工程斷裂力學(xué)課件

能量守恒與斷裂判據(jù)能量守恒與斷裂判據(jù)1

在現(xiàn)代斷裂力學(xué)建立以前，機械零構(gòu)件是根據(jù)傳統(tǒng)的強度理論進行設(shè)計的，不論在機械零構(gòu)件的哪一部分，設(shè)計應(yīng)力的水平一般都不大于材料的屈服應(yīng)力，即這里是設(shè)計應(yīng)力；是安全系數(shù)，其值大于1；是屈服應(yīng)力，在等截面物體受到單向拉伸時，即為單向拉伸的屈服強度。傳統(tǒng)強度理論在現(xiàn)代斷裂力學(xué)建立以前，機械零構(gòu)件是根據(jù)傳統(tǒng)的強2經(jīng)典斷裂理論

斷裂力學(xué)的一大特點是，假定物體已經(jīng)帶有裂紋?，F(xiàn)代斷裂力學(xué)能對此帶裂紋物體的裂紋端點區(qū)進行應(yīng)力應(yīng)變分析，從而得到表征裂端區(qū)應(yīng)力應(yīng)變場強度的參量。本章介紹的是在現(xiàn)代斷裂力學(xué)發(fā)展以前，科學(xué)家根據(jù)能量守恒定律而建立的斷裂判據(jù)，相對于現(xiàn)代斷裂力學(xué)，這可稱為經(jīng)典的斷裂理論。經(jīng)典斷裂理論斷裂力學(xué)的一大特點是，假32-1Griffith能量釋放觀點

Griffith是本世紀(jì)二十年代英國著名的科學(xué)家，他在斷裂物理方面有相當(dāng)大的貢獻，其中最大的貢獻要算提出了能量釋放(energyrelease)的觀點，以及根據(jù)這個觀點而建立的斷裂判據(jù)。本節(jié)要介紹根據(jù)Griffith觀點而發(fā)展起來的彈性能釋放理論，此理論在現(xiàn)代斷裂力學(xué)中仍占有相當(dāng)重要的地位。2-1Griffith能量釋放觀點4Griffith裂紋

圖(2－1)的Griffith裂紋問題(即無限大平板帶有穿透板厚的中心裂紋，且受到無窮遠處的單向均勻拉伸的裂紋問題)，以及圖(2－2)的矩形平板帶有單邊裂紋(singleedgecrack)的問題。設(shè)兩平板的厚度均為B，Griffith裂紋長度為2a，單邊裂紋的長度為a。

Griffith裂紋圖(2－1)的Griffith裂5Griffith能量釋放觀點

現(xiàn)在只考慮Griffith裂紋右端點。在拉伸應(yīng)力的作用下，此裂紋端點向正前方擴展。根據(jù)Griffith能量釋放觀點，在裂紋擴展的過程中，能量在裂端區(qū)釋放出來，此釋放出來的能量將用來形成新的裂紋面積。

Griffith能量釋放觀點現(xiàn)在只考慮Griffi6能量釋放率定義裂紋尖端的能量釋放率(energyreleaserate)如下∶能量釋放率是指裂紋由某一端點向前擴展一個單位長度時，平板每單位厚度所釋放出來的能量。為了紀(jì)念Griffith的功績，用其姓的第一個字母G來代表能量釋放率。由定義可知，G具有能量的概念。其國際制單位(SI單位制)一般用“百萬牛頓/米”(MN/m)。

能量釋放率定義裂紋尖端的能量釋放率(energyrel7表面自由能

材料本身是具有抵抗裂紋擴展的能力的，因此只有當(dāng)拉伸應(yīng)力足夠大時，裂紋才有可能擴展。此抵抗裂紋擴展的能力可以用表面自由能(surfacefreeenergy)來度量。一般用γs表示。

