《計(jì)算電磁學(xué)》第五講(二)課件

Oct.31,2011《計(jì)算電磁學(xué)第五講》（二）Dr.PingDU(杜平)E-mail:pdu@SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)7/31/20231Oct.31,2011《計(jì)算電磁學(xué)第五講》（二）Dr.Berenger完全匹配層

Gedney完全匹配層

Outline7/31/20232Berenger完全匹配層Gedney完全匹配Berenger完全匹配層

PML媒質(zhì)的定義

首先，以二維TE()情形為例建立PML媒質(zhì)的方程。

如圖4所示，在直角坐標(biāo)系中，電磁場不隨z坐標(biāo)變化，電場位于(x,y)平面。

圖4TE問題7/31/20233Berenger完全匹配層PML媒質(zhì)的定義首先，電磁場只有3個(gè)分量Maxwell方程退為3個(gè)方程。媒質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率分別為磁阻率為.Maxwell方程為

(5-42)(5-43)(5-44)7/31/20234電磁場只有3個(gè)分量Maxwell方程退為3個(gè)方程。媒質(zhì)的介電如果

成立，則該媒質(zhì)的波阻抗與自由空間波阻抗相等。當(dāng)波垂直入射到媒質(zhì)-自由空間分界面時(shí)，不存在反射。

定義TE情形下的PML媒質(zhì)。需要將分裂為這樣，PML媒質(zhì)有4個(gè)場分量，其滿足方程

兩個(gè)分量。(5-45)(5-46)(5-47)7/31/20235如果成立，則該媒質(zhì)的波阻抗與自由空間波阻抗相等。定其中，為電導(dǎo)率，為磁阻率。

(5-49)(5-48)7/31/20236其中，為電導(dǎo)率，為磁阻率。(5-49)(5-48)7/30PML媒質(zhì)中平面波的傳播

考察正弦平面波在PML媒質(zhì)中的傳播。

令電場分量的振幅為，與y軸夾角為，如圖4所示。

分裂磁場分量的振幅分別為這些場分量分別可表示為(5-50)(5-51)7/31/20237PML媒質(zhì)中平面波的傳播考察正弦平面波在PML媒質(zhì)中的是角頻率，t是時(shí)間，為復(fù)常數(shù)。

其中已知，方程(5-50)-(5-53)中有4個(gè)待定量：假設(shè)將他們代入到方程(5-46)-(5-49)中，可得4個(gè)待定量的關(guān)系式為(5-53)(5-52)(5-54)7/31/20238是角頻率，t是時(shí)間，為復(fù)常數(shù)。其中已知，方程(5-50)-消去，可得

(5-57)(5-56)(5-55)(5-58)7/31/20239消去，可得(5-57)(5-56)(5-55)(5-58)我們可以解出首先，的比值為

(5-59)(5-60)7/31/202310我們可以解出首先，的比值為(5-59)(5-60)7/30然后由式(5-60)和(5-59)可求得。由(5-60)、(5-58)可求得由此，存在兩組符號(hào)相反的，代表著兩個(gè)相反的傳播方向

選擇正的一組解，有

(5-62)(5-61)7/31/202311然后由式(5-60)和(5-59)可求得。由(5-其中，

于是求得了PML媒質(zhì)中平面波的傳播常數(shù)。

(5-65)(5-64)(5-63)7/31/202312其中，于是求得了PML媒質(zhì)中平面波的傳播常數(shù)。(5-65用代表該平面波的任一場分量，其振幅為。由式(5-50)-(5-53)及式(5-61)-(5-62)，有最后，將式(5-61)、(5-62)的值代入式(5-56)(5-57)，可解得

(5-66)(5-67)(5-68)7/31/202313用代表該平面波的任一場分量，其振幅為。由式(5-50)-(5由式(5-63)-(5-65)，可得

電場與磁場的振幅比為

現(xiàn)在假設(shè)兩組參數(shù)和均滿足(5-45)。此時(shí)，對(duì)任何頻率均等于1.

(5-69)(5-70)7/31/202314由式(5-63)-(5-65)，可得電場與磁場的振幅比為場分量和波阻抗的結(jié)果為

?

(71)第一指數(shù)項(xiàng)表明，PML媒質(zhì)中的波在垂直于電場的方向以自由空間中的波速傳播；后兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)表明，此時(shí)波的振幅沿x和y方向按指數(shù)規(guī)律減小?

