九類常見遞推數(shù)列求通項(xiàng)定律方法

_遞推數(shù)列通項(xiàng)求解方法類型一：apaq（p1）n1nq)qpppaqq思路1（遞推法）：apaqp(paqnn1n2n3……pn1aq(1pp2…pn2)qpn1qa。11p11p思路2（構(gòu)造法）：設(shè)apa，即p1q得q，數(shù)列n1np1a是以a為首項(xiàng)、p為公比的等比數(shù)列，則aqq，即apn1n1np11p1qqaapn1。n1p11p例1已知數(shù)列a滿足a2a3且a1，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。nnn11n解：方法1（遞推法）：a2a32(2a3)3222a333……2n13(1222…nn1n2n3333。2n2)112n12n1212方法2（構(gòu)造法）：設(shè)a2a，即3，數(shù)列a3是以a34n1nn1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，則a342n12n1，即a2n13。nn_類型二：a

a

f(n)n1

n思路1（遞推法）：a a

f(n1)

a

f(n

2)

f(n1)

a

f(n3)

f(n2)

f(n1)n

n1

n2

n3an1f(n)。11思路2（疊加法）：aaf(n1)，依次類推有：aaf(n2)、nn1n1n2aaf(n3)aaf(1)aan1、…、f(n)，即n2n321，將各式疊加并整理得n1i1a an1f(n)。11例2已知a1，aan，求a。1nn1n解：方法1（遞推法）：aana(n1)na(n2)(n1)nnn1n2n3a[23…(n2)(n1)n]nnn(n1)。21精品文檔放心下載1方法2（疊加法）：an，依次類推有：aan1、aan2、…、nn1n1n2n2n3aa2，將各式疊加并整理得aan，aannn(n1)。nnn21n1n12i2i2i1_類型三：a f(n)an1 n思路1（遞推法）：a f(n1)a f(n1)f(n2)a f(n1)f(n2)f(n3)a …精品文檔放心下載n n1 n2 n3f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a。1af(n1)af(n2)af(n3)、…、思路2（疊乘法）：n，依次類推有：n1、n2aaan1n2n3af(1)，將各式疊乘并整理得af(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即2naa11af(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a。n1例3已知a1，an1a，求a。1nn1n1n解：方法1（遞推法）：an1an1n2an1n2n3ann1n1n1nn2n1nn1n32。n(n1)an1an2an3a方法2（疊乘法）：nn1，依次類推有：n1n、n21、…、3aaanan1n2n32a21，將各式疊乘并整理得ann1n2n3…21，即a3an1nn14311

