【數(shù)學(xué)】111《角的概念的推廣》課件1(新人教B版必修4)

角的概念擴(kuò)展角的概念擴(kuò)展11、角的概念初中是如何定義角的？從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線(xiàn)構(gòu)成的幾何圖形.這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它是從圖形形狀來(lái)定義角，因此角的范圍是[0o,360o)，這種定義稱(chēng)為靜態(tài)定義，其弊端在于“狹隘”.1、角的概念初中是如何定義角的？2生活中很多實(shí)例會(huì)不在該范圍。體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720o，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080o；經(jīng)過(guò)1小時(shí)，時(shí)針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多少度？這些例子不僅不在范圍[0o,360o)，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，想想用什么辦法才能推廣到任意角？關(guān)鍵是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看待角的變化。生活中很多實(shí)例會(huì)不在該范圍。32．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線(xiàn)由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線(xiàn)OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線(xiàn)OB叫做角α的終邊，射線(xiàn)的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn)．2．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角4⑵．“正角”與“負(fù)角”、“0o角”我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=－150°，γ=660°，⑵．“正角”與“負(fù)角”、“0o角”5特別地，當(dāng)一條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零度角（0o）．角的記法：角α或可以簡(jiǎn)記成∠α.特別地，當(dāng)一條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)6⑶角的概念擴(kuò)展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了①角有正負(fù)之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③還有零角,一條射線(xiàn)，沒(méi)有旋轉(zhuǎn).⑶角的概念擴(kuò)展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)7角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角．要注意，正角和負(fù)角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負(fù)規(guī)定純屬于習(xí)慣，就好象與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無(wú)正負(fù)，就好象數(shù)零無(wú)正負(fù)一樣．角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角8用旋轉(zhuǎn)來(lái)描述角，需要注意三個(gè)要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量）（2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正負(fù)數(shù)來(lái)表示，那么許多問(wèn)題就可以解決了；（1）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn).用旋轉(zhuǎn)來(lái)描述角，需要注意三個(gè)要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量9（3）旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過(guò)一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過(guò)360o，角度的絕對(duì)值可大于360o.于是就會(huì)出現(xiàn)720o，－540o等角度.（3）旋轉(zhuǎn)量：103．“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角。角的頂點(diǎn)重合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊重合于x軸的正半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1300是第Ⅲ象限角，135、2000是第Ⅱ象限角等3．“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直114．終邊相同的角

⑴觀察：390，330角，它們的終邊都與30角的終邊相同.⑵探究：終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0到360的角與k(k∈Z)個(gè)周角的和：390=30+360(k=1),

330=30360

(k=－1)

30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)

1770=305×360(k=－5)4．終邊相同的角⑴觀察：390，330角，它們的12⑶結(jié)論：所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合：{β|β=α+k·360o}(k∈Z)即：任何一個(gè)與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和⑶結(jié)論：13⑷注意以下四點(diǎn)：①k∈Z；②

是任意角；③k·360o與之間是“+”號(hào)，如k·360o－30o,應(yīng)看成k·360o+(－30o)；④終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360o的整數(shù)倍.⑷注意以下四點(diǎn)：14例1.在0o到360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角.(1)－120o；(2)640o；(3)－950o12′.解：⑴∵－120o=－360o+240o，∴240o的角與－120o的角終邊相同，它是第三象限角．⑵∵640o=360o+280o，∴280o的角與640o的角終邊相同，它是第四象限角．例1.在0o到360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角15⑶∵－950o12’=－3×360o+129o48’，∴129o48’的角與－950o12’的角終邊相同，它是第二象限角．⑶∵－950o12’=－3×360o+129o48’，16例2.寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－360o~720o間的角寫(xiě)出來(lái)：(1)60o；(2)－21o；(3)363o14′.解：(1)S={β|β=k·360o+60o(k∈Z)},

S中在－360o～720o間的角是－1×360o+60o=－280o；0×360o+60o=60o；1×360o+60o=420o．例2.寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－317(2)S={β|β=k·360o－21o(k∈Z)}

S中在－360o～720o間的角是0×360o－21o=－21o；1×360o－21o=339o；2×360o－21o=699o．(3)β|β=k·360o+363o14’(k∈Z)}S中在－360o～720o間的角是－2×360o+363o14’=－356o46’；－1×360o+363o14’=3o14’；0×360o+363o14’=363o14’．(2)S={β|β=k·360o－21o(k∈Z)}18課堂練習(xí)1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90o的角是銳角嗎？區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角嗎？答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90o的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角．課堂練習(xí)1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？192．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個(gè)象限的角？(1)420o，(2)－75o，(3)855o，(4)－510o．答：(1)第一象限角；(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角.2．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的正半軸上，作203、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（）Ax軸的非負(fù)半軸上By軸的非負(fù)半軸上Cx軸的非正半軸上Dy軸的非正半軸上A4、終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合是（）A{β|β=k·360o(k∈Z)}B{β|β=k·180o(k∈Z)}C{β|β=k·90o(k∈Z)}D{β|β=k·180o+90o(k∈Z)}C3、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（215、已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，則180o－α是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C5、已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是(227、在直角坐標(biāo)系中，若α與β終邊互相垂直，那么α與β之間的關(guān)系是（）A.β=α+90o

Bβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90o<β<α<135o，則α－β的范圍是__________，α+β的范圍是___________;(0o,45o)(180o,270o)7、在直角坐標(biāo)系中，