第二章 軸對(duì)稱圖形單元檢測(cè)卷（含解析）

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第2章《軸對(duì)稱圖形》單元檢測(cè)卷

一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1．（2023春大渡口區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點(diǎn)F、G兩點(diǎn)，連接BE、BG．若△BEG的周長(zhǎng)為16，GE＝1．則AC的長(zhǎng)為（）

A．13B．14C．15D．16

2．（2023青秀區(qū)校級(jí)模擬）某臺(tái)球桌為如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD，小球從A沿45°角擊出，恰好經(jīng)過(guò)5次碰撞到達(dá)B處．則AB：BC等于（）

A．1：2B．2：3C．2：5D．3：5

3．（2022秋細(xì)河區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝∠ACB＝30°，分別以點(diǎn)B，A為圓心，BC，AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接CD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．有下列結(jié)論：①∠CBE＝60°；②S△ABC＝BECE；③AC＝CD；④AE垂直平分線段CD．其中，正確結(jié)論是（）

A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④

4．（2022秋右玉縣期末）如圖，直線l1，l2，l3表示三條相交叉的公路．現(xiàn)在要建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地點(diǎn)有（）

A．四處B．三處C．兩處D．一處

5．（2022春萊山區(qū)期末）如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為1cm2，則△PBC的面積為（）

A．0.4cm2B．0.5cm2C．0.6cm2D．不能確定

6．（2023春蓮池區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線AF交CD于點(diǎn)E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)N，下列五個(gè)結(jié)論：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°；⑤連接BM，若S△ABC＝16，則S△ABM＝8，其中正確的結(jié)論有（）

A．①②④B．①②③C．①②③⑤D．①②③④⑤

7．（2023秋墾利區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝110°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，將△BEF沿EF翻折，得△GEF，若GF∥CD，GE∥AD，則∠D的度數(shù)為（）

A．60°B．70°C．80°D．90°

8．（2023秋揚(yáng)中市期末）如圖△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，將△CAE沿著直線CE翻折，得到△CDE，連接AD，則線段AD的長(zhǎng)等于（）

A．8B．C．D．10

9．（2022秋天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝48°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，將△ACE沿著AE翻折得到△AFE，連接CF，若E，F(xiàn)，B三點(diǎn)恰好在同一條直線上，則∠CFA的度數(shù)是（）

A．72°B．78°C．80°D．84°

10．（2022秋湖北期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F(xiàn)為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AE交AD的延長(zhǎng)線于G，AC的延長(zhǎng)線交FG于H，連接BG，下列結(jié)論：

①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．

A．1B．2C．3D．4

二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11．（2023春鄭州期末）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的5×5的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)C，連接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．則方格圖中滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有個(gè)．

12．（2022秋玄武區(qū)期末）如圖，在三角形紙片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿著AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，連接BD．如果∠BAC＝40°，則∠CBD的度數(shù)是．

13．（2022秋曲靖期末）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為30，40，50．其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO＝．

14．（2022秋江北區(qū)期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)D為∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，OD的垂直平分線交OA，OB分別于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)E是OA上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，且DE＝OP＝6，則△ODE的面積為．

15．（2022秋睢陽(yáng)區(qū)期末）已知△ABC為等邊三角形，AB＝10，M在AB邊所在直線上，點(diǎn)N在AC邊所在直線上，且MN＝MC，若AM＝16，則CN的長(zhǎng)為．

16．（2022秋岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，則BC＝．

17．（2022春江都區(qū)月考）如圖，有一張三角形紙片ABC，∠B＝30°，∠C＝50°，點(diǎn)D是AB邊上的固定點(diǎn)（BD＜AB），請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)E，將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，使EF與三角形ABC的一邊平行，則∠BDE的度數(shù)為．

18．（2022春錦江區(qū)校級(jí)期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí)，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是：∠BOC＝．