表面自由能定義為：材料每形成單位裂紋面積所需的能量，其量綱與能量釋放率相同。

表面自由能材料本身是具有抵抗裂紋擴展的能力的，因8著名的Griffith斷裂判據(jù)若只考慮脆性斷裂，而裂端區(qū)的塑性變形可以忽略不計。則在準(zhǔn)靜態(tài)的情形下，裂紋擴展時，裂端區(qū)所釋放出來的能量全部用來形成新的裂紋面積。換句話說，根據(jù)能量守恒定律，裂紋發(fā)生擴展的必要條件是裂端區(qū)要釋放的能量等于形成裂紋面積所需的能量。設(shè)每個裂端裂紋擴展量為Δa，則由能量守恒定律有：這就是著名的Griffith斷裂判據(jù)。著名的Griffith斷裂判據(jù)若只考9關(guān)于Griffith斷裂判據(jù)Griffith假定γs為一材料常數(shù)，剩下的問題就是如何計算帶裂紋物體裂端的能量釋放率G。若此G值大于或等于2γs，就會發(fā)生斷裂；若小于2γs，則不發(fā)生斷裂，此時G值僅代表裂紋是否會發(fā)生擴展的一種傾向能力，裂端并沒有真的釋放出能量。能量是對一切宏觀微觀物質(zhì)運動的描述。相應(yīng)于不同形式的運動，能量分為機械能、分子內(nèi)能、電能、化學(xué)能、原子能、內(nèi)能等。關(guān)于Griffith斷裂判據(jù)Grif10帶裂紋的彈性體的變形能考慮帶有裂紋的彈性體，在拉伸載荷作用下，若裂紋仍然維持靜止，則此彈性體所儲存的總應(yīng)變能U要比在沒裂紋時所儲存的總應(yīng)變能U0大，兩者之差用U1表示?？梢哉fU1是因裂紋存在而附加的應(yīng)變能。

為什么？帶裂紋的彈性體的變形能考慮帶有裂紋的彈性體，在拉11單邊裂紋的能量釋放率

假想裂紋發(fā)生了準(zhǔn)靜態(tài)擴展，裂端所釋放的能量是由總應(yīng)變能的一部分轉(zhuǎn)化過來的，因此，比較裂紋擴展前后的總應(yīng)變能就可以得到能量釋放率。則根據(jù)能量守恒定律和能量釋放率的定義，可得：

單邊裂紋單邊裂紋的能量釋放率假想裂紋發(fā)生了準(zhǔn)靜態(tài)擴展，裂12中心裂紋的能量釋放率

由于對稱關(guān)系，中心裂紋系統(tǒng)所釋放的能量將均等地分配到兩個裂端，使每個端的裂紋擴展量為Δa。因此，裂紋兩端具有相同的能量釋放率，其表達式將為單邊裂紋能量釋放率表達式的一半。對稱中心裂紋中心裂紋的能量釋放率由于對稱關(guān)系，中心裂紋系統(tǒng)所13能量釋放率的另一表達形式

由于沒有裂紋時的總應(yīng)變能U0與裂紋長度無關(guān)，U=U0＋U1，所以：單邊裂紋對稱中心裂紋能量釋放率的另一表達形式由于沒有裂紋時的總應(yīng)變能U014Griffith裂紋的彈性力學(xué)理論分析Griffith利用Inglis的無限大平板帶有橢圓孔的彈性解析解，得到了因裂紋存在而附加的應(yīng)變能U1，其表達式為：這里σ是無窮遠處的均勻拉伸應(yīng)力，E是彈性模量。上式僅適用于很薄的平板(平面應(yīng)力狀態(tài))；若是厚板，其內(nèi)部是平面應(yīng)變狀態(tài)時，E應(yīng)為所取代，這里ν是泊松比。