…2、an1n2n3…212。nn1nn143n(n1)_類型四：apaqan1nn1思路（特征根法）：為了方便，我們先假定am、an。遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程12為x2pxq，當(dāng)特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，apn1(c、d為待定系n2數(shù)，可利用am、an求得)；當(dāng)特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)x、x時(shí)，1212aexn1fxn1(e、f為待定系數(shù)，可利用am、an求得)；當(dāng)特征方程的根為n1212虛根時(shí)數(shù)列an的通項(xiàng)與上同理，此處暫不作討論。感謝閱讀例4 已知a 2、a3,a 6a a,求a。謝謝閱讀1 2 n1 n1 n n解：遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為x2x6即x2x60，解得x2、x3。謝謝閱讀1 2設(shè)aexn1fxn1，而a2、a3，即感謝閱讀n12129ef2e591，即a。，解得12n1(3)n1n55f5_類型五：aparqn（pq0）n1n思路（構(gòu)造法）：apaaarqn1，設(shè)nn1，則nn1qnqn1pqp，從而解得q。那么arar為首項(xiàng)，n是以1nrqn1rnpqpq為公比的等比數(shù)列。q例5已知a1，aa2n1，求a。1nn1n解：設(shè)ana，則211an1n1，解得2，2n2n1n2n12n12133是以111為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，即a111n12n12n，a3。2362n362n類型六：apaf(n)（p0且p1）n1n思路（轉(zhuǎn)化法）：apaf(n1)，遞推式兩邊同時(shí)除以pn得nn1aaf(n1)ann1，我們令nb，那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型二進(jìn)行求解了。pnpn1pnpnn例6已知a2，a4a2n1，求a。1n1nn_解：aaa1nab，則4a2n，式子兩邊同時(shí)除以4n得nn1，令nnn14n4n124nnb1nb1n1b1n2b，依此類推有b、b、…、nn12n1n22n2n32bb12n1n，即，各式疊加得bb212n1211i2n1n1n1nnnnbb122n1222i2i2i11na4nb4n14n2n。nn2類型七：apar（a0）n1nn思路（轉(zhuǎn)化法）：對(duì)遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得logarlogalogp，我們令mn1mnmloga，這樣一來(lái)，問題就可以轉(zhuǎn)化成類型一進(jìn)行求解了。感謝閱讀n m n例7已知a10，aa2，求a。1n1nn解：對(duì)遞推式aa2左右兩邊分別取對(duì)數(shù)得lga2lga，令lgab，則n1nn1nnnb2b，即數(shù)列b是以blg101為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即b2n1，n1nn1n因而得a10bn102n1。n類型八：an1can（c0）padn思路（轉(zhuǎn)化法）：對(duì)遞推式兩邊取倒數(shù)得1pand，那么1d1p，acaacacn1nn1n令b1，這樣，問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進(jìn)行求解了。nan_例8已知a4，a2an，求a。1n12a1nn解：對(duì)遞推式左右兩邊取倒數(shù)得12an1即1111，令1b則a2aa2aann1nn1nnb1b1b1217。設(shè)，即是以為n12nn12n，數(shù)列n44首項(xiàng)、1為公比的等比數(shù)列，則b272n272n1。2，即b2n1，a2n27n2n1nn類型九：an1aanb（c0、adbc0）cadn思路（特征根法）：遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為xaxb即cx2(da)xb0。當(dāng)cxd特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根xx11為等差數(shù)列，我時(shí)，數(shù)列即12anaadn2c們可設(shè)11（為待定系數(shù)，可利用a、a求得）；當(dāng)特征方程aadaad12n12cn2c有兩個(gè)不等實(shí)根x、xaxax時(shí)，數(shù)列n1是以11為首項(xiàng)的等比數(shù)列，我們可設(shè)12axaxn212axaxn111n1（為待定系數(shù)，可利用已知其值的項(xiàng)間接求得）；當(dāng)特征方程axaxn212的根為虛根時(shí)數(shù)列an通項(xiàng)的討論方法與上同理，此處暫不作討論。精品文檔放心下載例9已知a1，a4an13（n2），求a。12na2n1解：當(dāng)n2時(shí)，遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為x4x3即x22x30，解得x2x1、x3a1是以ax21為首項(xiàng)的等比數(shù)列，設(shè)。數(shù)列n311212aaxn12_1n3n從而an

1n1，由a112得a22則3感謝閱讀13n12,n1，a。3n13n11n3n11,n2

，3，即an113n1，a3精品文檔放心下載n_常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法_重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：遞推關(guān)系的幾種形式。難點(diǎn)：靈活應(yīng)用求通項(xiàng)公式的方法解題?！镜湫屠}】[例1]an1kanb型。（1）k1時(shí)，aab{a}是等差數(shù)列，abn(ab)n1nnn1（2）k1時(shí)，設(shè)an1mk(anm)∴an1kankmm比較系數(shù)：kmmbmb∴k1{ab}ab∴nk1是等比數(shù)列，公比為k，首項(xiàng)為1k1ab∴nk1[例2]an1kan