19．（2023秋鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BD，將△EBD沿直線BD翻折，點(diǎn)E落在點(diǎn)E′處，直線BE′與直線AC相交于點(diǎn)M，當(dāng)△BDM為等腰三角形時(shí)，則∠ABD＝．

20．（2023秋舞鋼市期末）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與直線AB和直線CD交于點(diǎn)E和F，點(diǎn)P是射線EA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E重合）把△EPF沿PF折疊，頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處，若∠PEF＝60°，且∠CFQ：∠QFP＝2：5，則∠PFE的度數(shù)是．

三．解答題（共8小題，滿分60分）

21．（8分）（2023春項(xiàng)城市校級(jí)月考）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）如圖1，EF與BE，CF之間的關(guān)系為．

（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線BO與∠ACD的平分線CO交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出EF與BE，CF之間的正確關(guān)系，并說(shuō)明理由．

22．（6分）（2022秋鄖陽(yáng)區(qū)期中）用一條長(zhǎng)41cm的細(xì)繩圍成一個(gè)三角形，已知此三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm．

（1）請(qǐng)用含x的式子表示第三條邊的長(zhǎng)度．

（2）若此三角形恰好是一個(gè)等腰三角形，求這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)．

23．（6分）（2023秋滑縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？

24．（8分）（2023秋合陽(yáng)縣期末）數(shù)學(xué)理解

（1）如圖1，在等邊△ABC內(nèi)，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度數(shù)；

聯(lián)系拓廣（聯(lián)系圖1特點(diǎn)，解決下列問(wèn)題）

（2）如圖2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，連接DE，求∠CDE的度數(shù)．

25．（8分）（2023春高新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高，AE是∠BAD的角平分線，點(diǎn)F為AE上一點(diǎn)，連接BF，∠BFE＝45°．

（1）求證：BF平分∠ABE；

（2）連接CF交AD于點(diǎn)G，若S△APF＝S△CBF，求證：∠AFC＝90°；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)BE＝3，AG＝4.5時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)．

26．（8分）（2022秋蓮池區(qū)校級(jí)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE＝AD，連接DE．

（1）當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；

（3）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．

27．（8分）（2022秋西山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝1時(shí)，求△ACP的面積．

（2）t為何值時(shí)，線段AP是∠CAB的平分線？

（3）請(qǐng)利用備用圖2繼續(xù)探索：當(dāng)t為何值時(shí)，△ACP是以AC為腰的等腰三角形？（直接寫出結(jié)論）

28．（8分）（2022秋遂平縣期末）閱讀材料：

如圖，△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．

（1）類比與推理

如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，等邊△ABC的高為h，試證明r1+r2+r3＝h（定值）．

（2）理解與應(yīng)用

△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC內(nèi)部是否存在一點(diǎn)O，點(diǎn)O到各邊的距離相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，請(qǐng)直接寫出這個(gè)距離r的值，r＝．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解析卷

一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1．（2023春大渡口區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點(diǎn)F、G兩點(diǎn)，連接BE、BG．若△BEG的周長(zhǎng)為16，GE＝1．則AC的長(zhǎng)為（）

A．13B．14C．15D．16

解：∵DE是線段AB的中垂線，GF是線段BC的中垂線，

∴EB＝EA，GB＝GC，

∵△BEG周長(zhǎng)為16，

∴EB+GB+EG＝16，

∴EA+GC+EG＝16，

∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，

∴AC+2EG＝16，

∵EG＝1，

∴AC＝14，

故選：B．

2．（2023青秀區(qū)校級(jí)模擬）某臺(tái)球桌為如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD，小球從A沿45°角擊出，恰好經(jīng)過(guò)5次碰撞到達(dá)B處．則AB：BC等于（）