如何得到？Griffith裂紋的彈性力學(xué)理論分析15Griffith斷裂判據(jù)可得Griffith裂紋的能量釋放率為：由Griffith斷裂判據(jù)得：Griffith斷裂判據(jù)可得Griffith裂紋的能量釋放率16臨界斷裂曲線在剛發(fā)生斷裂時，σ2a為一常數(shù)。若值小于上式等號右邊的常數(shù)值，則此時應(yīng)力水平和裂紋長度，不足以產(chǎn)生斷裂。若σ2a值大于右邊的常數(shù)值，則在此時的應(yīng)力水平和裂紋長度下，將會發(fā)生斷裂。上述關(guān)系，此曲線劃分了斷裂區(qū)和安全區(qū)。由圖還可知道∶若已知當(dāng)前Griffith裂紋的長度，將可計算出發(fā)生斷裂的臨界應(yīng)力；或者，若已知當(dāng)前的應(yīng)力水平，將可知會發(fā)生斷裂的臨界裂紋長度。臨界斷裂曲線在剛發(fā)生斷裂時，σ2a為一常數(shù)17課外作業(yè)用有機玻璃板制成50×150毫米的矩形板，在板正中央鉆一小孔，然后用線鋸和刀片制成Griffith裂紋。要求裂紋長度不得大于15毫米，試檢驗斷裂判據(jù)。課外作業(yè)用有機玻璃板制成50×150毫米的矩形板，在板正中央18思考并回答1.試用斷裂力學(xué)觀點，討論為何玻璃纖維的強度比同種材料的玻璃板高許多倍。2.若圖中，矩形板兩端不是施加拉伸應(yīng)力，而是施加一定的位移，問此時下式將有何變化?思考并回答1.試用斷裂力學(xué)觀點，討論為何玻璃纖192-2能量平衡理論在Griffith彈性能釋放理論的基礎(chǔ)上，Irwin和Orowan從熱力學(xué)的觀點重新考慮了斷裂問題，提出了能量平衡理論。按照熱力學(xué)的能量守恒定律，在單位時間內(nèi)，外界對于系統(tǒng)所做功的改變量，應(yīng)等于系統(tǒng)儲存應(yīng)變能的改變量，加上動能的改變量，再加上不可恢復(fù)消耗能的改變量。

2-2能量平衡理論在Griffith彈性能釋20能量平衡理論

假設(shè)W為外界對系統(tǒng)所做的功，U為系統(tǒng)儲存的應(yīng)變能，T為動能，D為不可恢復(fù)的消耗能，則Irwin—Orowan能量平衡理論可用公式表達如下∶假定裂紋處于準(zhǔn)靜態(tài)，例如裂紋是靜止的或是以穩(wěn)定速度擴展，則動能不變化，即dT/dt=0。若所有不可恢復(fù)的消耗能都是用來制造裂紋新面積，則：At為裂紋總面積，γp為表面能。能量平衡理論假設(shè)W為外界對系統(tǒng)所做的21表面能與表面自由能若沒有塑性變形，γp將等于Griffith的表面自由能γs。若有塑性變形，顯然要形成新裂紋面積需要更多的能量，因此γp＞γs。據(jù)估計，塑性很好的材料(例如低碳鋼)與脆性材料(例如玻璃)相比，γp大約比γs大兩個數(shù)量級到三個數(shù)量級。表面能與表面自由能若沒有塑性變形，γ22斷裂判據(jù)此為包括塑性變形的帶裂紋物體斷裂判據(jù)?？梢钥紤]塑性的斷裂判據(jù)斷裂判據(jù)此為包括塑性變形的帶裂紋物體斷裂判據(jù)?？梢钥紤]塑性的23兩個斷裂判據(jù)的等價性對于發(fā)生脆性斷裂的材料，在斷裂發(fā)生前，裂端區(qū)塑性變形所消耗的能量通常是可以忽略不計的。此時，表面能即為表面自由能，則成為脆性斷裂的判據(jù)。由于Irwin—Orowan斷裂判據(jù)和Griffith斷裂判據(jù)都是根據(jù)能量守恒定律建立起來的，因而兩者應(yīng)該是同一個判據(jù)。

