勾股定理分類題型(全)

勾股定理分類題型(全)一、證明方法證明方法分為三種：a、b、c。a方法是數(shù)學(xué)歸納法，即證明當(dāng)n=k時(shí)命題成立，再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，由此可得證。b方法是反證法，即假設(shè)命題不成立，推導(dǎo)出與已知條件矛盾的結(jié)論，從而證明命題成立。c方法是直接證明法，即根據(jù)已知條件和數(shù)學(xué)定理推導(dǎo)出結(jié)論，從而證明命題成立。二、面積在這一部分中，我們探討了不同圖形的面積問題。1、求陰影部分面積：可以分別考慮陰影部分是正方形、長(zhǎng)方形或半圓的情況，通過幾何圖形分析可以得到具體的面積公式。2、以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)半圓的面積之間存在特定的關(guān)系，可以通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到具體的公式。3、分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，可以得到三個(gè)正三角形的面積，通過比較它們之間的大小關(guān)系可以得到正確的答案。4、在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形，其中三個(gè)斜放置，已知它們的面積，通過計(jì)算可以得到正放置的四個(gè)正方形的面積之和。5、在給定的勾股樹中，已知部分正方形的面積，可以通過幾何推導(dǎo)得到最大的正方形E的面積。6、以某直角三角形三邊分別作三個(gè)正方形，已知兩個(gè)正方形的面積，可以通過計(jì)算得到第三個(gè)正方形的面積。7、在給定的四邊形中，已知部分角度和邊長(zhǎng)，可以通過計(jì)算得到四邊形的面積。8、在給定的長(zhǎng)方形紙片中，沿對(duì)角線折疊后形成的陰影部分的面積可以通過幾何推導(dǎo)得到。9、在給定的圖形中，小正方形的邊長(zhǎng)已知，可以通過幾何推導(dǎo)得到邊AC上A的高的長(zhǎng)度。10、在給定的四邊形中，已知部分邊長(zhǎng)和角度，可以通過計(jì)算得到四邊形的面積。11、在給定的三角形中，已知部分邊長(zhǎng)和中線的長(zhǎng)度，可以通過計(jì)算得到三角形的面積。三、在直角三角形中，求相關(guān)量在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AB=10，AC=6，可以通過勾股定理計(jì)算出BC的長(zhǎng)度為8。2、已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和2，則另一條邊長(zhǎng)的平方是13。將直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的2倍根號(hào)2。4、在直角三角形ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，則c=13；②若a=15，c=25，則b=20；③若c=61，b=60，則a=11；④若a∶b=3∶4，c=10，則Rt△ABC的面積是24。5、一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)的平方和為200，則斜邊長(zhǎng)為10。6、斜邊的邊長(zhǎng)為17cm，一條直角邊長(zhǎng)為8cm的直角三角形的面積是68。7、如圖AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE的長(zhǎng)為根號(hào)5。四、勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀1、選項(xiàng)A、C、D中的三個(gè)數(shù)可以構(gòu)成直角三角形，因?yàn)樗鼈儩M足勾股定理。2、若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為3∶4∶5。3、直角三角形的個(gè)數(shù)有2個(gè)，分別是①和④。4、已知x∶y∶z=3∶4∶6，則x=6k，y=8k，z=12k。將這些值代入x-12+x+y-25/2=-z，化簡(jiǎn)后得到4k=0，即x∶y∶z不能構(gòu)成三角形。5、根據(jù)題意，a+b+c=12a+16b+20c-200，化簡(jiǎn)得到11a+4b-19c=200。由于11、4、19互質(zhì)，所以a+4b-19c必須同時(shí)為奇數(shù)或偶數(shù)。但是a+b>c，所以c<a+b=11a+4b-19c<12a+4b，即c<4a。因此，c的取值范圍是14到48。將c=14、16、18、...、48代入11a+4b-19c=200，得到唯一解a=7，b=24，c=25。因此，△ABC是直角三角形。6、可以將五根小木棒的長(zhǎng)度從小到大排列，分別為7、15、20、24、25?？梢詫⑺鼈兘M成兩個(gè)直角三角形，其中一個(gè)的三邊長(zhǎng)為7、24、25，另一個(gè)的三邊長(zhǎng)為15、20、25。7、另外兩組基本勾股數(shù)分別為5、12、13和8、15、17。8、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4)。問三角形OAB是否為直角三角形？9、遠(yuǎn)航號(hào)和海天號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿著固定的方向航行。遠(yuǎn)航號(hào)每小時(shí)航行16海里，海天號(hào)每小時(shí)航行12海里。一個(gè)半小時(shí)后，他們相距30海里。如果遠(yuǎn)航號(hào)沿著東北方向航行，那么你能推斷出海天號(hào)沿著哪個(gè)方向航行嗎？五、利用列方程求線段的長(zhǎng)（方程思想）1、如果直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為9，另外兩條邊為連續(xù)自然數(shù)，那么這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是多少？