A．1：2B．2：3C．2：5D．3：5

解：先作出長(zhǎng)方形ABCD，小球從A沿45度射出，到BC的點(diǎn)E，AB＝BE．

從E點(diǎn)沿于BC成45度角射出，到AC邊的F點(diǎn)，AE＝EF．

從F點(diǎn)沿于AD成45度角射出，到CD邊的G點(diǎn)，DF＝DG．

從G沿于DC成45度角射出，到BC邊的H點(diǎn)，HF垂直于AD．GC＝CH＝

從H點(diǎn)沿于CB成45度角射出，到AC邊的M點(diǎn)，EM垂直于AD，

從M點(diǎn)沿于CA成45度角射出，到B點(diǎn)，

看圖是2個(gè)半以AB為邊長(zhǎng)的正方形，

所以1：2.5＝2：5．

故選：C．

3．（2022秋細(xì)河區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝∠ACB＝30°，分別以點(diǎn)B，A為圓心，BC，AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接CD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．有下列結(jié)論：①∠CBE＝60°；②S△ABC＝BECE；③AC＝CD；④AE垂直平分線段CD．其中，正確結(jié)論是（）

A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④

解：連接AD，BD，

∵∠CAB＝∠ACB＝30°，

∴BA＝BC，

∵∠CBE是△ABC的一個(gè)外角，

∴∠CBE＝∠CAB+∠ACB＝60°，

由題意得：BC＝BD，AD＝AC，

∴AE是CD的垂直平分線，

∴∠AEC＝90°，

∴∠ACE＝90°﹣∠CAB＝60°，∠BCE＝90°﹣∠CBE＝30°，

∴BC＝2BE，

∴S△ABC＝ABCE

＝BCCE

＝2BECE

＝BECE，

∵AC＝AD，∠ACE＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AC＝CD，

所以，上列結(jié)論，其中正確的是①②③④，

故選：D．

4．（2022秋右玉縣期末）如圖，直線l1，l2，l3表示三條相交叉的公路．現(xiàn)在要建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地點(diǎn)有（）

A．四處B．三處C．兩處D．一處

解：滿足條件的有：

（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；

（2）三角形外角平分線的交點(diǎn)，共三處．

故選：A．

5．（2022春萊山區(qū)期末）如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為1cm2，則△PBC的面積為（）

A．0.4cm2B．0.5cm2C．0.6cm2D．不能確定

解：如圖，延長(zhǎng)AP交BC于E，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠EBP，

∵AP⊥BP，

∴∠APB＝∠EPB＝90°，

∴△ABP≌△EBP（ASA），

∴AP＝PE，

∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，

∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2），

故選：B．

6．（2023春蓮池區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線AF交CD于點(diǎn)E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)N，下列五個(gè)結(jié)論：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°；⑤連接BM，若S△ABC＝16，則S△ABM＝8，其中正確的結(jié)論有（）

A．①②④B．①②③C．①②③⑤D．①②③④⑤

解：如圖，連接FN，

∵CN⊥AF，

∴∠AMC＝∠AMN＝90°，

∵∠BAC的平分線AF交CD于E，

∴∠DAE＝∠CAE，

在△AMN和△AMC中，

，

∴△AMN≌△AMC（ASA），

∴AC＝AN，故②正確；

∵△AMN≌△AMC，

∴CM＝NM，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，

∵∠BAC的平分線AF交CD于E，

∴∠DAE＝∠CAE，

∴∠AED＝∠CFE，

又∵∠AED＝∠CEF，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

∵CM⊥AF，

∴EM＝FM，

∴四邊形ENFC是菱形，

∴EN＝FC，EN∥BC，故①③正確；

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∵AC≠BC，

∴∠B≠45°，故④錯(cuò)誤；

∵四邊形ENFC是菱形，

∴CM＝MN，

∴S△ACM＝S△ANM，S△BCM＝S△BMN，

∴S△ANM+S△BMN＝S△ACM+S△BCM＝S△ABC，

∴S△ABM＝S△ABC，

∴S△ABC＝16，則S△ABM＝8．故⑤正確．

綜上所述：①②③⑤．

故選：C．

7．（2023秋墾利區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝110°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，將△BEF沿EF翻折，得△GEF，若GF∥CD，GE∥AD，則∠D的度數(shù)為（）