式(72)表明：此時(shí)PML媒質(zhì)的波阻抗與自由空間波阻抗相同(5-71)(5-72)7/31/202315場分量和波阻抗的結(jié)果為?(71)第一指數(shù)項(xiàng)表明，PML媒

?對(duì)式(5-66)，如果波沿y方向傳播，并且，

?反之，如果波沿x方向傳播，并且，則波沿x方向無衰減地傳播，PML不能吸收波。則波沿y方向無衰減地傳播，PML不能吸收波。?觀察波函數(shù)表達(dá)式(5-71)，如果，則沿y方向的指數(shù)項(xiàng)等于1，波只在x傳播方向被吸收；

?反之，如果，則沿x方向的指數(shù)項(xiàng)等于1，波只在y傳播方向被吸收7/31/202316?對(duì)式(5-66)，如果波沿y方向傳播，并且

PML-PML媒質(zhì)分界面處波的傳播

考察電磁波從一種PML到另一種PML媒質(zhì)的傳播問題。先考慮分界面垂直于x軸的情形，如圖5所示。圖5垂直于x軸的PML-PML媒質(zhì)分界面

7/31/202317PML-PML媒質(zhì)分界面處波的傳播考察電磁波從一種PML設(shè)分別表示入射、透射、反射電場相對(duì)分界面的角度和媒質(zhì)參數(shù)分別為如果PML媒質(zhì)滿足匹配條件(5-45)，根據(jù)式(5-71)，分別為相對(duì)分解面法向定義的入射角、透射角、反射角(見圖5)

假設(shè)分界面為無限大，入射、透射、反射波均為平面波。

記振幅分別為

由式(5-66)可寫出入射、反射、透射電場在x=0分界面的表達(dá)式為7/31/202318設(shè)分別表示入射、透射、反射電場相對(duì)分界面的角度和媒質(zhì)參數(shù)分別其中，

可由(5-64)和(5-65)算出(5-75)(5-74)(5-73)(5-76)7/31/202319其中，可由(5-64)和(5-65)算出(5-75)(5-由(5-69)和(5-70)式可知入射、反射、透射磁場在x=0分解面分別為(5-77)

(5-78)

(5-79)在分界面處，切向電磁場分量必須連續(xù)，因而有

(5-80)

(5-81)7/31/202320由(5-69)和(5-70)式可知入射、反射、透射磁場在x=將式(73)-(75)代入到(80)，該式要對(duì)所有的y都成立，必須使式(73)-(75)中的指數(shù)因子相等.由此可得

(5-82)這兩式為PML-PML媒質(zhì)分界面處的Snell定律。

(5-83)最后，式(5-80)和(5-81)變?yōu)?/p>

7/31/202321將式(73)-(75)代入到(80)，該式要對(duì)(5-84)(5-85)定義反射系數(shù)為分界面處反射與入射電場切向分量之比。由上面兩式，可得TE情形的反射系數(shù)為由式(5-70)，反射系數(shù)還可寫成其中是的函數(shù)，可由(5-76)計(jì)算

(5-86)(5-87)7/31/202322(5-84)(5-85)定義反射系數(shù)為分界面處考察特殊情況：兩種媒質(zhì)的相同。此時(shí)Snell定律(5-83)變?yōu)?/p>

將(5-88)代入到式(5-87)，有(5-88)(5-89)對(duì)(5-89)兩邊平方，將

用式(5-76)代入，注意此時(shí)

,得

(5-90)7/31/202323考察特殊情況：兩種媒質(zhì)的相同。此時(shí)Snell定律(5-83)由(5-89)和(5-90)，可得

(5-91)

這表明：即使媒質(zhì)不滿足匹配條件式(5-45)，只要兩種媒質(zhì)具有相同的

,反射系數(shù)將不隨入射角

變化；

只通過式(64)、(65)隨頻率而改變

如果媒質(zhì)是匹配的，有

,式(5-88)、(5-89)簡化為

()(5-92)

(5-93)

7/31/202324由(5-89)和(5-90)，可得(5-91)這表明：即這表明：如果媒質(zhì)滿足匹配條件式(5-45)，只要兩種媒質(zhì)具有相同的

,任意入射角、任意頻率的平面波將無反射地通過PML-PML媒質(zhì)分界面當(dāng)PML-PML分界面垂直于y軸時(shí)，有類似結(jié)論

綜上所述，可得出結(jié)論：?

