中考二次函數(shù)壓軸題解題法研究課件

中考二次函數(shù)壓軸題———解題通法研究二次函數(shù)在全國中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)學(xué)競賽中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關(guān)出題老師和專家的必選內(nèi)容。我通過近６年的研究，思考和演算了上1000道二次函數(shù)大題，總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。中考二次函數(shù)壓軸題———解題通法研究二次函數(shù)在全國中考數(shù)學(xué)中兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式中點(diǎn)坐標(biāo)線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為：中點(diǎn)坐標(biāo)線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為：一元二次方程有整數(shù)根問題解題步驟如下：①用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍

②解方程，求出方程的根

③分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。

一元二次方程有整數(shù)根問題解題步驟如下：①用和參數(shù)的其他要求二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問題

解題步驟如下：①用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍

②解方程，求出方程的根

③分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。

二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問題解題步驟如下：①用和參數(shù)的方程總有固定根問題可以通過解方程的方法求出該固定根已知關(guān)于的方程（為實(shí)數(shù)），求證：無論為何值，方程總有一個固定的根。解：當(dāng)時，當(dāng)時，，，、綜上所述無論:為何值，方程總有一個固定的根是1。方程總有固定根問題可以通過解方程的方法求出該固定根函數(shù)過固定點(diǎn)問題舉例如下：已知拋物線（是常數(shù)），求證：不論為何值，該拋物線總經(jīng)過一個固定的點(diǎn)，并求出固定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于的方程∴解得：∴拋物線總經(jīng)過一個固定的點(diǎn)（1，－1）。（題目要求:關(guān)于的方程不論為何值,方程恒成立）小結(jié)：關(guān)于x的方程有無數(shù)解函數(shù)過固定點(diǎn)問題舉例如下：已知拋物線（是常數(shù)），求證：不論路徑最值問題（待定的點(diǎn)所在的直線就是對稱軸）（1）如圖，直線,點(diǎn)在上，分別在、上確定兩點(diǎn)、，使得之和最小。路徑最值問題（待定的點(diǎn)所在的直線就是對稱軸）（1）如圖，直線路徑最值問題路徑最值問題路徑最值問題路徑最值問題在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法直接用公式、割補(bǔ)法在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法直接用公式、割補(bǔ)法函數(shù)的交點(diǎn)問題函數(shù)的交點(diǎn)問題函數(shù)的交點(diǎn)問題函數(shù)的交點(diǎn)問題方程法（1）設(shè)：設(shè)主動點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長度（2）表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量（3）列方程或關(guān)系式方程法（1）設(shè)：設(shè)主動點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長度幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”幾何分析法幾何分析法幾個自定義概念幾個自定義概念1.求證“兩線段相等”的問題1.求證“兩線段相等”的問題２、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題２、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題3、求一個已知點(diǎn)關(guān)于一條已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)問題3、求一個已知點(diǎn)關(guān)于一條已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)問題4、“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大”的問題4、“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大”的問題5.常數(shù)問題5.常數(shù)問題6.“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線）上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問題6.“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直7.三角形周長的“最值(最大值或最小值)”問題7.三角形周長的“最值(最大值或最小值)”問題8.三角形面積的最大值問題8.三角形面積的最大值問題三角形面積的最大值問題三角形面積的最大值問題9.“一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三個定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積最大的問題”由于該四邊形有三個定點(diǎn)，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形（連結(jié)兩個定點(diǎn)，即可得到一個定三角形）的面積之和，所以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點(diǎn)坐標(biāo)求法與7相同。9.“一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三個定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形10、“定四邊形面積的求解”問題有兩種常見解決的方案：方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和；方案（二）：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點(diǎn)，向x軸（或y軸）作垂線，或者把該點(diǎn)與原點(diǎn)連結(jié)起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個基本模型的三角形面積的和（差）10、“定四邊形面積的求解”問題有兩種常見解決的方案：11.“兩個三角形相似”的問題兩個定三角形是否相似：已知有一個角相等的情形：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出已知角的兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。不知道是否有一個角相等的情形：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩個三角形各邊的長，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。一個定三角形和動三角形相似：已知有一個角相等的情形：先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把動點(diǎn)坐標(biāo)表示出來（一母示），然后把兩個目標(biāo)三角形（題中要相似的那兩個三角形）中相等的那個已知角作為夾角，分別計算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應(yīng)成比例（要注意是否有兩種情況），列出方程，解此方程即可求出動點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的點(diǎn)。11.“兩個三角形相似”的問題兩個定三角形是否相似：“兩個三角形相似”的問題不知道是否有一個角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個頂點(diǎn)坐標(biāo)求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該角尋找一個直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”后，分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助于特殊角，為動點(diǎn)尋找一個直角三角形，求出動點(diǎn)坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問題了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動點(diǎn)坐標(biāo)符合題意，否則這樣的點(diǎn)不存在。