A．60°B．70°C．80°D．90°

解：∵GF∥CD，GE∥AD，

∴∠BEG＝∠A＝90°，∠BFG＝∠C＝110°，

由折疊可得：∠B＝∠G，

∴四邊形BEGF中，∠B＝＝80°，

∴四邊形ABCD中，∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝80°，

故選：C．

8．（2023秋揚(yáng)中市期末）如圖△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，將△CAE沿著直線CE翻折，得到△CDE，連接AD，則線段AD的長(zhǎng)等于（）

A．8B．C．D．10

解：如圖，延長(zhǎng)CE交AD于F，過(guò)B作BG⊥CE于G，

∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10，

∵∠ACB＝90°，CE為中線，

∴CE＝AE＝BE＝5，S△BCE＝S△ABC，

∴CE×BG＝×AC×BC，即BG＝＝，

由折疊可得，CF垂直平分AD，

∴∠AFE＝90°＝∠BGE，

又∵∠AEF＝∠BEG，AE＝BE，

∴△AEF≌△BEG（AAS），

∴AF＝BG＝，

∴AD＝2AF＝，

（注：也可在Rt△DCF與Rt△DEF中用勾股定理，先得EF，進(jìn)而得DF、AD的長(zhǎng)．）

故選：C．

9．（2022秋天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝48°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，將△ACE沿著AE翻折得到△AFE，連接CF，若E，F(xiàn)，B三點(diǎn)恰好在同一條直線上，則∠CFA的度數(shù)是（）

A．72°B．78°C．80°D．84°

解：在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝48°，

∵CD⊥AB，

∴CD是AB的垂直平分線，

∴AE＝BE，∠AED＝∠BED，

∴∠AEC＝∠BEC，

由翻折可知：∠AEC＝∠AEB，CE＝FE，

∴∠AEC＝∠BEC＝∠AEB，

∴∠BEC＝120°，

∵CE＝FE，

∴∠EFC＝∠ECF＝（180°﹣120°）÷2＝30°，

∵∠BAC＝48°，

∴∠ACE＝90°﹣48°＝42°，

由翻折可知：∠AFE＝∠ACE＝42°，

∴∠CFA＝∠EFC+∠AFE＝30°+42°＝72°．

故選：A．

10．（2022秋湖北期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F(xiàn)為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AE交AD的延長(zhǎng)線于G，AC的延長(zhǎng)線交FG于H，連接BG，下列結(jié)論：

①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．

A．1B．2C．3D．4

解：如圖，AE交GF于M，

①∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥AE，

∴∠ADE＝∠AMF＝90°，

∵∠AED＝∠MEF，

∴∠DAE＝∠F；故①正確；

②∵AE平分∠BAC交BC于E，

∴∠EAC＝∠BAC，

∠DAE＝90°﹣∠AED

＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），

＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），

＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），

＝（∠ABD﹣∠ACE），

即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE，

故②正確；

③∵AE平分∠BAC交BC于E，

∴點(diǎn)E到AB和AC的距離相等，

∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正確，

④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，

∴∠AGH＝∠MEF，

∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，

∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，

∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正確；

故選：D．

二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11．（2023春鄭州期末）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的5×5的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)C，連接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．則方格圖中滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有6個(gè)．

解：如圖所示：

分兩種種情況：

當(dāng)C在C1，C2，C3，C4位置上時(shí)，AC＝BC；

當(dāng)C在C5，C6位置上時(shí)，AB＝BC；

即滿足點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6，

故答案為：6．

12．（2022秋玄武區(qū)期末）如圖，在三角形紙片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿著AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，連接BD．如果∠BAC＝40°，則∠CBD的度數(shù)是10°．

解：∵AC＝BC，∠BAC＝40°，

∵∠ABC＝∠BAC＝40°，

由折疊的性質(zhì)可得：∠CAD＝∠BAC＝40°，AB＝AD，

∴∠BAD＝∠CAD+∠BAC＝80°，

∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝50°，

∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝10°．

故答案為：10°．

13．（2022秋曲靖期末）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為30，40，50．其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO＝3：4：5．