在垂直于x軸的PML-PML媒質(zhì)分界面，如果兩種媒質(zhì)的

則反射系數(shù)始終為零

相同,?

在垂直于y軸的PML-PML媒質(zhì)分界面，如果兩種媒質(zhì)的

相同,則反射系數(shù)始終為零

7/31/202325這表明：如果媒質(zhì)滿足匹配條件式(5-45)，只要兩種媒質(zhì)具有用于FDTD的PML

圖6為PML與FDTD網(wǎng)格結(jié)合的方案。FDTD仿真區(qū)域假設(shè)為自由空間，它被PML媒質(zhì)包圍，PML又被PEC包圍。

圖6FDTD網(wǎng)格與PML的結(jié)合

7/31/202326用于FDTD的PML圖6為PML與FDT(5-94)(5-95)(5-96)在PML媒質(zhì)中距離分界面為r的地方，外向平面波的幅度可寫成其中是相對(duì)媒質(zhì)分界面定義的入射角，是或如果PML媒質(zhì)厚度為δ，則其表面的反射系數(shù)為電導(dǎo)率從自由空間-PML分界面的0到PML最外面逐漸增加。設(shè)離開自由空間-PML分解面距離為r處的導(dǎo)電率為則分界面反射系數(shù)為，7/31/202327(5-94)(5-95)(5-96)在PML媒質(zhì)中距離分界面如果取(5-97)(5-98)將其代入到(5-96)，可得當(dāng)(垂直入射)時(shí)，

(5-99)7/31/202328如果取(5-97)(5-98)將其代入到(5-96)，可得當(dāng)PML中差分格式

在PML中可以采用指數(shù)差分，也可以采用普通的中心差分公式二者的計(jì)算復(fù)雜度相當(dāng)，準(zhǔn)確程度也差不多對(duì)于PML媒質(zhì)中的偏微分方程(5-46)-(5-49)，仍舊采用Yee差分網(wǎng)格

的取樣位置不變；都在標(biāo)準(zhǔn)Yee差分網(wǎng)格中

的取樣位置取樣(見圖7)

PML媒質(zhì)內(nèi)部，式(5-46)-(5-49)的指數(shù)差分格式分別為

7/31/202329PML中差分格式在PML中可以采用指數(shù)差分，也圖7右上角區(qū)域的FDTD網(wǎng)格

7/31/202330圖7右上角區(qū)域的FDTD網(wǎng)格7/30/202330(5-100)(5-101)7/31/202331(5-100)(5-101)7/30/202331(5-102)(5-103)其中，在左、右側(cè)邊及角處是x(i)的函數(shù)，在上、下側(cè)邊為零

在上、下側(cè)邊及角處是y(j)的函數(shù)，在左、右側(cè)邊為零

7/31/202332(5-102)(5-103)其中，在左、右側(cè)邊及角處是x(對(duì)于位于分界面上的電場分量，其差分格式中要用到自由空間的磁場分量在的上分界面

(5-104)在的右分界面

(5-105)7/31/202333對(duì)于位于分界面上的電場分量，其差分格式中要用在公式中，

均取以取樣點(diǎn)為中心的單元上的平均值,如

(5-106)(5-107)(5-108)(5-109)(5-110)7/31/202334在公式中，均取以取樣點(diǎn)為中心的單元上的平均值,如(5-1結(jié)論：?在垂直于x軸的PML-PML媒質(zhì)分界面，如果兩種媒質(zhì)的

相同,則反射系數(shù)始終為零

?在垂直于y軸的PML-PML媒質(zhì)分界面，如果兩種媒質(zhì)的

相同,則反射系數(shù)始終為零

對(duì)TM模，可以像TE情形那樣構(gòu)造無反射PML吸收層。三維情況的PML此時(shí)，直角坐標(biāo)系下的6個(gè)場分量均被分裂：7/31/202335結(jié)論：?在垂直于x軸的PML-PML媒質(zhì)分界面，如果兩種媒PML媒質(zhì)中的場分量滿足下列方程

(5-111)(5-112)(5-113)(5-114)(5-115)7/31/202336PML媒質(zhì)中的場分量滿足下列方程(5-111)(5-112(5-116)(5-119)(5-118)(5-117)(5-120)(5-121)(5-122)7/31/202337(5-116)(5-119)(5-118)(5-117)(5匹配條件為

