（公開課）絕對值三角不等式課件

1.2.1絕對值三角不等式1.2.1絕對值三角不等式1在數(shù)軸上，你能指出實數(shù)a的絕對值|a|的幾何意義嗎？它表示數(shù)軸上坐標為a的點A到原點的距離OaxAabxBAO復習引入數(shù)軸上A,B兩點間的距離在數(shù)軸上，你能指出實數(shù)a的絕對值|a|的幾何意義嗎？2兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路碑的第10km和第20km處?，F(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次。要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應該建于何處？

分析：假設生活區(qū)建在公路路碑的第xkm處，兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km，則有S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求問題化歸為求該函數(shù)的最小值，可

用絕對值三角不等式求解。思考

公路牌兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別3講解新課

探究：用恰當?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|、|b|、|a+b|表示出來，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的關系嗎？（a、b是實數(shù)）（1）a·b>0時，如下圖易得：|a+b|

|a|+|b|（2）a·b<0時，如下圖易得：|a+b|

|a|+|b|（3）a·b=0時，顯然有：|a+b|

|a|+|b|綜上可得：xabOa+bxabOa+bxabOa+bxabOa+b==<

定理1如果a,b是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|當且僅當ab≥0時，等號成立。這個不等式稱為絕對值三角不等式。講解新課探究：用恰當?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|、|b|、|a+4講解新課

探究：若把a,b換為向量，,情形又怎樣呢？ab講解新課探究：若把a,b換為向量，,情形又怎5證明:10.當ab≥0時,20.

當ab<0時,綜合10,20知定理成立.為了更好的理解定理1，我們再用代數(shù)推理的角度給予證明講解新課

證明:10.當ab≥0時,20.當ab<0時,綜6

如果a,b是實數(shù)，那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|注意：定理1的推廣形式：講解新課

推廣1：

如果a,b是實數(shù)，那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

如果a,b是實數(shù)，那么|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|推廣2：根據(jù)定理1，有|a+b|+|-b|≥|a+b-b|=|a|

所以：|a+b|≥|a|-|b|將推廣1中的b換成-b即可。如果a,b是實數(shù)，那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|7定理2如果a,b,c是實數(shù)，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。證明：根據(jù)絕對值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。講解新課

探究：你能給出定理2的幾何解釋嗎？定理2如果a,b,c是實數(shù)，那么證明：根據(jù)絕對值8證:證明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|

=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.|典型例題：證:證明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(9例2兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次.要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應該建于何處？典型例題：例2兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩10典型例題：典型例題：111．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2則|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.

答案：5

1當堂檢測：1．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2則|a＋b|的最大122．求函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，當且僅當(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1時取等號．∴當－1≤x≤1時，函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.當堂檢測：2．求函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．當堂檢測133．若對任意實數(shù)，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范圍．解：a<|x＋1|－|x－2|對任意實數(shù)恒成立，∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a<－3.即a的取值范圍為(－∞，－3)．當堂檢測：3．若對任意實數(shù)，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求14高考連線：（2014—江西高考）對任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值為（）A．1B．2C．3D．4C高考連線：（2014—江西高考）C15課堂小結(jié)：

定理1如果a,b是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|當且僅當ab≥0時，等號成立。定理1的推廣形式：如果a,b是實數(shù)，那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|定理2如果a,b,c是實數(shù)，那么