2022-2023學(xué)年黑龍江省綏化市綏棱重點(diǎn)中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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1.已知集合，，則的一個(gè)真子集為()

A.B.C.D.

2.已知，，，則，，的大小關(guān)系為()

A.B.C.D.

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是()

A.B.C.D.

4.設(shè)函數(shù)，若角的終邊經(jīng)過，則的值為()

A.B.C.D.

5.已知，，則的值是()

A.B.C.D.

6.在下列函數(shù)中，最小值為的是()

A.B.

C.D.

7.若，那么的值為()

A.B.C.D.

8.函數(shù)的圖象大致為()

A.B.

C.D.

9.已知，，，則()

A.B.

C.D.

10.已知為偶函數(shù)，其圖象與直線的其中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，的最小值為，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.

B.函數(shù)在上單調(diào)遞減

C.是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

D.若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則

11.已知，則下列不等式不一定成立的是()

A.B.C.D.

12.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷不正確的是()

A.B.C.D.

13.正數(shù)，滿足，則與大小關(guān)系為______．

14.已知函數(shù)，若任意的正數(shù)，均滿足，則的最小值為______．

15.已知，，則______．

16.已知函數(shù)，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．

17.已知，求下列式子的值．

為第二象限角，求；

18.已知函數(shù)．

求的單調(diào)增區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值

19.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且．

求，的值，并判斷的單調(diào)性；

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

20.已知函數(shù)且在區(qū)間上的最大值是．

求實(shí)數(shù)的值；

假設(shè)函數(shù)的定義域是，求不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．

21.已知函數(shù)．

若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

若函數(shù)，記函數(shù)在上的最小值為，求證：．

22.已知函數(shù)且為常數(shù)．

討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：；

；

是的真子集．

故選：．

可求出集合，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可求出，從而判斷出哪個(gè)選項(xiàng)的集合是的真子集．

考查列舉法、描述法的定義，交集的運(yùn)算，以及真子集的定義．

2.【答案】

【解析】解：，，，

故．

故選：．

可得出，然后即可得出，，的大小關(guān)系．

本題考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：在中，是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

在中，是非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

在中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減，故C正確；

在中，是偶函數(shù)，在上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤．

故選：．

在中，在上單調(diào)遞增；在中，是非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增；在中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減；在中，在上不是減函數(shù)．

本題考查命題真假的判斷，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：角的終邊經(jīng)過，可得，

，可得，

，即的值為．

故選：．

由任意角的正弦函數(shù)值，以及分段函數(shù)的解析式，計(jì)算可得所求值．

本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)值，考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．

由給定條件求出，再由差角的余弦公式計(jì)算即可．

【解答】

解：因，，

則，

于是

，

所以的值是，

故選B．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了利用基本不等式及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，要注意應(yīng)用條件的檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題．

由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性，分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．

【解答】

解：：當(dāng)時(shí)，顯然不成立；

：令，由得，在上單調(diào)遞減，沒有最小值，不符合題意，同理不符合題意；

：得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)函數(shù)取得最小值．

故選：．

7.【答案】

【解析】解：若，那么，

故選：．

由條件利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)所給的式子，可得結(jié)果．

本題主要考查應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，要特別注意符號(hào)的選取，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：由得，且，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，排除，，

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

由得，即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

由得且，即或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

故選：．

根據(jù)函數(shù)的定義域，特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)，以及函數(shù)的單調(diào)性和極值進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，利用定義域，單調(diào)性極值等函數(shù)特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；

，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；

因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確．

故選：．

由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．

本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，

因?yàn)榈膱D象與直線的其中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，的最小值為，

所以，的最小正周期為，

所以，即，

所以，，故A選項(xiàng)正確；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，選項(xiàng)正確；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不是函數(shù)的對(duì)稱中心，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

所以，當(dāng)方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，，即，故D選項(xiàng)正確．

故選：．

由題知，，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象依次討論各選項(xiàng)即可得答案．

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于，因?yàn)?，則有且，必有，在，同乘可得：，不等式一定成立；

對(duì)于，由的結(jié)論，，則等號(hào)無法取得，不等式一定成立；

對(duì)于，令，，其導(dǎo)數(shù)，

則在上單調(diào)遞增，又由，則有，即，不等式一定不成立；

對(duì)于，當(dāng)，時(shí)，，不等式不成立，

當(dāng)，時(shí)，，不等式成立，

故該不等式不一定成立．

故選：．

根據(jù)題意，結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)A，結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)B，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性檢驗(yàn)選項(xiàng)C，舉出例子說明選項(xiàng)D綜合可得答案．

