新課標(biāo)課件-選修2-2：23-數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法1數(shù)學(xué)歸納法1學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過(guò)學(xué)習(xí)過(guò)的歸納推理及幾個(gè)例子，弄明白數(shù)學(xué)歸納法的證明原理（重點(diǎn)）2.通過(guò)幾個(gè)證明問(wèn)題，梳理清楚數(shù)學(xué)歸納法的一般實(shí)施步驟，并會(huì)證明等式與不等式恒成立問(wèn)題（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過(guò)學(xué)習(xí)過(guò)的歸納推理及幾個(gè)例子，弄明白數(shù)學(xué)歸納1,5,3,7,9,11,15你猜、你猜、你猜猜猜歸納推理：由部分到整體的推理，結(jié)論未必正確1,5,3,7,9,11,15你猜、你猜、你猜猜猜歸納推理：可從簡(jiǎn)單情形出發(fā)觀察、歸納、猜想(不完全歸納法)可從簡(jiǎn)單情形出發(fā)觀察、歸納、猜想(不完全歸納法)費(fèi)馬(Fermat)曾經(jīng)提出一個(gè)猜想：形如Fn＝22n+1(n=0,1,2…)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)……100年后…

費(fèi)馬(1601--1665)法國(guó)偉大的業(yè)余數(shù)學(xué)家。

歐拉(1707～1783)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。

費(fèi)馬您錯(cuò)了!不完全歸納法能幫助我們發(fā)現(xiàn)猜想,但不能保證猜想正確.費(fèi)馬(Fermat)曾經(jīng)提出一個(gè)猜想：形如Fn＝22n+1在使用歸納法探究數(shù)學(xué)命題時(shí)，必須對(duì)任何可能的情況進(jìn)行論證后，才能判別命題正確與否。思考1：與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都能否通過(guò)一一驗(yàn)證的辦法來(lái)加以證明呢？思考2：如果一個(gè)數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)n有關(guān),我們能否找到一種既簡(jiǎn)單又有效的證明方法呢？在使用歸納法探究數(shù)學(xué)命題時(shí)，必須對(duì)任何可能的情新課標(biāo)ppt課件-選修2-2：2思考：這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長(zhǎng)方形骨牌。玩時(shí)將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。多米諾是一項(xiàng)集動(dòng)手、動(dòng)腦于一體的運(yùn)動(dòng)。一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬(wàn)張骨牌組成。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗(yàn)參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。多米諾是種文化。它起源于中國(guó)，有著上千年的歷史。思考：這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？多米

只要滿足以下兩個(gè)條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下：

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。（傳遞）條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也倒下。思考：你認(rèn)為證明數(shù)列的通項(xiàng)公式是這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？（1）第一塊骨牌倒下；（基礎(chǔ)）只要滿足以下兩個(gè)條件，所有多米諾骨牌就能全部倒這種一種嚴(yán)格的證明方法──數(shù)學(xué)歸納法.這種一種嚴(yán)格的證明方法──數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法的概念：定義：對(duì)于某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0

N*)時(shí)命題成立(歸納奠基）；2.然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立(歸納遞推）。這種證明方法就叫做______________。數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法的概念：定義：對(duì)于某些與正整數(shù)n有關(guān)注意：1.數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的命題2.數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立

證明當(dāng)時(shí),命題也成立（基礎(chǔ)）（傳遞）3.數(shù)學(xué)歸納法第二步的證明可以用各種證明方法，但必須用到假設(shè)注意：1.數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的命題2.數(shù)學(xué)歸納思考5：試問(wèn)等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請(qǐng)問(wèn)該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？解:設(shè)n＝k時(shí)成立，即這就是說(shuō)，n＝k+1時(shí)也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1則當(dāng)n=k+1時(shí)2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1所以等式對(duì)任何n∈N*都成立事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝2，右邊＝3左邊≠右邊，等式不成立該同學(xué)在沒(méi)有證明當(dāng)n=1時(shí)，等式是否成立的前提下，就斷言等式對(duì)任何n∈N*都成立，為時(shí)尚早思考5：試問(wèn)等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題

的過(guò)程.你認(rèn)為他的證法正確嗎?為什么?

(1).當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=(2).假設(shè)n=k時(shí)命題成立即那么n=k+1時(shí),

左邊

=右邊,即n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)知,對(duì)一切正整數(shù),命題均正確.

思考6:下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題思考6:證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝右邊＝②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，那么n=k+1時(shí)等式成立這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N＊都成立即第二步的證明沒(méi)有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求思考7：下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立的過(guò)程,它符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求嗎？為什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝右邊＝②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，那

因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無(wú)法遞推下去。因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，題型一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)用舉例例1、利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題型一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)用舉例例1、利用數(shù)學(xué)歸納法證證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝

等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是那么n=k+1時(shí)證明：那么n=k+1時(shí)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N＊都成立。這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。當(dāng)堂檢測(cè)1：用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）n=1時(shí)左邊=1=右邊（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)當(dāng)堂檢測(cè)1：用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）n=1時(shí)左邊=1=右=右邊所以，n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.由（1）（2）可知=右邊所以，n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.題型二、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明：（1）n=2時(shí)左邊=（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)左邊=題型二、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明所以，n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.由（1）（2）可知所以，n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.當(dāng)堂檢測(cè)2：證明不等式:證明：（1）n=1