第2講三角變換與解三角形

,.三角變換與解三角形考情解讀1.高考中?？疾槿呛愕茸儞Q有關公式的變形使用，常和同角三角函數(shù)的關系、誘導公結合精品文檔放心下載2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判斷三角形的形狀、求值等，經(jīng)常和三角恒等變換結精品文檔放心下載合進行綜合考查．1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. (2)cos(α±β)＝cosαcosβ?精品文檔放心下載sinαsinβ.tanα±tanβ(3)tan(α±β)＝1?tanαtanβ.謝謝閱讀2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1精品文檔放心下載－2sin2α.2tanα(3)tan2α＝1－tan2α.3．三角恒等式的證明方法(1)從等式的一邊推導變形到另一邊，一般是化繁為簡．(2)等式的兩邊同時變形為同一個式謝謝閱讀子．(3)將式子變形后再證明．4．正弦定理a b csinA＝sinB＝sinC＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)．精品文檔放心下載變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.謝謝閱讀,.a b csinA＝2R，sinB＝2R，sinC＝2R.感謝閱讀a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2推論：cosA＝，cosB＝，cosC＝2ab.2bc2ac變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，感謝閱讀a2＋b2－c2＝2abcosC.1116．面積公式S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.△ABC2227．解三角形(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解．(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一．精品文檔放心下載(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解．(4)已知三邊，利用余弦定理求解．熱點一三角變換π43π2π例1(1)已知sin(α＋3)＋sinα＝－5，－2<α<0，則cos(α＋3)等于()43A．－5B．－543C.5D.510(2)(2013·浙江)已知α∈R，sinα＋2cosα＝2，則tan2α等于(),.4334思維啟迪(1)利用和角公式化簡已知式子，和cos(α＋2π)A.B.C．－D．－34433進行比較．“切化弦”；平方；降次．思維升華 (1)三角變換的關鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，謝謝閱讀三角恒等變換公式的熟記和靈活應用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與精品文檔放心下載恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的精品文檔放心下載變換，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況．(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角謝謝閱讀的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解．π設函數(shù)f(x)＝cos(2x＋3)＋sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；θ cos2θ(2)若θ是第二象限角，且f(2)＝0，求1＋cos2θ－sin2θ的值．謝謝閱讀熱點二解三角形例1、完成考前11頁的考向1和2；（分小組完成）謝謝閱讀例2．(2014·江蘇)若△ABC的內角滿足sin感謝閱讀

A＋

2sin

B＝2sin

C，則cos

C的最小值是________．,.cosB 2a例3 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足a＝2sinA，cosC＋c＋精品文檔放心下載bc＝0.(1)求邊c的大?。?2)求△ABC面積的最大值．cosB 2a b思維啟迪 (1)將cosC＋c＋c＝0中的邊化成角，然后利用和差公式求cosC，進而求c.(2)感謝閱讀a＋b－c2只需求ab的最大值，可利用cosC＝222ab和基本不等式求解．,.思維升華 三角形問題的求解一般是從兩個角度，即從“角”或從“邊”進行轉化突感謝閱讀破，實現(xiàn)“邊”或“角”的統(tǒng)一，問題便可突破．幾種常見變形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；感謝閱讀(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R為△ABC外接圓的半徑；精品文檔放心下載(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC.感謝閱讀A－B例4．已知角A、B、C是△ABC的三個內角，若向量m＝(1－cos(A＋B)，cos感謝閱讀

2

)，n＝5 A－B(，cos)，且8 2

9m·n＝8.(1)求tanAtanB的值；absinC(2)求a2＋b2－c2的最大值．5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cosC)，精品文檔放心下載且q∥p.,.(1)求sinA的值；－2cos2C(2)求三角函數(shù)式1＋tanC＋1的取值范圍．感謝閱讀熱點三正、余弦定理的實際應用例1 (2013·江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下 山至C處精品文檔放心下載有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從 A沿索道乘感謝閱讀纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，精品文檔放心下載速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B精品文檔放心下載勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測謝謝閱讀,.12cosA＝13，3cosC＝5.(1)求索道AB的長；(2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？謝謝閱讀(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？感謝閱讀思維升華求解三角形的實際問題，首先要準確理解題意，分清已知與所求，關注應用題中的有關專業(yè)名詞、術語，如方位角、俯角等；其次根據(jù)題意畫出其示意圖，示意圖起著關鍵的作用；再次將要求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正、余弦定理等有關知識建立數(shù)學模型，從而正確求解，演算過程要簡練，計算要準確；最后作答．精品文檔放心下載變式訓練1如圖，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏感謝閱讀60°方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民．此時，C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45°方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度趕往C地救援我國漁民，能不能及時趕到？(2≈感謝閱讀,.1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)1．求解恒等變換問題的基本思路一角二名三結構，即用化歸轉化思想“去異求同”的過程，具體分析如下：謝謝閱讀(1)首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的感謝閱讀核心．(2)其次看函數(shù)名稱之間的關系，通?！扒谢摇保?3)再次觀察代數(shù)式的結構特點．2．解三角形的兩個關鍵點(1)正、余弦定理是實現(xiàn)三角形中邊角互化的依據(jù)，注意定理的靈活變形，如a＝2RsinA，感謝閱讀asinA＝2R(其中2R為三角形外接圓的直徑)，a2＋b2－c2＝2abcosC等，靈活根據(jù)條件感謝閱讀求解三角形中的邊與角．(2)三角形的有關性質在解三角形問題中起著重要的作用，如利用“三角形的內角和等于π”感謝閱讀和誘導公式可得到sin(A＋B)＝sinC，sinA＋BC2＝cos2等，利用“大邊對大角”可以解決解三角形中的增解問題等．,.3．利用正弦定理、余弦定理解決實際問題的關鍵是如何將實際問題轉化為數(shù)學問題，抽象精品文檔放心下載出三角形模型．(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1．(2014·浙江)為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖象，可以將函數(shù)y＝ 2cos3x的圖謝謝閱讀象( )π πA．向右平移4個單位 B．向左平移4個單位π πC．向右平移12個單位 D．向左平移12個單位ππ32．已知α∈(2，π)，sin(α＋4)＝5，則cosα等于( )感謝閱讀272A．－10B.1027272C．－10或10D．－10sinC53．在△ABC中，若sinA＝3，b2－a2＝2ac，則cosB的值為( )精品文檔放心下載11A.3B.211C.5D.44．(2013·陜西)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝精品文檔放心下載asinA，則△ABC的形狀為( )A．銳角三角形 B．直角三角形,.C．鈍角三角形D．不確定2－3→→15．已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且tanB＝a2－b2＋c2，BC·BA＝2，則tanB等于()3A.2B.3－1C．2D．2－3二、填空題π1π2sin2α＋sin2α6．已知tanα＋＝，且－<α<0，則＝________.422πcosα－47．在△ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC感謝閱讀＝3cosAsinC，則b＝________.精品文檔放心下載π π 1 4 π8．已知0<α<2<β<π，cos(β－4)＝3，sin(α＋β)＝5，則cos(α＋4)＝________.謝謝閱讀9．如圖，嵩山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設了一條索道AC，小李在山腳B處感謝閱讀看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120°；從B處攀登400米到達D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)精品文檔放心下載張角∠ADC＝150°；從D處再攀登800米方到達C處，則索道AC