當(dāng)該條件滿足時(shí)，波在i方向很快衰減。

(5-123)(5-124)(5-125)7/31/202338匹配條件為當(dāng)該條件滿足時(shí)，波在i方向很快衰減。(5-12對(duì)方程(5-111)-(5-122)進(jìn)行差分化，得PML媒質(zhì)中的差分格式

(5-126)(5-127)(5-128)7/31/202339對(duì)方程(5-111)-(5-122)進(jìn)行差分化，得PML媒質(zhì)(5-129)(5-130)(5-131)7/31/202340(5-129)(5-130)(5-131)7/30/2023(5-134)(5-133)(5-132)7/31/202341(5-134)(5-133)(5-132)7/30/2023(5-135)(5-136)(5-137)7/31/202342(5-135)(5-136)(5-137)7/30/2023其中，系數(shù)A、B分別按不同差分格式分別給出：(1)指數(shù)差分格式(5-138)(5-139)(5-141)(5-140)7/31/202343其中，系數(shù)A、B分別按不同差分格式分別給出：(1)指數(shù)差分(2)標(biāo)準(zhǔn)中心差分格式(5-142)(5-143)(5-144)(5-145)7/31/202344(2)標(biāo)準(zhǔn)中心差分格式(5-142)(5-143)(5-1PML參數(shù)選擇

PML層數(shù)N、電導(dǎo)率分布階數(shù)n、PML表面反射系數(shù)R(0)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明:減小反射誤差措施

誤差來自PML外側(cè)PEC引起的理論反射系數(shù)；數(shù)值網(wǎng)格引起的誤差。當(dāng)電導(dǎo)率分布階數(shù)較小時(shí)，前者為主；當(dāng)其較高時(shí)，后者為主。減小誤差的措施有：

?分界面出參數(shù)合理取值；

1)當(dāng)PML厚度固定，減小R(0)可以使局部及總體誤差都單調(diào)減小。但當(dāng)其小于10-5時(shí)，這種現(xiàn)象不再存在。一般選取R(0)=1%.2)增加PML厚度可以使局部及總體誤差都單調(diào)減小。但層數(shù)太多增加計(jì)算量。一般N為4~8層。3)電導(dǎo)率分布階數(shù)的改變不會(huì)影響計(jì)算量、但會(huì)影響吸收邊界效果。常數(shù)分布會(huì)帶來較強(qiáng)的數(shù)值反射；線性分布可以改善結(jié)果；選擇n=2可進(jìn)一步改進(jìn)吸收效果。7/31/202345PML參數(shù)選擇PML層數(shù)N、電導(dǎo)率分布階數(shù)n、PML表面?用吸收算子代替PML外側(cè)的理想導(dǎo)體

?衰減模的吸收

1997年，南京理工大學(xué)D.G.Fang(方大綱)教授等在亞太微波會(huì)議上提出了MPML(修正PML)來吸收衰減模。7/31/202346?用吸收算子代替PML外側(cè)的理想導(dǎo)體?衰減模的吸收Gedney完全匹配層(UPML)

?與Berenger提出的PML在數(shù)學(xué)上是等效的

?理論體系是Maxwell方程的,便于理解和高效數(shù)值實(shí)現(xiàn)

?既可吸收傳播模，也能同時(shí)吸收凋落模。初始Berenger的PML難以完成的

完全匹配單軸媒質(zhì)

設(shè)一任意極化的時(shí)諧平面波

在各向同性媒質(zhì)中傳播，并照射到半無限大空間的單軸各向異性媒質(zhì)假設(shè)分界面為z=0平面

(146)7/31/202347Gedney完全匹配層(UPML)?與Berenger提在單軸各向異性媒質(zhì)中激起的是平面波，其滿足Maxwell方程

傳播常數(shù)為

這樣能保證分界面處相位匹配

將平面波代入到Maxwell方程，得

where

aretherelativepermeabilityandtherelativepermittivity

oftheisotropicmedia,respectively,whichareand(148)(147)7/31/202348在單軸各向異性媒質(zhì)中激起的是平面波，其滿足Maxwell方程(149)和(150)式中，假設(shè)了該各向異性媒質(zhì)關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。