(ab)kn1a(ab)kn1b1k1∴n1k1k1f(n)型。（1）k1時(shí)，an1anf(n)，若f(n)可求和，則可用累加消項(xiàng)的方法。精品文檔放心下載1例：已知{an}滿足a11，an1ann(n1)求{an}的通項(xiàng)公式。謝謝閱讀解：_aa111∵n1nn(n1)nn1aa11aa11∴nn1n1nn1n2n2n111an2an3n3n2……aa11aa113223212aa11a21對(duì)這（n1）個(gè)式子求和得：n1n∴nn（2）k1時(shí)，當(dāng)f(n)anb則可設(shè)an1A(n1)Bk(anAnB)aka(k1)An(k1)BA精品文檔放心下載n1 n(k1)AaAabaB(k1)2(k1)BAb解得：k1，k1∴{anAnB}是以a1AB為首項(xiàng)，k為公比的等比數(shù)列謝謝閱讀anAnB(a1AB)kn1精品文檔放心下載∴a(aAB)kn1AnB將A、B代入即可n1（3）f(n)qn（q0，1）qn1aka1n1n等式兩邊同時(shí)除以得CanCkC1{C}akabnqnn1qnq令則∴可歸為n1n型n[例3]an1f(n)an型。（1）若f(n)是常數(shù)時(shí)，可歸為等比數(shù)列。_（2）若f(n)可求積，可用累積約項(xiàng)的方法化簡(jiǎn)求通項(xiàng)。感謝閱讀a1a2n1an1（n2）求數(shù)列{a}例：已知：13，n2n1的通項(xiàng)。naaaaa2n12n32n5533nn1n232n1n2n321aa31∴n12n12n1anman1[例4]n1型。1考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有an

k(1 1) 1k1k精品文檔放心下載an1m ∴ an an1m感謝閱讀令C1則{C}可歸為akab型。nannn1n練習(xí)：1.已知{a}滿足a3，a2a1求通項(xiàng)公式。n1n1n解：設(shè)an1m2(anm)an12anm∴m1∴{an11}是以4為首項(xiàng)，2為公比為等比數(shù)列感謝閱讀∴a142n1∴a2n11nn2.已知{a}的首項(xiàng)a1，an1a2n（nN*）求通項(xiàng)公式。n1n解：a2(n1)n n1a2(n2)n1 n2_an2an32(n3)……感謝閱讀a223 2a

a

212

1a2[12(n1)]n2n精品文檔放心下載1ann2n1n已知{an}中，an1n2n且a12求數(shù)列通項(xiàng)公式。a感謝閱讀解：aaaaan1n2n3n4212nn1n232n1n2n321a24n∴1∴4.數(shù)列{a}中，an12n1a，a2，求{a}的通項(xiàng)。nnn1n解：12n1a∴a111nn1nn1n設(shè)bn1∴bn11∴bn1abn2n1bn12nn∴bb1nn12nbb1n1n22n1bb1n2n32n2……_bb13223bb121221[1(1)n1]1122211112nbb212n122232nb1112n1a2n∴2n∴n22n2n2n11，n2時(shí)，an12n15.已知：a2an1，求{a}的通項(xiàng)公式。1n解：aAnB1[aA(n1)B]設(shè)n2n1a1a1An1A1Bn2n122212A2A41A1B122解得：B6∴a463∴11∴{an4n6}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列∴a4n63(1)n1∴a34n6n2n2n1【模擬試題】1.已知{an}中，a13，an1an2n，求an。謝謝閱讀_2.已知{an}中，a11，an3an12（n2）求an。謝謝閱讀3.已知{an}中，a11，an2an12n（n2）求an。感謝閱讀_4.已知{a}中，a4a44（n2）求a，na。n1n1n5.已知{a}中，a1，其前n項(xiàng)和S與a滿足an2S2（n2）nn1nnn{1}（2）求{a}的通項(xiàng)公式（1）求證：S為等差數(shù)列nnS1(a2)26.已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足n8n130（1）求證：{an}是等差數(shù)列（2）若bn2an求{bn}的前n項(xiàng)和的最小值_解：an1an2n，得anan12n1精品文檔放心下載anan12n1an1an22n2……aa221aa2(12n1)2n2∴an2n2a12n1∴n112解：an