復(fù)變函數(shù)與積分變換-第7章-傅立葉變換課件

第7章傅里葉變換本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解傅里葉積分;2、理解傅里葉變換;3、掌握函數(shù)及傅里葉變換;4、熟悉傅里葉變換的性質(zhì).第7章傅里葉變換本章學(xué)習(xí)目標(biāo)積分變換所謂積分變換,就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)(象原函數(shù))乘上一個確定的二元函數(shù),然后計算積分,即這樣變成另一個函數(shù)類B中的函數(shù)(象函數(shù)).根據(jù)選取的二元函數(shù)(核函數(shù))不同,就得到不同名稱的積分變換.積分變換所謂積分變換,就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)(象原第7章傅里葉變換7.1傅里葉變換的概念與性質(zhì)第7章傅里葉變換7.1傅里葉變換的概念與性質(zhì)47.1.1傅里葉積分1、

連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2、

只有有限個極值點這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)傅里葉級數(shù)時知道，研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上47.1.1傅里葉積分1、連續(xù)或只有有限個第一類間斷點5因此,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)

,可表示為三角級數(shù)的形式如下:5因此,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù),可6而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級數(shù)表示為:其中6而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級數(shù)表示為:其中7例1

定義方波函數(shù)為如圖所示:1-1otf(t)17例1定義方波函數(shù)為如圖所示:1-1otf(t)1

81-13T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T=4,則81-13T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為9則9則10sinc函數(shù)介紹10sinc函數(shù)介紹11sinc函數(shù)的圖形:sinc(x)x11sinc函數(shù)的圖形:sinc(x)x12前面計算出w12前面計算出w13現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)1-17T=8f8(t)t13現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一14則14則15則在T=8時,w15則在T=8時,w16如果再將周期增加一倍,令T=16,可計算出w16如果再將周期增加一倍,令T=16,可計算出w17一般地,對于周期T17一般地,對于周期T18當(dāng)周期T越來越大時,各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小,而它們的強(qiáng)度在各個頻率的輪廓則總是sinc函數(shù)的形狀,因此,如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù),則它也可以看作是由無窮多個無窮小的正弦波構(gòu)成,將那個頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是f(t)的各個頻率成份上的分布,稱作f(t)的傅里葉變換.18當(dāng)周期T越來越大時,各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小19對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時轉(zhuǎn)化而來的.

作周期為T的函數(shù)fT(t),使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上,則T越大,fT(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說明當(dāng)T時,周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),即有19對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)f20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)212122如圖{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w22如圖{Ow1w2w3 2323

24此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式,簡稱傅氏積分公式,而等號右端的積分式稱為的傅里葉積分(簡稱傅氏積分).24此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式,簡稱傅氏積分

若函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；(2)至多有有限個極值點）,并且在上絕對可積，則有：傅氏積分存在定理

為連續(xù)點為間斷點若函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足狄氏上式稱為傅氏積分的復(fù)指數(shù)形式，利用歐拉公式，也可以轉(zhuǎn)化為三角形式.26上式稱為傅氏積分的復(fù)指數(shù)形式，利用歐拉公式，也可以轉(zhuǎn)化為三角27又考慮到積分最后這個式子就是傅里葉積分的三角形式27又考慮到積分最后這個式子就是傅里葉積分的三角形式也叫做的傅氏積分表達(dá)式

如果函數(shù)滿足傅里葉積分定理,由傅里葉積分公式,設(shè)7.1.2傅里葉變換的概念叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做

=?[]叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=?也叫做的傅氏積分表達(dá)式如果函數(shù)例2

求函數(shù)的傅氏變換

解例2求函數(shù)例3求指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換和傅氏積分表達(dá)式.解這個指數(shù)衰減函數(shù)是工程技術(shù)中常遇到的一個函數(shù)

tf(t)例3求指數(shù)衰減函數(shù)若上式右端為于是若上式右端為7.1.3－函數(shù)及其傅里葉變換

在物理和工程技術(shù)中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會碰到單位脈沖函數(shù).因為在許多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分布的物理量外,還會有集中在一點的量（點源）,或者具有脈沖性質(zhì)的量.例如瞬間作用的沖擊力,電脈沖等.在電學(xué)中,我們要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動情況等.研究這類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的脈沖函數(shù).有了這種函數(shù),對于許多集中在一點或一瞬間的量,例如點電荷、點熱源、集中于一點的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決.7.1.3－函數(shù)及其傅里葉變換

