揚(yáng)州大學(xué)《線性代數(shù)》11行列式定義課件

上課7/31/20231第一章行列式上課7/31/20231第一章行列式緒論線性代數(shù)是是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和發(fā)展。一、課程內(nèi)容“線性”即一次，一次函數(shù)、方程、不等式均稱(chēng)為線性的。本課程一重要內(nèi)容——解含n個(gè)未知數(shù)、m個(gè)方程的任一線性方程組。課程給出了一套有關(guān)線性方程組的理論，其中用到一些新知識(shí)，如矩陣(Ch2)、向量(Ch3)及相關(guān)概念。行列式(Ch1)與矩陣概念是人們從求解線性方程組的需要中建立起來(lái)的，又遠(yuǎn)遠(yuǎn)越出求解線性方程組的范圍，成為重要的數(shù)學(xué)工具。矩陣在眾多數(shù)學(xué)分支以及自然科學(xué)、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)、緒論線性代數(shù)是是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和發(fā)展。一、課程內(nèi)工程技術(shù)等方面也有廣泛應(yīng)用。教材在Ch4進(jìn)一步研究矩陣的有關(guān)問(wèn)題，Ch5也以矩陣為工具。二、課程應(yīng)用線性問(wèn)題廣泛存在于自然科學(xué)、管理科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，某些非線性問(wèn)題在一定條件下也可以線性化，在線性問(wèn)題中一次不等式又可以通過(guò)引進(jìn)新變量轉(zhuǎn)化為等式(“線性規(guī)劃”課程)——即線性方程。因此線性代數(shù)的概念和方法應(yīng)用廣泛，尤其計(jì)算機(jī)的應(yīng)用使得復(fù)雜的線性模型得以迅速、準(zhǔn)確求解。7/31/20233第一章行列式工程技術(shù)等方面也有廣泛應(yīng)用。教材在Ch4進(jìn)一步研究矩陣的有關(guān)三、課程特點(diǎn)學(xué)習(xí)方法五、參考書(shū)目1.《練習(xí)卷》2.《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》代數(shù)繁且抽象。只有一步步穩(wěn)打穩(wěn)扎，才能學(xué)好.預(yù)習(xí)適當(dāng)筆記適時(shí)復(fù)習(xí)獨(dú)立作業(yè)及時(shí)小結(jié)四、作業(yè)要求:及時(shí)、獨(dú)立完成;格式;上交時(shí)間.7/31/20234第一章行列式三、課程特點(diǎn)學(xué)習(xí)方法五、參考書(shū)目1.《練習(xí)卷》2.《線性代數(shù)第一章行列式7/31/20235第一章行列式第一章行列式7/31/20235第一章行列式來(lái)源:解線性方程組考慮用消元法解為了求x1,需先消去x2,于是當(dāng)時(shí),1.1行列式的定義一.二、三階行列式1.二階行列式7/31/20236第一章行列式來(lái)源:解線性方程組考慮用消元法解為了求x1,需先消去x2類(lèi)似有:這就是兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程的線性方程組在條件下的公式解.公式解的缺點(diǎn):不便于記憶改進(jìn)方法:引入新記號(hào)定義一:令并把此式叫做一個(gè)二階行列式.(結(jié)果是個(gè)數(shù))等式左端是記號(hào),右端是行列式的算法.(兩行兩列四元素組成)(兩項(xiàng)的代數(shù)和)7/31/20237第一章行列式類(lèi)似有:這就是兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程的線性方程組在條件下的公式解公式解的便于記憶形式記法:(2)x1、x2分子不同,其行列式分別是把系數(shù)行列式中x1、x2的系數(shù)列換成常數(shù)項(xiàng)列(保持原有的上下相對(duì)位置)所得行列式.(1)x1,x2分母的行列式由方程中未知數(shù)系數(shù)按其原有的相對(duì)位置排成——“系數(shù)行列式”7/31/20238第一章行列式公式解的便于記憶形式記法:(2)x1、x2分子不同,其行定義二:令并把此式叫做一個(gè)三階行列式.等式左端是記號(hào),右端是行列式的展式.aij:第i行第j列的元素它可以由一個(gè)很簡(jiǎn)單的規(guī)則來(lái)說(shuō)明——即三階行列式的對(duì)角線規(guī)則.(三行三列九元素組成)(六項(xiàng)的代數(shù)和)2.三階行列式7/31/20239第一章行列式定義二:令并把此式叫做一個(gè)三階行列式.等式左端是記號(hào),右端是可以驗(yàn)證，三元線性方程組的解當(dāng)D≠0時(shí)可以表示為:7/31/202310第一章行列式可以驗(yàn)證，三元線性方程組的解當(dāng)D≠0時(shí)可以表示為:7/31其中:例1解方程組D＝D1＝D2＝D3＝7/31/202311第一章行列式其中:例1解方程組D＝D1＝D2＝D3＝7/31/202解所以:D＝D1=D2=D3=3×(-1)×(-1)=＋1×2×1＋(-1)×2×1－(-1)×(-1)×1－1×2×(-1)－3×2×1＝－2=2－2－1＋2=1=－12=－97/31/202312第一章行列式解所以:D＝D1=D2=D3=3×(-1)×(-1)=＋1×小結(jié):引入二(三)階行列式使二(三)元線性方程組的公式解具有同樣的規(guī)律.人們自然想把這一規(guī)律推廣到n(n>3)個(gè)未知量的線性方程組的解法上.顯然,能否推廣關(guān)鍵在于怎樣恰當(dāng)?shù)囟x——二.n階行列式1.二、三階行列式的推廣四階行列式：42個(gè)元素組成n階行列式：n2個(gè)元素組成——n階行列式的形式n階行列式的實(shí)質(zhì)?7/31/202313第一章行列式小結(jié):引入二(三)階行列式使二(三)元線性方程組的公式解具有表示代數(shù)和——每項(xiàng)組成?共多少項(xiàng)?各項(xiàng)符號(hào)?觀察三階行列式展開(kāi)式的特點(diǎn)思考上述問(wèn)題：(1)每項(xiàng)組成:(2)多少項(xiàng):四階行列式共4!＝24項(xiàng)，對(duì)角線僅8條，(3)各項(xiàng)符號(hào):四階以上是否適用？取自不同行不同列的三元之積.由排列組合知識(shí)，共3!＝6項(xiàng).有多少不同行、不同列的三元之積?對(duì)角線法則.對(duì)角線法則對(duì)四階以上行列式不適用。為確定行列式展式中各項(xiàng)符號(hào),先介紹排列理論表示代數(shù)和——每項(xiàng)組成?共多少項(xiàng)?各項(xiàng)符號(hào)?觀察三階行列式展(1)排列:自然數(shù)1,2,…,n組成的一個(gè)有序數(shù)組i1i2…in稱(chēng)為一個(gè)n級(jí)(元)排列.例123、231、312、…自然排列:(2)逆序:大數(shù)碼排在小數(shù)碼前面,稱(chēng)兩者構(gòu)成一個(gè)逆序.排列中的逆序總數(shù)稱(chēng)作逆序數(shù),記2.排列的逆序數(shù)51243、41352、…五級(jí)排列.不是排列.1242三級(jí)排列,共3!＝6種；一般排列：不按自然數(shù)順序排列.例22+1+1=4;=0;=5;按自然數(shù)順序排列(左數(shù)碼<右數(shù)碼)=n-1+n-2+…+2+1=(1)排列:自然數(shù)1,2,…,n組成的一個(gè)有序數(shù)組i1i2(3)

奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列上例③逆序數(shù)為0,是偶排列.n=4k或4k＋1,偶排列;n=4k＋2或4k＋3,奇排列.(4)排列的對(duì)換:排列經(jīng)對(duì)換后逆序數(shù)改變.奇偶性是否改變?定理1對(duì)換改變排列的奇偶性。

證

①對(duì)換相鄰數(shù)碼：，②一般對(duì)換：，對(duì)換(i,j)可看成:i

經(jīng)s+1次相鄰對(duì)換得j再經(jīng)s次相鄰對(duì)換得奇偶性共改變2s+1次。逆序數(shù)增加或減少1④對(duì)換(is,

it)7/31/202316第一章行列式(3)奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列上例③逆序數(shù)為0,是定理2全體n(n>1)級(jí)排列的集合中，奇、偶排列各占一半。

證:設(shè)n!個(gè)排列中奇、偶排列分別有p、q個(gè).將p個(gè)奇排列經(jīng)同一對(duì)換如(1，2)可得p個(gè)偶排列,故p≤q；同理可得q≤p.所以p＝q推論

奇(偶)排列可經(jīng)奇(偶)數(shù)次對(duì)換變成自然排列利用排列的逆序數(shù)可確定行列式中各項(xiàng)的符號(hào).先看三階行列式中各項(xiàng)符號(hào)有何規(guī)律.各項(xiàng)正負(fù)號(hào)與列標(biāo)排列:正號(hào):123,231,312負(fù)號(hào):321,213,132(偶排列)(奇排列)定理2全體n(n>1)級(jí)排列的集合中，奇、偶排列各占一定義：用符號(hào)表示的n階行列式指的是——n!項(xiàng)的代數(shù)和;這些項(xiàng)是一切可能的取自表(1)的不同行與不同列的n個(gè)元素的乘積；項(xiàng)的符號(hào)為故3.n階行列式記作：7/31/202318第一章行列式定義：用符號(hào)表示的n階行列式指的是——n!項(xiàng)的代數(shù)和;這些項(xiàng)determinant簡(jiǎn)記作易證：(也可)特別:n=1,一階行列式(與絕對(duì)值的區(qū)別!)|a|＝adeterminant簡(jiǎn)記作易證：(也可)特別:n=1,一上三角形行列式

下三角形行列式

對(duì)角形行列式

例3

4.

特殊行列式＝a11a22…ann＝＝＝a1na2n-1…an120上三角形行列式下三角形行列式對(duì)角形行列式例3

4.

例4.用行列式定義計(jì)算：

＝2005!＝(－1)2005!＝2005!7/31/202321第一章行列式例4.用行列式定義計(jì)算：＝例5.設(shè)問(wèn)dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2是否D中項(xiàng)？符號(hào)?,求f(x)的最高次項(xiàng).例6.dx3y2z1列4321,＋.by3x1z4行1234,列2314.－.行1324,ax1y3z2列1132,不是D中項(xiàng).行1234,＝－90x4(或:行1234,列2134)7/31/202322第一章行列式例5.設(shè)問(wèn)dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2解:根據(jù)定義,D是一個(gè)4!＝24項(xiàng)的代數(shù)和.這24項(xiàng)中除了acfh,adeh,bdeg,bcfg四項(xiàng)外,其余項(xiàng)都至少含一個(gè)因子0,因而等于零.acfh對(duì)應(yīng)列排列是1234adeh對(duì)應(yīng)列排列是1324bdeg對(duì)應(yīng)列排列是4321bcfg對(duì)應(yīng)列排列是4231例7