動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述課件

Ch.2控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

Ch.2控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型1本章簡介(1/2)本章簡介本章討論動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。主要介紹狀態(tài)空間分析中狀態(tài)空間模型的建立、狀態(tài)空間模型的線性變換、MIMO的傳遞函數(shù)陣、組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型本章最后介紹基于Matlab的控制模型的建立與變換問題的程序設(shè)計與計算。本章簡介(1/2)本章簡介2本章簡介(2/2)本章將力圖讓讀者建立起狀態(tài)、狀態(tài)空間與狀態(tài)空間變換的概念,掌握狀態(tài)空間模型的建立方法,打下狀態(tài)空間分析的基礎(chǔ)。本章簡介(2/2)本章將力圖讓讀者建立起狀態(tài)、狀態(tài)空間與狀態(tài)3目錄(1/1)目錄概述2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間模型2.2根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型2.3根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型2.4狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型2.5傳遞函數(shù)陣2.6線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.7Matlab問題本章小結(jié)目錄(1/1)目錄4概述(1/12)概述控制理論主要是研究動態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)分析、優(yōu)化和綜合等問題。所謂動態(tài)系統(tǒng)(又稱為動力學(xué)系統(tǒng)),抽象來說是指能儲存輸入信息(或能量)的系統(tǒng)。例如,含有電感和電容等儲存電能量的元件的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),含有彈簧和質(zhì)量體等通過位移運動來儲存機械能量的剛體力學(xué)系統(tǒng),存在熱量和物料信息平衡關(guān)系的化工熱力學(xué)系統(tǒng)等。概述(1/12)概述5概述(2/12)這類系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)(靜力學(xué)系統(tǒng))的區(qū)別在于:靜態(tài)系統(tǒng)的輸出取決于當前系統(tǒng)的瞬時輸入,而動態(tài)系統(tǒng)的輸出取決于系統(tǒng)當前及過去的輸入信息的影響的疊加。如,電阻的電流直接等于當前的電壓輸入與電阻值之比,而電容兩端的電壓則是通過電容的當前及過去的電流的積分值與電容值之比。概述(2/12)這類系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)(靜力學(xué)系統(tǒng))的區(qū)別在于:6概述(3/12)在進行動態(tài)系統(tǒng)的分析和綜合時,首先應(yīng)建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,它是我們進行系統(tǒng)分析、預(yù)報、優(yōu)化及控制系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)。在系統(tǒng)和控制科學(xué)領(lǐng)域內(nèi),數(shù)學(xué)模型是指能描述動態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達式,它包含數(shù)值型的和邏輯型的,線性的和非線性的,時變的和定常的,連續(xù)時間型的和離散時間型的,集中參數(shù)的和分布參數(shù)的等等。這種描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達式亦稱為系統(tǒng)的動態(tài)方程。概述(3/12)在進行動態(tài)系統(tǒng)的分析和綜合時,首先應(yīng)建立該系7概述(4/12)建立數(shù)學(xué)模型的主要方法有:機理分析建模。按照系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu),工作原理,并通過某些決定系統(tǒng)動態(tài)行為的物理定律、化學(xué)反應(yīng)定律、社會和經(jīng)濟發(fā)展規(guī)律,以及各種物料和能量的平衡關(guān)系等來建立系統(tǒng)模型。實驗建模(系統(tǒng)辨識)。通過對系統(tǒng)的實驗或?qū)嶋H運行過程中取得能反映系統(tǒng)的動態(tài)行為的信息與數(shù)據(jù),用數(shù)學(xué)歸納處理的方法來建立系統(tǒng)模型。概述(4/12)建立數(shù)學(xué)模型的主要方法有:8概述(5/12)值得指出的是,不同建模目的,采用不同數(shù)學(xué)工具和描述方式,以及對模型精度的不同要求,都會導(dǎo)致不同的數(shù)學(xué)模型。因此,一個實際的系統(tǒng)也可以用不同的數(shù)學(xué)模型去描述。例如,嚴格說來,大多數(shù)實際系統(tǒng)的動力學(xué)模型都具有非線性特性,而且系統(tǒng)是以分布參數(shù)的形式存在。若在建立數(shù)學(xué)模型中考慮這些復(fù)雜因素,必然將使所建立的模型中含有復(fù)雜的非線性微分方程或偏微分方程,這樣就給模型在系統(tǒng)分析、控制系統(tǒng)的設(shè)計和實現(xiàn)上帶來相當大的困難性。在給定的容許誤差范圍內(nèi),如果將這些復(fù)雜因素用線性特性、集中參數(shù)的形式去近似描述系統(tǒng),將大大簡化系統(tǒng)模型的復(fù)雜程度,從而使所建立的模型能有效地運用到系統(tǒng)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計等方面。概述(5/12)值得指出的是,不同建模目的,采用不同數(shù)學(xué)工具9概述(6/12)當然過多考慮系統(tǒng)的各種復(fù)雜因素的簡化和近似,也必然影響數(shù)學(xué)模型的精度,以及模型在分析、綜合和控制中的應(yīng)用效果。因此,一個合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)是對其準確性和簡化程度作折中考慮,它是在忽略次要因素,在現(xiàn)實條件和可能下,在一定精度范圍內(nèi)的,盡可能抓住主要因素,并最終落腳于實際應(yīng)用的目標、條件(工具)與環(huán)境的結(jié)果。模型并不是越精確越好、越復(fù)雜越好。概述(6/12)當然過多考慮系統(tǒng)的各種復(fù)雜因素的簡化和近似,10概述(7/12)傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的主要數(shù)學(xué)模型,它適用于SISO線性定常系統(tǒng),能便利地處理這一類系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分析或頻率法的分析和設(shè)計。但是,對于MIMO系統(tǒng)、時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng),這種數(shù)學(xué)模型就無能為力。傳遞函數(shù)僅能反映系統(tǒng)輸入與輸出之間傳遞的線性動態(tài)特性,不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)變化特性。因而是一種對系統(tǒng)的外部動態(tài)特性的描述,這就使得它在實際應(yīng)用中受到很大的限制。概述(7/12)傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的主11概述(8/12)現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時,系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述的。它能反映系統(tǒng)的全部獨立變量的變化,從而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運動狀態(tài),而且還可以方便地處理初始條件。因而,狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動態(tài)行為的全部信息,是對系統(tǒng)行為的一種完全描述。概述(8/12)現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)12概述(9/12)狀態(tài)空間分析法不僅適用于SISO線性定常系統(tǒng),也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及隨機系統(tǒng)等。因而,狀態(tài)空間分析法適用范圍廣,對各種不同的系統(tǒng),其數(shù)學(xué)表達形式簡單而且統(tǒng)一。更突出的優(yōu)點是,它能夠方便地利用數(shù)字計算機進行運算和求解,甚至直接用計算機進行實時控制,從而顯示了它的極大優(yōu)越性。概述(9/12)狀態(tài)空間分析法不僅適用于SISO線性定常系統(tǒng)13概述(10/12)本章主要介紹機理建模、各種數(shù)學(xué)模型間的變換和狀態(tài)空間(即狀態(tài)空間模型)變換。概述(10/12)本章主要介紹14概述(11/12)本章需解決的問題與難點:基本概念:狀態(tài)、狀態(tài)空間狀態(tài)空間模型--狀態(tài)空間模型及其意義如何建立狀態(tài)空間模型由機理出發(fā)由微分方程出發(fā)由傳遞函數(shù)出發(fā)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)狀態(tài)空間變換特征值、特征向量與特征空間狀態(tài)空間變換本章重點與難點本章重點本章重點概述(11/12)本章需解決的問題與難點:本章重點與難點本章15概述(12/12)傳遞函數(shù)陣組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型概述(12/12)傳遞函數(shù)陣16狀態(tài)和狀態(tài)空間模型(1/2)2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的,因此,對這些基本概念進行嚴格的定義和相應(yīng)的討論,必須準確掌握和深入理解。狀態(tài)狀態(tài)變量狀態(tài)空間狀態(tài)空間模型狀態(tài)和狀態(tài)空間模型(1/2)2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間模型17狀態(tài)空間的基本概念(1/1)2.1.1狀態(tài)空間的基本概念下面將給出動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)空間的概念,主要講授內(nèi)容為：系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量系統(tǒng)的狀態(tài)空間狀態(tài)空間的基本概念(1/1)2.1.1狀態(tài)空間的基本概念18系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(1/5)1.系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量動態(tài)(亦稱動力學(xué))系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在將來的運動狀況。正確理解“狀態(tài)”的定義與涵義,對掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要?！盃顟B(tài)”的定義如下。定義2-1

