復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌第一章剖析課件

復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌

作者：王興元

復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌1第一章緒論1.1混沌理論的產(chǎn)生與發(fā)展1.2混沌理論對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的作用和影響1.3混沌的研究工具與研究方法1.4混沌研究的現(xiàn)狀與展望1.5本書(shū)研究的基本特征第一章緒論1.1混沌理論的產(chǎn)生與發(fā)展2非線性混沌與分形理論的基本思想起源于20世紀(jì)初，發(fā)生于20世紀(jì)60年代后，發(fā)展壯大于20世紀(jì)80年代。這一理論揭示了有序與無(wú)序的統(tǒng)一、確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一，并成為正確的宇宙觀和自然哲學(xué)的里程碑?；煦缗c分形理論被認(rèn)為是繼相對(duì)論、量子力學(xué)，20世紀(jì)人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界和改造世界的最富有創(chuàng)造性的科學(xué)領(lǐng)域的第三次大革命。1.1混沌理論的產(chǎn)生與發(fā)展1.1混沌理論的產(chǎn)生與發(fā)展31.1.1混沌理論的產(chǎn)生混沌最初進(jìn)入科學(xué)是與以精確著稱(chēng)的數(shù)理科學(xué)無(wú)緣的，混沌主要來(lái)源于神話(huà)傳說(shuō)與哲學(xué)思辨。在現(xiàn)代，混沌被賦予了新的涵義，混沌是指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的類(lèi)似隨機(jī)的過(guò)程，其來(lái)自非線性。混沌的理論基礎(chǔ)可追溯到19世紀(jì)末創(chuàng)立的定性理論，但真正得到發(fā)展是在20世紀(jì)70年代，現(xiàn)在方興未艾。18世紀(jì)，Laplace：“如果已知宇宙中每一粒子的位置與速度，那么就可以預(yù)測(cè)宇宙在整個(gè)未來(lái)中的狀況”。“混沌者，言萬(wàn)物相混成而未相離”(《易經(jīng)》)，“窈窈冥冥”、“昏昏默默”(《莊子》)1.1.1混沌理論的產(chǎn)生混沌最初進(jìn)入4Einstein（愛(ài)因斯坦）也曾表態(tài)說(shuō)：“我無(wú)論如何深信上帝不是在擲骰子”。19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們發(fā)現(xiàn)，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)并不遵守Newton力學(xué)的規(guī)律，在微觀世界中應(yīng)當(dāng)用量子力學(xué)的薛定諤方程來(lái)代替Newton力學(xué)方程。20世紀(jì)后半葉，物理學(xué)在非線性方面所取得了兩大進(jìn)展：非平衡物理學(xué)和始于混沌概念的不穩(wěn)定系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，使Newton力學(xué)受到了更大的沖擊。非平衡物理學(xué)研究遠(yuǎn)離平衡態(tài)的系統(tǒng)，這門(mén)新學(xué)科產(chǎn)生了諸如自組織和耗散結(jié)構(gòu)這樣一些概念，它們描述了單項(xiàng)時(shí)間效應(yīng)，即不可逆性。經(jīng)典科學(xué)強(qiáng)調(diào)有序和穩(wěn)定性，以Newton理論為代表的近代科學(xué)創(chuàng)造了一種能夠精確刻劃必然性或確定性的方法。然而人們?cè)谘芯糠蔷€性系統(tǒng)時(shí)卻發(fā)現(xiàn)了分岔、突變、混沌等現(xiàn)象。Einstein（愛(ài)因斯坦）也曾表態(tài)說(shuō)：“我無(wú)論如何深信上帝51.1.2混沌理論的發(fā)展過(guò)程Poincare猜想。三體問(wèn)題中，在一定范圍內(nèi)，其解是隨機(jī)的。一種保守系統(tǒng)中的混沌，世界上最先了解混沌存在的可能性的第一人。經(jīng)典牛頓理論用一層厚實(shí)而不易覺(jué)察的帷幕把混沌現(xiàn)象這塊豐饒的寶地給隔開(kāi)了，但Poincare在這道帷幕上撕開(kāi)一條縫，暴露出后面未開(kāi)發(fā)“西部世界”。