注：當(dāng)時(shí)諧場的時(shí)間因子(timedependence)為時(shí)，這樣，

k為波的傳播矢量

(149)(150)7/31/202349(149)和(150)式中，假設(shè)了該各向異性媒質(zhì)關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)由(149)和(150)，可推導(dǎo)得波動(dòng)方程

where

(151)canbeexpressedinmatrixformas

whereand(151)(152)7/31/202350由(149)和(150)，可推導(dǎo)得波動(dòng)方程where(1只有系數(shù)行列式為零時(shí)，才可以得到非零解，也就得到了該單軸媒質(zhì)的色散關(guān)系。這樣，我們可得到4個(gè)本征模解。對(duì)其進(jìn)行去耦分解，得到前傳和后傳的

模和模它們滿足計(jì)算分界面的反射系數(shù)。先考察

模入射。上半部各向同性媒質(zhì)中的場表示為

(153)(154)(155)7/31/202351只有系數(shù)行列式為零時(shí)，才可以得到非零解，也透射進(jìn)入各向異性媒質(zhì)半空間的波也是

,滿足色散關(guān)系(153),可表示為

whereandarethereflectionandtransmissioncoefficients,respectively利用邊界切向分量連續(xù)條件，得

(156)(157)(158)(159)7/31/202352透射進(jìn)入各向異性媒質(zhì)半空間的波也是,滿足色散關(guān)系(153我們需要使反射系數(shù)對(duì)任意入射角都為0.也就是說，