解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，

∵三條角平分線交于點(diǎn)O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，

∴OD＝OE＝OF，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，

故答案為：3：4：5．

14．（2022秋江北區(qū)期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)D為∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，OD的垂直平分線交OA，OB分別于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)E是OA上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，且DE＝OP＝6，則△ODE的面積為9+9．

解：連接PD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA，垂足為F，

∵PQ是OD的垂直平分線，

∴OP＝PD，

∴∠POD＝∠PDO，

∵OD平分∠AOB，

∴∠POD＝∠DOQ，

∴∠PDO＝∠DOQ，

∴PD∥OQ，

∴∠FPD＝∠AOB＝30°，

∵DE＝OP＝6，

∴OP＝PD＝DE＝6，

在Rt△PDF中，∠FPD＝30°，

∴DF＝PD＝3，PF＝DF＝3，

∵DP＝DE，DF⊥PE，

∴EP＝2PF＝6，

∴OE＝OP+PE＝6+6，

∴△ODE的面積＝OEDF

＝×（6+6）×3

＝9+9，

故答案為：9+9．

15．（2022秋睢陽(yáng)區(qū)期末）已知△ABC為等邊三角形，AB＝10，M在AB邊所在直線上，點(diǎn)N在AC邊所在直線上，且MN＝MC，若AM＝16，則CN的長(zhǎng)為4或36．

解：由題意可知，BM＝AN＝6，

①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，作MD⊥AC于D．

在Rt△AMD中，

∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，

∴AD＝AM＝8，

∴CD＝AC﹣AD＝2，

∵M(jìn)N＝MC，MD⊥CN，

∴DN＝CD，

∴CN＝2CD＝4．

②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，作MD⊥CN于D，

在Rt△AMD中，

∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，

∴AD＝AM＝8，

∴CD＝AD+AC＝18，

∵M(jìn)N＝MC，MD⊥CN，

∴DN＝CD，

∴CN＝2CD＝36，

故答案為：4或36．

16．（2022秋岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，則BC＝7．

解：延長(zhǎng)ED交BC于M，延長(zhǎng)AD交BC于N，如圖，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN＝CN，

∵∠EBC＝∠DEB＝60°，

∴△BEM為等邊三角形，

∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，

∵DE＝2，

∴DM＝3，

∵AN⊥BC，

∴∠DNM＝90°，

∴∠NDM＝30°，

∴NM＝DM＝，

∴BN＝BM﹣MN＝5﹣＝，

∴BC＝2BN＝7．

故答案為：7．

17．（2022春江都區(qū)月考）如圖，有一張三角形紙片ABC，∠B＝30°，∠C＝50°，點(diǎn)D是AB邊上的固定點(diǎn)（BD＜AB），請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)E，將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，使EF與三角形ABC的一邊平行，則∠BDE的度數(shù)為35°或75°或125°．

解：①當(dāng)BD∥EF時(shí)，

由折疊可知，∠B＝∠F＝30°，∠BED＝∠DEF，

∵BD∥EF，

∴∠B＝∠CEF＝30°，

∴∠BEF＝180°﹣30°＝150°，

∴∠BED＝∠DEF＝∠BEF＝×150°＝75°，

∴∠BDE＝180°﹣30°﹣75°＝75°．

②當(dāng)AC∥EF時(shí)，∠C＝∠BEF＝50°，

∴∠BED＝∠FED＝∠BEF＝50°＝25°，

∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣30°﹣25°＝125°，

∴∠BDE＝125°，

③當(dāng)AC∥EF時(shí)，∠C＝∠CEF＝50°，

∴∠BGD＝50°+30°＝80°，

∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，

∴∠BDE＝∠BDG＝70°＝35°，

綜上所述，∠BDE＝35°或75°或125°．

故答案為：35°或75°或125°．

18．（2022春錦江區(qū)校級(jí)期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí)，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．