關(guān)于兩個判據(jù)的等價性可以從兩個角度來理解。兩個斷裂判據(jù)的等價性對于發(fā)生脆性斷裂的材料，在斷24兩個斷裂判據(jù)的等價性第一角度：Irwin判據(jù)：對于脆彈性：所以等價于：單邊裂紋雙邊裂紋兩個斷裂判據(jù)的等價性第一角度：單邊裂紋25兩個斷裂判據(jù)的等價性另一角度：dW代表外界對系統(tǒng)做功的變化量，dU代表系統(tǒng)彈性能的變化量，所以d(W-U)為在裂紋尖端釋放而使裂紋擴展的能量。因此d(W-U)/dAt就是Griffith能量釋放率。兩個斷裂判據(jù)的等價性另一角度：26關(guān)于失穩(wěn)擴展與止裂在脆性斷裂的情況下，若能量釋放率G已大于表面自由能2γs，此時裂紋擴展是否可能繼續(xù)進行下去，直到整體破壞?或是裂紋擴展一個階段后，會自動止裂?換句話說，如何判斷裂紋是否已發(fā)生失穩(wěn)擴展。

答案∶所釋放能量與形成裂紋面積所需能量的差額，是隨裂紋增長而越來越大；還是隨著裂紋增長反而越來越小，以致最后差額接近于零。如果是前者，則以發(fā)生了失穩(wěn)擴展；如果是后者，則最終會止裂。關(guān)于失穩(wěn)擴展與止裂在脆性斷裂的情況下，若能量釋27失穩(wěn)擴展與止裂判據(jù)失穩(wěn)擴展裂紋止裂失穩(wěn)擴展裂紋止裂失穩(wěn)擴展