動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),是指能夠完全描述系統(tǒng)時間域動態(tài)行為的一個最小變量組。該變量組的每個變量稱為狀態(tài)變量。該最小變量組中狀態(tài)變量的個數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(1/5)1.系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量19系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(2/5)“狀態(tài)”定義的三要素完全描述。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時刻(t=t0)的值和初始時刻后(tt0)的輸入,則系統(tǒng)在任何瞬時(tt0)的行為,即系統(tǒng)的狀態(tài),就可完全且唯一的確定。動態(tài)時域行為。最小變量組。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨立的。減少變量,描述不全。增加則一定存在線性相關(guān)的變量,冗余的變量,毫無必要。要掌握喔!系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(2/5)“狀態(tài)”定義的三要素要掌握喔!20系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(3/5)若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小變量組必須由n個變量(即狀態(tài)變量)所組成,一般記這n個狀態(tài)變量為x1(t),x2(t),…,xn(t).若以這n個狀態(tài)變量為分量,構(gòu)成一個n維變量向量,則稱這個向量為狀態(tài)變量向量,簡稱為狀態(tài)向量,并可表示如下:圖2-1多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(3/5)若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小21系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(4/5)狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。它可以是能直接測量或觀測的量,也可以是不能直接測量或觀測的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,沒有實際物理量與之直接相對應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(4/5)狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性22狀態(tài)空間系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(5/5)狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合(濾波、優(yōu)化與控制等)時所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動態(tài)特性,并非系統(tǒng)的全部動態(tài)特性。因此,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律?？梢哉f輸出變量僅僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn),是狀態(tài)變量的輸出空間的投影,一個子集。輸出空間空間映射xy狀態(tài)空間系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(5/5)狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)23系統(tǒng)的狀態(tài)空間(1/1)2.系統(tǒng)的狀態(tài)空間若以n個狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標軸,就可構(gòu)成一個n維歐氏空間,并稱為n維狀態(tài)空間,記為Rn.狀態(tài)向量的端點在狀態(tài)空間中的位置,代表系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)。隨著時間的推移,狀態(tài)不斷地變化,tt0各瞬時的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡,它稱為狀態(tài)軌線。狀態(tài)軌線如圖2-2所示。圖2-2二維空間的狀態(tài)軌線系統(tǒng)的狀態(tài)空間(1/1)2.系統(tǒng)的狀態(tài)空間隨著時間的推移,24系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(1/11)2.1.2系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對系統(tǒng)進行分析和綜合的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間模型由描述系統(tǒng)的動態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方程所組成。下面以一個由電容、電感等儲能元件組成的二階RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例,說明狀態(tài)空間模型的建立和形式,然后再進行一般的討論。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(1/11)2.1.2系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型25系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(2/11)例