1963年美國(guó)數(shù)學(xué)家E.N.Lorenz的在美國(guó)《大氣科學(xué)雜志》上發(fā)表的文章“確定性的非周期流”：Lorenz用計(jì)算機(jī)模擬天氣情況，他發(fā)現(xiàn)了天氣變化的非周期性和不可預(yù)言性之間的聯(lián)系。在他的天氣模型中，Lorenz看到了比隨機(jī)性更多的東西，看到了一種細(xì)致的幾何結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)了天氣演變對(duì)初值的敏感依賴(lài)性。提出“蝴蝶效應(yīng)”。1964年，M.Henon等人以KAM理論為背景，發(fā)現(xiàn)了1個(gè)二維不可積Hamilton系統(tǒng)中的確定性隨機(jī)行為，即Henon吸引子。D.Ruelle和F.Takens提出“奇怪吸引子”Strangeattractor的名詞。1.1.2混沌理論的發(fā)展過(guò)程Poincare猜想。三體6美國(guó)數(shù)學(xué)家Smale發(fā)明了被稱(chēng)做“馬蹄”的一種結(jié)構(gòu)，可比喻為在一團(tuán)橡皮泥上任意取兩點(diǎn)，然后把橡皮泥拉長(zhǎng)，再折疊回來(lái)，不斷地拉長(zhǎng)、折疊，使之錯(cuò)綜復(fù)雜的自我嵌套起來(lái)。1975年，T.Y.Li（李天巖）和J.A.York提出“周期3蘊(yùn)含混沌”的思想，被認(rèn)為是混沌的第一次正式表述，Chaos一詞也自此正式使用。美國(guó)數(shù)學(xué)家Smale發(fā)明了被稱(chēng)做“馬蹄”的一種結(jié)構(gòu)，可比喻為7現(xiàn)如今，混沌已成為各學(xué)科競(jìng)相注意的一個(gè)學(xué)術(shù)熱點(diǎn)。確定性系統(tǒng)的混沌使人們看到了普遍存在于自然界而人們多年來(lái)視而不見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)形式?；煦鐭o(wú)所不在，它存在于大氣中，海洋湍流中，野生動(dòng)植物種群數(shù)的漲落中，風(fēng)中飄拂的旗幟中，水流繚亂的旋渦中，心臟和大腦的振動(dòng)中，還有秋千、擺鐘、血管、嫩芽、卷須、雪花……世界是混沌的，混沌遍世界！目前，許多科學(xué)家都在利用非線性動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)研究混沌運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)如今，混沌已成為各學(xué)科競(jìng)相注意的一個(gè)學(xué)術(shù)熱點(diǎn)。確定性系統(tǒng)的81.1.3混沌研究的意義與發(fā)展前景混沌不同于宇宙早期熱力學(xué)平衡態(tài)的混沌，它是有序和無(wú)序的對(duì)立統(tǒng)一，既有復(fù)雜性的一面，又有規(guī)律性的一面。混沌科學(xué)最熱心的倡導(dǎo)者、美國(guó)海軍部官員Shlesinger說(shuō)：“20世紀(jì)科學(xué)將永遠(yuǎn)銘記的只有三件事：相對(duì)論、量子力學(xué)與混沌。”物理學(xué)家Ford認(rèn)為混沌是20世紀(jì)物理學(xué)第三次最大的革命，與前兩次革命相似，混沌也與相對(duì)論及量子力學(xué)一樣沖破了牛頓力學(xué)的教規(guī)?；煦鐚W(xué)改變了科學(xué)世界的圖景，認(rèn)為世界是一個(gè)有序與無(wú)序的統(tǒng)一、確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一、1.1.3混沌研究的意義與發(fā)展前景混沌不同于宇宙早期熱力9簡(jiǎn)單性與復(fù)雜性的統(tǒng)一、穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性的統(tǒng)一、完全性與不完全性的統(tǒng)一、自相似性與非相似性的統(tǒng)一的世界?；煦邕\(yùn)動(dòng)產(chǎn)生出各種巧奪天工的圖形，成功模擬和創(chuàng)造出足以亂真的“實(shí)景”，獲得意想不到的結(jié)果。對(duì)簡(jiǎn)單、純一、和諧的有序性美和靜態(tài)美的追求被多樣性美、奇異性美、復(fù)雜性美和動(dòng)態(tài)美所取代，這就是混沌美?；煦缪芯康闹匾攸c(diǎn)就是跨越了學(xué)科界限。混沌學(xué)的普適性、標(biāo)度律、自相似性、分形、奇怪吸引子、重整化群等概念和方法，正超越原來(lái)數(shù)理學(xué)科的狹窄背景，走進(jìn)化學(xué)、生物學(xué)、地學(xué)、醫(yī)學(xué)及至社會(huì)科學(xué)的廣闊天地。