，有什么事？”高斯說：“老師我做好了?！崩蠋煼?/p>

常驚訝的說：“是嗎？怎么可能呢。你的答

案是多少？是怎樣算出來的呢？”

思考：高斯是怎么算出來的呢？

我們先來看看當時的高斯是怎么回答的。

高斯說：“老師，1加

至100可以排兩行，第一行順

著排，第二行倒過來排。”我們來看一下

1+2+3+4+5+……+97+98+99+100

100+99+98+97+96+……+4+3+2+1

公式推導(dǎo)

我們兩排的第一個數(shù)相加是101，第二個相加還是101，第三個還是101，第四個還是101，最后一個還是101，也就是說兩排相加共有100個101，也就是10100，那么一排相加的和是10100÷2=5050所以

和=（1+100）×100÷2=5050動手算一算

?計算

1+2+3+……+198+199的和。

?解析：原式=（1+199）×199÷2

?=200÷2×199

?=100×199?

=19900

?

【注】：計算是基礎(chǔ)，利用巧算方法更省力。

認識等差數(shù)列

?如果一個數(shù)從第二項開始，每一項與前面的差都相等，這樣的數(shù)列叫做。這個相等的差叫做等差數(shù)列的公差，數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，并且根據(jù)他們所在的位置，第一個數(shù)叫做首項，第二個數(shù)叫做第二項，以此類推，最后一個數(shù)稱為末項。這個數(shù)列的個數(shù)稱為項數(shù)

?例如數(shù)列1、3、5、7、9、11、13?2、4、6、8、10?5、8、11、14、17?

······

你能根據(jù)自己的理解再寫出幾個等差數(shù)列嗎，并指出它的首項、末項、項數(shù)、公差

?下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請指明公差，若不是，則說明理由。

?①6，10，14，18，22，…，98；

?

②1，2，1，2，3，4，5，6；

?③

1，2，4，8，16，32，64；

?④

9，8，7，6，5，4，3，2；

?⑤3，3，3，3，3，3，3，3；

?⑥1，0，1，0，l，0，1，0；

?

方法一：采用最笨的辦法，直接按照規(guī)律，直接寫到第21項

?方法二：過根據(jù)已知的數(shù)，列出算式（數(shù)出增加的公差）

?第二項比首項多1個公差，第三項比首項多2個公差，……，第21項比首項多20個公差，則第21項比首項多3×20=60，所以第21項是62?列式：2+（21-1）×3=62?思考：這個數(shù)列的第40項是多少？

第n項=首項+（項數(shù)－1）×公差

例2求等差數(shù)列3，7，11,15，

…

的第20項．

解

：第20項=首項+（項數(shù)－1）×公差

=3+（20－1）×4=3+76=79

通過觀察發(fā)現(xiàn)這是一個公差為3的等差數(shù)列，首項為9，項數(shù)為8，公差為3，求末項

第一天

第二天

第三天

第四天

······

第八天

9

12

15

18

······

？

比第一天多

比第一天多

比第一天多

比第一天多

比第一天多

1個3

2個3

3個3

4個3

7個3

9+（8-1）×3=9+21=30（個）

首項

項數(shù)

公差

末項=首項+（項數(shù)﹣1）×公差

思考：第15天摘了多少松果

項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1

方法一：采用最笨的辦法，直接按照規(guī)律，直接從4數(shù)到42方法二：分析這是一個等差數(shù)列，首項為4，末項為46，公差為6,

46-4=42,42÷6=7，所以46比4多7個公差，多1個公差是第二項，多2個公差是第三項，……，多7個公差應(yīng)該是第8項。

列式：（46-4）÷6+1=8

補充：64是這個數(shù)列的第幾項？

哇！又是等差數(shù)列

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

···

第n次

6

10

14

18

22

···

34比第一次多

比第一次多

比第一次多

比第一次多

比第一次多

比第一次多

一個4

2個4

3個4

4個4

···

7個4

那么當取34個乒乓球的時候，比第一次多取了7個4（34﹣6）÷4=7，就是第8次取得（7+1=8次）

綜合算式得（34﹣6）÷4+1=28÷4+1=8（次）

末項

首項

公差

例