解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，

∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（180°﹣∠BAC）

＝90°+∠BAC，

即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；

如圖，連接AO．

∵點(diǎn)O是這個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

∴OA＝OB＝OC，

∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，

∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，

∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）

＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），

＝2∠OAB+2∠OAC

＝2∠BAC

＝2（2∠BPC﹣180°）

＝4∠BPC﹣360°，

故答案為：4∠BPC﹣360°．

19．（2023秋鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BD，將△EBD沿直線BD翻折，點(diǎn)E落在點(diǎn)E′處，直線BE′與直線AC相交于點(diǎn)M，當(dāng)△BDM為等腰三角形時(shí)，則∠ABD＝20°或40°或80°．

解：如圖1所示，當(dāng)M在AC上，BD＝BM時(shí)，△BDM是等腰三角形，

設(shè)∠ABD＝∠DBM＝α，則∠BDM＝∠A+∠ABD＝60°+α＝∠BMD，

∵∠DBM+∠BDM+∠BMD＝180°，

∴α+2（60°+α）＝180°，

解得α＝20°；

如圖2所示，當(dāng)M在AC上，DB＝DM時(shí)，△BDM是等腰三角形，

設(shè)∠ABD＝∠DBM＝α，則∠BDM＝∠A+∠ABD＝60°+α，∠BMD＝α，

∵∠DBM+∠BDM+∠BMD＝180°，

∴α+（60°+α）+α＝180°，

解得α＝40°；

如圖3所示，當(dāng)M在CA的延長(zhǎng)線上，BM＝BD時(shí)，△BDM是等腰三角形，

設(shè)∠ABD＝∠E'BD＝α，則∠BDM＝∠BMD＝α，

∴∠ABM＝∠BAC﹣∠M＝60°﹣，

∴∠MBD＝60°﹣+α＝60°+α，

∵∠DBM+∠BDM+∠BMD＝180°，

∴（60°+α）+α+α＝180°，

解得α＝80°；

綜上所述，∠ABD的度數(shù)為20°或40°或80°．

故答案為：20°或40°或80°．

20．（2023秋舞鋼市期末）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與直線AB和直線CD交于點(diǎn)E和F，點(diǎn)P是射線EA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E重合）把△EPF沿PF折疊，頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處，若∠PEF＝60°，且∠CFQ：∠QFP＝2：5，則∠PFE的度數(shù)是50°或75°．

解：分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)Q在平行線AB，CD之間時(shí)，

∵∠CFQ：∠QFP＝2：5，∠PEF＝60°，

設(shè)∠CFQ＝2x，則∠QFP＝5x，

由折疊可得∠PFE＝∠QFP＝5x，

∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，

∴60°+2x+5x+5x＝180°，

∴x＝10，

∴∠EFP＝5x＝50°；

如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在CD的下方時(shí)，

∵∠CFQ：∠QFP＝2：5，∠PEF＝60°，

設(shè)∠CFQ＝2x，則∠QFP＝5x，

∴∠CFP＝∠QFP﹣∠CFQ＝5x﹣2x＝3x，

由折疊可得∠PFE＝∠QFP＝5x，

∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，

∴5x+3x+60°＝180°，

∴x＝15°，

∠EFP＝5x＝75°；

綜上所述，∠EFP的度數(shù)是50°或75°．

故答案為：50°或75°．

三．解答題（共8小題，滿分60分）

21．（8分）（2023春項(xiàng)城市校級(jí)月考）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）如圖1，EF與BE，CF之間的關(guān)系為EF＝BE+CF．

（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線BO與∠ACD的平分線CO交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出EF與BE，CF之間的正確關(guān)系，并說(shuō)明理由．