簡(jiǎn)單性與復(fù)雜性的統(tǒng)一、穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性的統(tǒng)一、完全性與不完全101.1.4分形理論的產(chǎn)生與發(fā)展另外，混沌的出現(xiàn)與“分岔”緊密相關(guān)，混沌集又常常具有分?jǐn)?shù)維特征，所以也與“分形”有關(guān)。分形理論是非線性科學(xué)研究中十分活躍的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不光滑和不規(guī)則的幾何形體。分形理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是分形幾何?；煦缂哂蟹?jǐn)?shù)維特征，與“分形”有關(guān)。1975年Mandelbrot出版了杰作《分形對(duì)象——形、機(jī)遇和維數(shù)》、《分形——形、機(jī)遇和維數(shù)》、《大自然的分形幾何學(xué)》專(zhuān)著。第一次系統(tǒng)闡述了分形幾何的思想、內(nèi)容、意義和方法。標(biāo)志著分形幾何作為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科正式誕生。1.1.4分形理論的產(chǎn)生與發(fā)展另外，混沌的出現(xiàn)與“分岔”11經(jīng)濟(jì)模式中高低收入的分布圖與利塔沃經(jīng)濟(jì)中心大廈黑板上棉花價(jià)格變動(dòng)圖一樣?！坝?guó)的海岸線有多長(zhǎng)”的問(wèn)題：任何一段海岸線都是無(wú)限長(zhǎng)的。雖然一條曲折的海岸線長(zhǎng)度不能精確測(cè)量，但它卻有某種特征量，就是分形所揭示的分?jǐn)?shù)維數(shù)，可以對(duì)分形對(duì)象內(nèi)部的不均勻性、層次結(jié)構(gòu)性的整體數(shù)量特征進(jìn)行刻畫(huà)。分形的意義在于摸索自相似，自相似是跨越不同尺度的對(duì)稱(chēng)性，圖案之中套圖案。經(jīng)濟(jì)模式中高低收入的分布圖與利塔沃經(jīng)濟(jì)中心121.2混沌理論對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的作用和影響混沌運(yùn)動(dòng)是存在于自然界中的一種普遍運(yùn)動(dòng)形式，所以非線性科學(xué)的研究不僅推動(dòng)了其它學(xué)科的發(fā)展，而且正在改變整個(gè)現(xiàn)代知識(shí)體系。而動(dòng)力系統(tǒng)、分岔和奇怪吸引子理論方法的發(fā)展也已超越原來(lái)數(shù)學(xué)的界限，廣泛應(yīng)用于振動(dòng)、自動(dòng)控制、系統(tǒng)工程、機(jī)械工程等部門(mén)非線性問(wèn)題的研究，并對(duì)經(jīng)典力學(xué)、物理學(xué)、固體力學(xué)、流體力學(xué)（為解決湍流問(wèn)題帶來(lái)了希望）、化學(xué)工程、生態(tài)學(xué)和生物醫(yī)學(xué)，乃至一些社會(huì)科學(xué)部門(mén)的研究和發(fā)展都產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。同時(shí)，科學(xué)實(shí)踐的進(jìn)一步深化反過(guò)來(lái)又促進(jìn)非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)理論的縱深發(fā)展。1.2混沌理論對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的作用和影響混沌運(yùn)動(dòng)是存在于自然13混沌分形理論已經(jīng)與計(jì)算機(jī)科學(xué)理論等領(lǐng)域相結(jié)合，這種結(jié)合使人們對(duì)久懸未解的基本難題的研究取得突破性進(jìn)展，在探索、描述及研究客觀世界的復(fù)雜性方面發(fā)揮了巨大作用?；煦缯撛诖_定論和隨機(jī)論之間架起一座橋梁。在某些情況下它反而是組織結(jié)構(gòu)和高度有序的表現(xiàn)，是系統(tǒng)進(jìn)化和產(chǎn)生信息之源。這些都將對(duì)人們的科學(xué)觀和方法論產(chǎn)生重大影響，為人們認(rèn)識(shí)世界、改造世界提供了有力的武器。