2、如果等腰三角形的底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，那么這個(gè)三角形的面積是多少？3、在一個(gè)直角三角形ABC中，∠C=90°。如果a+b=14cm，c=10cm，那么這個(gè)直角三角形ABC的面積是多少？4、小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處。此時(shí)，繩子末端距離地面2m。求旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）。5、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高度。他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還有1米。當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面。你能幫他算出旗桿的高度嗎？6、在圖中，有兩只猴子在一棵樹CD高5m的點(diǎn)B處。它們都要到A處的池塘去喝水。其中一只猴子沿著樹爬下走到離樹10m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線越向池塘的A處。如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，那么這棵樹高多少米？7、一架長(zhǎng)2.5m的梯子斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m（如圖）。如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動(dòng)多少米？8、在圖中，已知△ABC中，∠C=90°。AB的垂直平分線交BC于M，交AB于N。如果AC=4，MB=2MC，那么求AB的長(zhǎng)。9、在圖中，有一張直角三角形紙片，兩條直角邊AC=6，BC=8。將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE。那么CD的長(zhǎng)度是多少？10、一塊直角三角形紙片，AC=6cm，BC=8cm，將AC沿直線AD折疊，使其落在斜邊AB上，且C與E重合，求CD的長(zhǎng)度。11、小明的叔叔家有一個(gè)面積為48平方米的長(zhǎng)方形魚池，對(duì)角線長(zhǎng)為10米，為了建柵欄，需要計(jì)算矩形魚池的周長(zhǎng)，你能幫助小明算一下嗎？12、在鐵路上，A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，AD=15km，BC=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E站建在距A站多少千米處。六、折疊問題七、勾股定理在非直角三角形中的應(yīng)用1、在直角三角形ABC中，角C=90度，AC=4，BC=3，外接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形，求等腰三角形的底邊長(zhǎng)。2、已知在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，則邊BC的長(zhǎng)為多少。3、某市計(jì)劃在如圖所示的三角形空地上種植草皮，草皮每平方米售價(jià)a元，求購買這種草皮至少需要多少元。30米20米150°4、在ΔABC中，AC=12，∠B=45°，∠A=60°，求ΔABC的面積。C1260°45°BA5、將一根長(zhǎng)24㎝的筷子置于地面直徑為5㎝，高為12㎝的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為h㎝，則h的取值范圍是多少。八、爬行距離最短問題1、一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為3cm，高為5cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，它所行的最短路線的長(zhǎng)度是多少。B2、如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離是多少。AB3、如圖，一個(gè)圓柱的底圓周長(zhǎng)為6cm，高為4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最少要爬行多少。4、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只昆蟲想到B點(diǎn)去吃可口的食物，昆蟲沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少米。A九、航海問題1、一艘船以16海里/小時(shí)的速度向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/小時(shí)的速度向西北方向航行。經(jīng)過1.5小時(shí)后，它們相距多少海里？2、一艘船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接著，它又掉頭向正東方向航行15千米。問：(1)此時(shí)船離出發(fā)點(diǎn)多少千米？(2)若每航行1千米，需耗油0.4升，那么在此過程中船共耗油多少升？3、如圖，一艘貨船以24海里/小時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處。在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30°的方向上。已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁。若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由。4、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響。那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由。如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度