在物函數(shù)的定義

（1）看作矩形脈沖的極限（2）函數(shù)的數(shù)學(xué)定義（3）物理學(xué)家狄拉克給出的定義滿足下列兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)：Ⅰ

Ⅱ

函數(shù)的定義（1）看作矩形脈沖的極限1函數(shù)用一個長度等于1的有向線段來表示,如下圖o定義為滿足下列條件的函數(shù)如下圖1o1函數(shù)用一個長度等于1的有向線段來表示,如下圖o

函數(shù)的性質(zhì)

（1）對任意的連續(xù)函數(shù),都有

（2）函數(shù)為偶函數(shù),即

函數(shù)的性質(zhì)

（1）對任意的連續(xù)函數(shù)（3）其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有.Otu(t)（3）其中,稱為單位階躍函數(shù)..Otu(t)

函數(shù)的傅里葉變換由于

=?可見,

?[]=1,?-1[1]=.

與常數(shù)1構(gòu)成了一個傅氏變換對,即與也構(gòu)成了一個傅氏變換對,即函數(shù)的傅里葉變換由于=?可見,?

一些常見函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對

例4

可以證明單位階躍函數(shù)的傅氏變換為的積分表達(dá)式為pwO|F(w)|一些常見函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對例4可以證明單例5證明的傅氏變換為證明=?所以例5證明的傅氏變換為證明=?所以例6

求正弦函數(shù)的傅氏變換可以證明??pp-w0w0Ow|F(w)|tsint例6求正弦函數(shù)的傅氏變換可以證明??pp-w0w0Ow7.1.4傅里葉變換的性質(zhì)

1線性性質(zhì)?=?設(shè)為常數(shù)則=?

?這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時,不再重述這些條件.7.1.4傅里葉變換的性質(zhì)1線性性質(zhì)?=?設(shè)為常數(shù)2對稱性質(zhì)

若=?則以為自變量的函數(shù)

的象函數(shù)為

即?

?3相似性質(zhì)=?若則??2對稱性質(zhì)

若=?則以為自變量的函數(shù)的象函數(shù)為即?4平移性質(zhì)

若=?為實常數(shù),則??（1）象原函數(shù)的平移性質(zhì)4平移性質(zhì)

若=?為實常數(shù),則??（1）象原函數(shù)的例7

求??解因為所以?例7求??解因為所以?（2）象函數(shù)的平移性質(zhì)

若=?為實常數(shù),則??（2）象函數(shù)的平移性質(zhì)若=?為實常數(shù),則??例8已知?求?解??顯然一般地?例8已知?求?解??顯然一般地?且則5微分性質(zhì)若=??一般地,若?則?（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)且則5微分性質(zhì)若=??例9證明?證明因為所以???一般地?例9證明?證明因為所以???一般地?（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)

若=?則?或?例10已知?求?解?（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)

若=?則?或?例10已知?求?解?6積分性質(zhì)若=??則在這里必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個廣義積分應(yīng)改為?6積分性質(zhì)若=??則在這里第7章傅里葉變換7.2傅里葉變換的應(yīng)用第7章傅里葉變換7.2傅里葉變換的應(yīng)用7.2.1傅氏變換的物理意義—頻譜

在頻譜分析中,傅氏變換

又稱為的頻譜函數(shù),而它的模

稱為的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)的頻譜.可以證明,頻譜為偶函數(shù),即7.2.1傅氏變換的物理意義—頻譜在頻譜分析中,傅53例1作如圖所示的單個矩形脈沖的頻譜圖f(t)單個矩形脈沖的頻譜函數(shù)為:t