簡稱“找特角，求（動）點(diǎn)標(biāo)，再驗證”?；蚍Q為“一找角，二求標(biāo)，三驗證”。“兩個三角形相似”的問題不知道是否有一個角相等的情形：１2.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩個定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形”的問題首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點(diǎn)為等腰三角形的頂點(diǎn)。（若某邊底，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況）。先借助于動點(diǎn)所在圖象的解析式，表示出動點(diǎn)的坐標(biāo)（一母示），按分類的情況，分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等，使用兩點(diǎn)間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再借助動點(diǎn)所在圖象的函數(shù)關(guān)系式，可求出動點(diǎn)縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的點(diǎn)（就是不能構(gòu)成三角形這個題意）。１2.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩個定點(diǎn)構(gòu)成等腰１3、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另外三個點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形”問題這類問題，在題中的四個點(diǎn)中，至少有兩個定點(diǎn)，用動點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”分別設(shè)出余下所有動點(diǎn)的坐標(biāo)（若有兩個動點(diǎn)，顯然每個動點(diǎn)應(yīng)各選用一個參數(shù)字母來“一母示”出動點(diǎn)坐標(biāo)），任選一個已知點(diǎn)作為對角線的起點(diǎn)，列出所有可能的對角線（顯然最多有3條），此時與之對應(yīng)的另一條對角線也就確定了，然后運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出每一種情況兩條對角線的中點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點(diǎn)重合，其坐標(biāo)對應(yīng)相等，列出兩個方程，求解即可。１3、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另外三個點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形１3、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另外三個點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形”問題進(jìn)一步有：若是否存在這樣的動點(diǎn)構(gòu)成矩形呢？先讓動點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗證兩條對角線相等否？若相等，則所求動點(diǎn)能構(gòu)成矩形，否則這樣的動點(diǎn)不存在。若是否存在這樣的動點(diǎn)構(gòu)成棱形呢？先讓動點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動點(diǎn)能構(gòu)成棱形，否則這樣的動點(diǎn)不存在。若是否存在這樣的動點(diǎn)構(gòu)成正方形呢？先讓動點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，則所求動點(diǎn)能構(gòu)成正方形，否則這樣的動點(diǎn)不存在。１3、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另外三個點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形１4、“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關(guān)系”的問題先用動點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”的方法設(shè)出直接動點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示（如果圖形是動圖形就只能表示出其面積）或計算（如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積），然后由題意建立兩個圖形面積關(guān)系的一個方程，解之即可。（注意去掉不合題意的點(diǎn)），如果問題中求的是間接動點(diǎn)坐標(biāo)，那么在求出直接動點(diǎn)坐標(biāo)后，再往下繼續(xù)求解即可。１4、“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使兩個圖形的面積之間存在和差倍１5、“某圖形〈直線或拋物線〉上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成直角三角形”的問題１5、“某圖形〈直線或拋物線〉上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)１6、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形”的問題１6、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角１7、“題中含有兩角相等，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長度”等的問題題中含有兩角相等，則意味著應(yīng)該運(yùn)用三角形相似來解決，此時尋找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是關(guān)鍵和突破口。１7、“題中含有兩角相等，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長度”等的問題18.“在相關(guān)函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下，題中又含有某動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長”的問題（此為“單動問題”〈即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題〉，本類型實(shí)際上是前面14的特殊情形。）先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或ｙ軸上，或者有一邊平行于x軸或y軸）面積的和或差，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)（一母示），按化分后的圖形建立一個面積關(guān)系的方程，解之即可。一句話，該問題簡稱“單動問題”，解題方法是“設(shè)點(diǎn)（動點(diǎn)）標(biāo)，圖形轉(zhuǎn)化（分割），列出面積方程”。18.“在相關(guān)函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下，題中又含有某19.“在相關(guān)函數(shù)解析式不確定（系數(shù)中還含有某一個參數(shù)字母）的情況下，題中又含有動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)的值”的問題此為“雙動問題”（即動解析式和動圖形相結(jié)合的問題）。如果動圖形不是基本模型，就先把動圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化或分割（轉(zhuǎn)化或分割后的圖形須為基本模型），設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)（一母示），利用轉(zhuǎn)化或分割后的圖形建立面積關(guān)系的方程（或方程組）。解此方程，求出相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用該點(diǎn)所在函數(shù)圖象的解析式，表示出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)（注意，此時，一定不能把該點(diǎn)坐標(biāo)再代入對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式，這樣會把所有字母消掉）。再注意圖中另一個點(diǎn)與該點(diǎn)的位置關(guān)系（或其它關(guān)系，方法是常由已知或利用（2）問的結(jié)論，從幾何知識的角度進(jìn)行判斷，表示出另一個點(diǎn)的坐標(biāo)，最后把剛表示出來的這個點(diǎn)的坐標(biāo)再代入相應(yīng)解析式，得