由式(152)，可進(jìn)一步表示為

with顯然，當(dāng)且時(shí)，成立.對(duì)模,可相似地推導(dǎo)出無反射條件為且。由此，可以得出：當(dāng)平面波照射到由式(149)和(150)描述的單軸各向異性媒質(zhì)時(shí)，如,則平面波無反射.且不隨入射角、極化、頻率變化而變化另外，由式(153)可知，此時(shí)模和模的傳播特性相同.(160)7/31/202353我們需要使反射系數(shù)對(duì)任意入射角都為0.也就是說，由式(1為使單軸媒質(zhì)有耗，可取此時(shí)已對(duì)歸一化于是，相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率張量為(161)7/31/202354為使單軸媒質(zhì)有耗，可取此時(shí)已對(duì)歸一化于是，相對(duì)介電常數(shù)和相色散關(guān)系現(xiàn)在可表示為(162)由此可解出(163)單軸媒質(zhì)中的模場表達(dá)式為(164)7/31/202355色散關(guān)系現(xiàn)在可表示為(162)由此可解出(163)單軸媒(165)where(166)是相對(duì)于z軸的入射角。透射波與入射波的相速相同。透射波沿z軸是衰減的，衰減常數(shù)不隨頻率變化，但與入射角及單軸媒質(zhì)的導(dǎo)電率有關(guān)。透射波的橫向特征波阻抗與入射波相同。因此，媒質(zhì)是完全匹配的。7/31/202356(165)where(166)是相對(duì)于z軸的入射角。透射波與如果上半部各向同性媒質(zhì)是有耗的，相應(yīng)的入射波是有衰減的平面波Maxwell旋度方程為where.isthecomplexrelativedielectricconstant.istheconductivityofisotropicmedia.Thecomplexwavenumberbecomes(167)(169)(168)7/31/202357如果上半部各向同性媒質(zhì)是有耗的，相應(yīng)的入射波是有衰減的平面波仍然假設(shè)單軸各向異性媒質(zhì)是關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，和滿足(149)和(150)此時(shí)，單軸各向異性媒質(zhì)中的模和模滿足色散關(guān)系(170)模的反射系數(shù)為(171)由匹配條件要求(172)7/31/202358仍然假設(shè)單軸各向異性媒質(zhì)是關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，和滿足(14Accordingtothedispersionrelation,wehave(173)Itcanbeobservedthat(172)holdswhenc=aandb=a-1.Forthemode,wecanderivetheconditionwithzeroreflection,whichis可得出結(jié)論：當(dāng)有耗平面波照射到由式(149)、(150)描述的單軸各向異性媒質(zhì)時(shí)，如果,則平面波將全部透射到該單媒質(zhì)中。它不會(huì)隨入射波的入射角、極化、頻率的變化而變化。7/31/202359Accordingtothedispersionre如果仍取由和色散關(guān)系可以推出(174)當(dāng)入射波主要特征是凋落波時(shí)，觀察(173)式發(fā)現(xiàn)單軸媒質(zhì)幾乎不提供附加衰減，電磁波在其中以與入射波相同的速度衰減。Toacceleratetheattenuation,wecanchoose(175)7/31/202360如果仍取由和色散關(guān)系可以推出(174)當(dāng)入射波主要特征是whereThus,wecanobtain(176)UPML媒質(zhì)中FDTD差分格式(FDTDformulationintheUPML)如果電磁波入射區(qū)是無耗的各向同性媒質(zhì)，以相對(duì)于z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的完全匹配單軸各向異性媒質(zhì)為例，Maxwell旋度方程可寫成(177)7/31/202361whereThus,wecanobtain(176)(178)式(176)中的第三式不是標(biāo)準(zhǔn)形式，必須單獨(dú)處理.定義(179)采用兩步方式進(jìn)行FDTD仿真7/31/202362(178)式(176)中的第三式不是標(biāo)準(zhǔn)形式，必須單獨(dú)處理.于是，(177)中的第三式可寫成(180)采用標(biāo)準(zhǔn)FDTD方式刷新(181)7/31/202363于是，(177)中的第三式可寫成(180)采用標(biāo)準(zhǔn)FDTDBy(179),wehave(182)通過替換,可得其時(shí)域表達(dá)式(183)Byusingthecentraldifference,weobtain(184)于是，利用式(181)和(184)可以通過兩步方式刷新法向電場分量7/31/202364By(179),wehave(182)通過替換,對(duì)式(178)，記等效磁阻率為,滿足關(guān)系(185)于是，式(178)可重寫為(186)式(186)中第一、二兩式與橫向場分量相關(guān)，表達(dá)式同各向同性有耗媒質(zhì)中的公式完全一樣，因而可使用標(biāo)準(zhǔn)的FDTD差分格式。7/31/202365對(duì)式(178)，記等效磁阻率為,滿足關(guān)系(185)于式(186)中第三式不是標(biāo)準(zhǔn)形式，需要單獨(dú)處理。采用兩步方式進(jìn)行FDTD仿真。定義(187)于是，式(186)中第三式可寫成(188)采用標(biāo)準(zhǔn)FDTD方式刷新7/31/202366式(186)中第三式不是標(biāo)準(zhǔn)形式，需要單獨(dú)處理。采用兩步方式(189)由式(187)，有(190)通過替換，得到其時(shí)域表達(dá)式7/31/202367(189)由式(187)，有(190)通過替換，得到其時(shí)(191)用中心差分，得到其差分格式如下(192)這樣，利用式(189)和(192)可以通過兩步方式刷新法向磁場分量如果電磁波入射區(qū)是有耗導(dǎo)電的各向同性媒質(zhì)，相對(duì)介電常數(shù)為復(fù)數(shù)，完全匹配PML媒質(zhì)中的Maxwell旋度方程可寫為7/31/202368(191)用中心差分，得到其差分格式如下(192)這樣，利(193)(194)7/31/202369(193)(194)7/30/202369對(duì)于(193)中的第一、第二兩式，定義(195)(196)于是，第一、第二式可以寫為(197)(198)7/31/202370對(duì)于(193)中的第一、第二兩式，定義(195)(196)Transformingthemintotime-domaincounterparts,wehave(199)(200)他們與各向同性有耗媒質(zhì)中的公式完全相同，因此可使用標(biāo)準(zhǔn)的FDTD差分格式刷新得到和.轉(zhuǎn)到第二步，由輔助關(guān)系式(195)、(196)刷新和.對(duì)各向同性的有耗媒質(zhì)，(201)7/31/202371Transformingthemintotime-do輔助關(guān)系(195)、(196)的時(shí)域表達(dá)式為(202)(203)由中心差分可得到刷新的公式為(204)7/31/202372輔助關(guān)系(195)、(196)的時(shí)域表達(dá)式為(202)(2刷新的公式與此相似。對(duì)于式(192)中的第三式，定義(205)這樣，式(192)的第三式，可寫成(206)對(duì)于各向同性的有耗媒質(zhì)，,上式可按標(biāo)準(zhǔn)的FDTD公式刷新7/31/202373刷新的公式與此相似。對(duì)于式(192)中的第三式，定義((207)從解的穩(wěn)定性考慮，對(duì)良導(dǎo)體也可采用指數(shù)差分格式或Luebbers差分格式。然后，轉(zhuǎn)入第二步，由輔助關(guān)系(205)可得到時(shí)域方程7/31/202374(207)從解的穩(wěn)定性考慮，對(duì)良導(dǎo)體也可采用指數(shù)差分格式或L(208)用中心差分可得到其差分格式如下(209)于是，利用式