裂紋止裂因為γs為常量失穩(wěn)擴展與止裂判據(jù)28雙懸臂梁試件如圖所示的雙懸臂梁試件，受到一對拉力P的作用，試求斷裂發(fā)生時的臨界拉力；若發(fā)生斷裂，是否為失穩(wěn)擴展？雙懸臂梁試件如圖所示的雙懸臂梁試件，受到一對拉力P29雙懸臂梁試件斷裂問題的求解設(shè)B為試件厚度，H為試件半高度，a為加載線到裂端的距離。l/2為力作用點沿力方向的位移。試件可簡化為懸臂梁問題，上下每個梁的長度即為裂紋的長度a。由材料力學(xué)計算梁的撓度公式，可知力作用點的位移為：式中，E為彈性模量，是慣性矩。雙懸臂梁試件斷裂問題的求解設(shè)B為試件厚度，H為試件半30雙懸臂梁試件斷裂問題的求解當(dāng)裂紋長度由a增加到a+da時，系統(tǒng)剛度會隨之降低，因此，位移l也會增至l+dl。此時P-l關(guān)系如圖所示。這里OA和OB分別為裂長為a和a+da的P-l關(guān)系線。由前式知，P與l成正比，在恒拉力P的作用下，釋放的能量d(W-U)即為圖中三角形OAB的面積（陰影部分）。說明：U1=Pl/2,U2=P(l+dl)/2,所以釋放能量為：dU=U2-U1=Pdl/2=dW/2,就是圖中陰影部分面積。雙懸臂梁試件斷裂問題的求解當(dāng)裂紋長度31雙懸臂梁試件斷裂問題的求解在恒拉力的作用下，對撓度公式進行微分得：代入上式得能量釋放率G：雙懸臂梁試件斷裂問題的求解32雙懸臂梁試件斷裂問題的求解利用Griffith判據(jù)，可得在某裂紋長度a時的臨界拉力為：由于，因此可以知道在恒拉力作用下斷裂發(fā)生后的裂紋擴展為失穩(wěn)擴展。雙懸臂梁試件斷裂問題的求解利用Griffith判據(jù)，可得在某33問題1.在雙懸臂梁試件斷裂問題中，若施以拉力超過上面的臨界拉力Pcr后，立即把此時的載荷線位移固定住，即裂紋擴展中，l維持定值。問裂紋擴展是否會停止？并繪制P-l圖。2.Griffith裂紋（即帶有中心裂紋的無線大平板受到均布拉伸應(yīng)力作用）的斷裂是否為失穩(wěn)擴展？問題1.在雙懸臂梁試件斷裂問題中，若施以拉力超過上面的臨界拉342-3內(nèi)聚應(yīng)力理論斷裂的結(jié)果是造成新的裂紋面積，從原子間距的觀點來看，就是把平行且相鄰的晶體平面間的原子分離。作為物理模型，可視為把有相互作用力而結(jié)合在一起的兩平面分離開。設(shè)σ為平面間的內(nèi)聚應(yīng)力，ε為應(yīng)變。ε=（δ-δ0)/δ0，這里δ為瞬時平面間的距離。這部分內(nèi)容已屬于微觀力學(xué)范疇。2-3內(nèi)聚應(yīng)力理論斷裂的結(jié)果是35內(nèi)聚應(yīng)力變化曲線當(dāng)ε由零漸漸增加時，起初σ基本上與ε成正比而增加，快接近最高內(nèi)聚應(yīng)力時，開始偏離線性關(guān)系，過了最高點σc以后，σ開始下降而ε仍然繼續(xù)增加。如圖所示。這種關(guān)系是定性的，并未得到實驗的支持。其中最大內(nèi)聚應(yīng)力σc稱為內(nèi)聚強度。內(nèi)聚應(yīng)力實際是原子間引力的概念內(nèi)聚應(yīng)力變化曲線當(dāng)ε由零漸漸增加時36內(nèi)聚應(yīng)力分布根據(jù)以上模型，在裂紋端點，內(nèi)聚應(yīng)力剛好是內(nèi)聚強度。垂直于裂紋表面的內(nèi)聚應(yīng)力分布如圖所示。這里x方向為裂紋擴展方向，當(dāng)外載荷引起的應(yīng)力在裂端前大于內(nèi)聚強度時就發(fā)生斷裂。內(nèi)聚應(yīng)力分布根據(jù)以上模型，在裂紋端37內(nèi)聚強度的估算設(shè)σ-ε曲線可近似用正弦函數(shù)表示，當(dāng)ε=0（平衡時）或ε=λ/2（平面間不再有作用力，裂紋已形成）時，內(nèi)聚應(yīng)力σ為零。當(dāng)ε為小量時，σ-ε關(guān)系近似為線性，因此彈性模量為：于是內(nèi)聚強度為：內(nèi)聚強度的估算設(shè)σ-ε曲線可近似用正弦函數(shù)表示，38內(nèi)聚強度的估算當(dāng)ε=λ/2時，內(nèi)聚應(yīng)力為零。從物理上來說，當(dāng)λ/2>1時，即當(dāng)原子平面間距比平衡時大一倍以上時，原子平面間不再有相互作用而形成了自由的裂紋面，同時也不再恢復(fù)原狀。此時，理論估計的內(nèi)聚強度為：對鋼材來說，楊氏模量約為2.05×105MN/m2，因此理論內(nèi)聚強度約為6.5×104MN/m2，這個強度比目前最強的超高強度鋼的抗拉強度大20倍以上，比一般低碳鋼抗拉強度大100倍以上。內(nèi)聚強度的估算當(dāng)ε=λ/2時，內(nèi)聚39理論內(nèi)聚強度與表面自由能的關(guān)系

若裂紋延長Δa，則對抗內(nèi)聚應(yīng)力使平面間距增加dδ所做的功為σ（Bδa）dδ，當(dāng)平面間距由平衡時的δ0增加到形成裂紋的間距時，則裂紋延長Δa外力所做的總功ΔW為：因為所以：理論內(nèi)聚強度與表面自由能的關(guān)系若裂40理論內(nèi)聚強度與表面自由能在臨界點：注意到于是：對鋼材來講，上式估計的表面自由能大約和實驗實測值同一數(shù)量級（因為塑性能占支配地位）；但對于脆性材料，此理論值比實測值偏高不少。像玻璃這樣的脆性材料，斷裂前的塑性變形微乎其微，釋放的能量只用來形成新裂紋面和貢獻給擴展時的動能，用在塑性變形部分微乎其微，這是玻璃表面能偏低的主要原因之一。理論內(nèi)聚強度與表面自由能在臨界點：