解：（1）EF＝BE+CF，

理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，

∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，

∴EB＝EO，F(xiàn)O＝FC，

∵EF＝EO+FO，

∴EF＝BE+CF，

故答案為：EF＝BE+CF；

（2）（1）中的結(jié)論不成立，EF與BE，CF之間的正確關(guān)系是EF＝BE﹣CF，

理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，

∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCD，

∵EF∥BC，

∴∠OBC＝∠EOB，∠OCD＝∠FOC，

∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，

∴EB＝EO，F(xiàn)O＝FC，

∵EF＝EO﹣FO，

∴EF＝BE﹣CF．

22．（6分）（2022秋鄖陽(yáng)區(qū)期中）用一條長(zhǎng)41cm的細(xì)繩圍成一個(gè)三角形，已知此三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm．

（1）請(qǐng)用含x的式子表示第三條邊的長(zhǎng)度．

（2）若此三角形恰好是一個(gè)等腰三角形，求這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)．

解：（1）∵三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm．

∴第二條邊是（3x﹣4）cm，

∴第三條邊的長(zhǎng)度為41﹣x﹣（3x﹣4）＝45﹣4x（cm）；

（2）若x＝3x﹣4，則x＝2，不能組成三角形；

若x＝45﹣4x，則x＝9，不能組成三角形；

若3x﹣4＝45﹣4x，則x＝7，

∴3x﹣4＝45﹣4x＝17，符合題意，

∴該等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為：17cm、17cm和7cm．

23．（6分）（2023秋滑縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？

解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠B＝60°．

∵4÷2＝2，

∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.

（1）當(dāng)BP＝BQ時(shí)，△PBQ為等邊三角形．

即4﹣2t＝t．

∴．

當(dāng)時(shí)，△PBQ為等邊三角形；

（2）若△PBQ為直角三角形，

①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝2BQ，

即4﹣2t＝2t，

∴t＝1．

②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BQ＝2BP，

即t＝2（4﹣2t），

∴．

即當(dāng)或t＝1時(shí)，△PBQ為直角三角形．

24．（8分）（2023秋合陽(yáng)縣期末）數(shù)學(xué)理解

（1）如圖1，在等邊△ABC內(nèi)，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度數(shù)；

聯(lián)系拓廣（聯(lián)系圖1特點(diǎn)，解決下列問(wèn)題）

（2）如圖2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，連接DE，求∠CDE的度數(shù)．

解：（1）如圖1，連接AD，

∵AB＝AC，DB＝DC，

∴直線AD是線段BC的垂直平分線，

∴AD平分∠BAC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴∠BAD＝30°，

∵∠BDC＝80°，

∴∠DBC＝50°，

∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，

又∵AB＝BC，BE＝BD，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴∠BCE＝∠BAD＝30°；

（2）如圖2，作等邊三角形ABC，連接AD，

由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴BD＝BE，

∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，

∴∠BDE＝70°，

∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．

25．（8分）（2023春高新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高，AE是∠BAD的角平分線，點(diǎn)F為AE上一點(diǎn)，連接BF，∠BFE＝45°．

（1）求證：BF平分∠ABE；

（2）連接CF交AD于點(diǎn)G，若S△APF＝S△CBF，求證：∠AFC＝90°；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)BE＝3，AG＝4.5時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)．

（1）證明：∵AE是∠BAD的角平分線，

∴∠BAD＝2∠BAF，

∵∠BFE＝45°，

∴∠FBA+∠BAF＝45°，

∴2∠FBA+2∠BAF＝90°，

∵AD為BC邊上的高，

∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°，

∴2∠FBA＝∠EBA+∠FBA，

∴∠EBF＝∠FBA，

∴BF平分∠ABE；

（2）證明：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AB于點(diǎn)N，

∵BF平分∠ABE，F(xiàn)M⊥BC，F(xiàn)N⊥AB，

∴FM＝FN，

∵S△ABF＝S△CBF，

即ABFN＝BCFM，

∴AB＝BC，

在△ABF和△CBF中，

，

∴△ABF≌△CBF（SAS），

∴∠AF