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性在不等式大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：由題意設(shè)，則．

滿足，

當(dāng)時(shí)，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，即故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

又，則，即，故關(guān)于對(duì)稱，

對(duì)于：，即，故，故A正確；

對(duì)于：，即，即，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于：，即，故，故C正確；

對(duì)于：，即，故，故D錯(cuò)誤；

故選：．

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得的單調(diào)性，利用函數(shù)的對(duì)稱性，逐一分析選項(xiàng)，即可求得答案．

本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以，

設(shè)，則，

所以，

又因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，

所以在上單調(diào)遞增，

所以．

故答案為：．

構(gòu)造函數(shù)，并運(yùn)用其單調(diào)性比較大小即可．

本題主要考查了作差法比較大小，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)?，有成立，?/p>

，

，

為定義在上的奇函數(shù)．

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知，當(dāng)時(shí)，與均單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又為定義在上的奇函數(shù)，

在上單調(diào)遞減．

由得，

正數(shù)，滿足，即，

由基本不等式，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，

的最小值為．

故答案為：．

先判斷出的單調(diào)性和奇偶性，再由得出與滿足的等式，再由基本不等式“”的妙用求解即可．

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：由題設(shè)，則且，

所以，即，故．

故答案為：．

根據(jù)指對(duì)數(shù)互化可得，結(jié)合求參數(shù)值即可．

本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?/p>

且，

所以為偶函數(shù)，

設(shè)，而為奇函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，

所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

設(shè)，則，

因?yàn)椋?/p>

所以即為上的增函數(shù)，

故在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?，所以，解得?/p>

實(shí)數(shù)的取值范圍為．

故答案為：

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求解不等式．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，

又由，得，

又由為第二象限角，，

可得，解得負(fù)舍，

再由得出，

進(jìn)而得出．

由

分子分母同除以可得，

再由中可得，

故得出．

【解析】利用誘導(dǎo)公式得，再結(jié)合三角函數(shù)的商的關(guān)系以及同角的平方和關(guān)系即可解出，，則得到答案；

利用弦化切即可得到答案．

本題主要考查了誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題．

18.【答案】解：，

令，，解得：，，

可得的單調(diào)遞增區(qū)間為：；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值．

即的最大值為，最小值為．

【解析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；

求出時(shí)的值域，即可得出的最大、最小值．

本題考查了三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：令，得，得，

令，，得，得；

令，所以，所以，

因?yàn)?，所以，所以，即有?/p>

即在上為增函數(shù)；

方法一、由，可得，

，即，即，

又，所以，

又因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上恒成立，

得在上恒成立，

若，則得；

若，則可得在上恒成立，

所以滿足題意；

若，由在上恒成立，在上恒成立，

可得在上恒成立，則；

綜上所述，的取值范圍是

方法二、因?yàn)?，即，即?/p>

又，所以，

又因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上恒成立；

得在上恒成立，

即在上恒成立，

因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最小值，所以；

則的取值范圍是

【解析】令，可得，再令，，可得，由單調(diào)性的定義，結(jié)合條件可判斷的單調(diào)性；

由等式和的單調(diào)性，可得在上恒成立，方法一、討論，，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得所求范圍；方法二、運(yùn)用參數(shù)分離和配方法，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求范圍．

本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，以及不等式恒成立問題解法，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，

因此；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，

因此，

所以或．

因?yàn)榈亩x域是，

即恒成立．

則方程的判別式，即，

解得，

又因?yàn)榛?，因此?/p>

代入不等式得，即，

解得，

因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【解析】當(dāng)時(shí)，由函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)求解；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)求解；

根據(jù)的定義域是，由恒成立求解．

本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的恒成立問題，屬于中檔題．

21.【答案】解：由題意知，，，

，，則所求切線方程為，即．

證明：由題意知，，

．

令，，則在上單調(diào)遞增，

又，，則存在使得成立，

，．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

．

令，則，

，，．

【解析】利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程可解決此問題；運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可解決此問題．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．

22.【答案】解：由題設(shè)知：的定義域?yàn)椋?/p>

令，在上恒成立，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即，故在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，方程有唯一解為，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

是函數(shù)的極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有個(gè)極值點(diǎn)；

不等式對(duì)任意的恒成立