某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖2-3所示。試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入,電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型。解1.根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量所滿足的關(guān)系式。對本例,針對RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點電流關(guān)系,列出各電壓和電流所滿足的方程圖2-3例2-3的RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(2/11)例某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖2-26系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(3/11)2.選擇狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)為獨立一階儲能元件(如電感和電容)的個數(shù)。對本例x1(t)=iL,x2(t)=uC3.將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組--狀態(tài)方程。每個狀態(tài)變量對應(yīng)一個一階微分方程,導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)為1,非導(dǎo)數(shù)項列寫在方程的右邊。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(3/11)2.選擇狀態(tài)變量。27系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(4/11)對本例,經(jīng)整理可得如下狀態(tài)方程寫成向量與矩陣形式為：4.列寫描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。對本例系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(4/11)對本例,經(jīng)整理可得如下狀態(tài)方程28系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(5/11)其中5.將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(5/11)其中5.將上述狀態(tài)方程和輸出29系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(6/11)由上述例子,可總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為其中x為n維的狀態(tài)向量;u為r維的輸入向量;y為m維的輸出向量;A為nn維的系統(tǒng)矩陣;B為nr維的輸入矩陣;C為mn維的輸出矩陣;D為mr維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣,直接轉(zhuǎn)移矩陣)。描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型,切記!系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(6/11)由上述例子,可總結(jié)出狀態(tài)空間模30系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(7/11)對前面引入的狀態(tài)空間模型的意義,有如下討論:狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性,其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況,它主要決定系統(tǒng)的動態(tài)特性。輸入矩陣B又稱為控制矩陣,它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對輸出的直接影響,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系,即直聯(lián)矩陣D=0。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(7/11)對前面引入的狀態(tài)空間模型的意義31系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(8/11)上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)。1.非線性時變系統(tǒng)其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時間t的非線性向量函數(shù)f(x,u,t)=[f1(x,u,t)

f2(x,u,t)…fn(x,u,t)]g(x,u,t)=[g1(x,u,t)

g2(x,u,t)…gm(x,u,t)]系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(8/11)上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間32系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(9/11)2.非線性系統(tǒng)其中f(x,u)和g(x,u)分別為n維和m維狀態(tài)x和輸入u的非線性向量函數(shù)。這些非線性函數(shù)中不顯含時間t,即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時間變化而變化