分形與混沌動(dòng)力系統(tǒng)理論進(jìn)一步豐富和深化了唯物辯證法關(guān)于普遍聯(lián)系和世界統(tǒng)一性原理。分形論從一個(gè)特定層面直接揭示了宇宙的統(tǒng)一圖景，混沌分形理論已經(jīng)與計(jì)算機(jī)科學(xué)理論等領(lǐng)域相結(jié)合，這種結(jié)合使人們14而分形與動(dòng)力系統(tǒng)可以共同對(duì)世界物質(zhì)統(tǒng)一性從時(shí)態(tài)與歷時(shí)性?xún)蓚€(gè)維度上展開(kāi)說(shuō)明：動(dòng)力系統(tǒng)理論說(shuō)明，自然界中蘊(yùn)含著歷史的演化與嬗變的信息；另一方面，分形元于分形系統(tǒng)之間普遍的信息同構(gòu)關(guān)系編織了一張世界統(tǒng)一的網(wǎng)絡(luò)。過(guò)去20多年來(lái)人們對(duì)確定性混沌和分形的研究不僅對(duì)整個(gè)自然科學(xué)而且對(duì)哲學(xué)體系也帶來(lái)了巨大的沖擊?？赡艹蔀楫a(chǎn)生變革的持久動(dòng)力，無(wú)疑將在人類(lèi)探索自然的實(shí)踐中起著開(kāi)闊眼界、解放思想的作用。

而分形與動(dòng)力系統(tǒng)可以共同對(duì)世界物質(zhì)統(tǒng)一性從時(shí)態(tài)與歷時(shí)性151.3混沌的研究工具與研究方法分析復(fù)雜的非線性系統(tǒng)可用在相空間觀察其軌道的方法。所謂相空間就是由所要研究的物理量本身作為坐標(biāo)分量所構(gòu)成的廣義空間，系統(tǒng)的任意狀態(tài)相當(dāng)于相空間中的一個(gè)代表點(diǎn)，系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間變化過(guò)程對(duì)應(yīng)于代表點(diǎn)在相空間中的變化。因?yàn)楦鞲壍酪话阒粚?duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的性態(tài)提供很少信息，較好的辦法是觀察許多根軌道。如果系統(tǒng)的性態(tài)是規(guī)則的，在某些情況下，也可由相圖得到有價(jià)值的啟示。

為了能夠區(qū)別不同的吸引子，將討論特征標(biāo)志和相應(yīng)的研究方法。特別適用的是以下研究方法：1.3混沌的研究工具與研究方法分析復(fù)雜的非線性系統(tǒng)可用16（1）多半由連續(xù)系統(tǒng)的一個(gè)時(shí)間離散化出發(fā)得到點(diǎn)映射；容易把規(guī)則性態(tài)與混沌性態(tài)相區(qū)分；奇怪吸引子以點(diǎn)映射的Cantor集結(jié)構(gòu)為其特征。（2）各個(gè)時(shí)間測(cè)量序列的功率譜容易由Fourier變換來(lái)確定。周期性態(tài)和擬周期性態(tài)以離散功率譜為特征，混沌性態(tài)以連續(xù)功率譜表征。（3）Lyapunov指數(shù)描述了相鄰軌道的收斂性態(tài)或發(fā)散性態(tài)。適用于對(duì)平常吸引子或奇怪吸引子的研究。如果不出現(xiàn)正的指數(shù)，我們就有一個(gè)平常吸引子。（4）維數(shù)是一個(gè)經(jīng)典的區(qū)分標(biāo)志。為了使之對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)有意義，把維數(shù)的概念在概率論的意義上加以推廣。對(duì)于平常吸引子，維數(shù)取整數(shù)值。（5）在動(dòng)力學(xué)中，對(duì)熵是從信息論的意義上理解的。熵對(duì)從相空間一個(gè)小區(qū)域出發(fā)的系統(tǒng)性態(tài)作出短期預(yù)測(cè)。熵取正值是混沌系統(tǒng)的特征。（1）多半由連續(xù)系統(tǒng)的一個(gè)時(shí)間離散化出發(fā)得到點(diǎn)映射；容易把規(guī)171.4混沌研究的現(xiàn)狀與展望對(duì)于混沌研究的發(fā)展方向及面臨的重大突破，我國(guó)著名物理學(xué)家郝柏林院士曾提出了一些很有遠(yuǎn)見(jiàn)的看法：（1）湍流問(wèn)題仍然是對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的挑戰(zhàn)。（2）以往研究混沌多屬長(zhǎng)時(shí)間的漸遠(yuǎn)行為，然而過(guò)渡過(guò)程可能更為重要和豐富多彩。（3）混沌運(yùn)動(dòng)本身應(yīng)有進(jìn)一步的分類(lèi)，奇怪吸引子也會(huì)有不同的奇怪程度。1.4混沌研究的現(xiàn)狀與展望對(duì)于混沌研究的發(fā)展方向及面臨的18（4）具體的非線性模型的數(shù)值研究應(yīng)轉(zhuǎn)向分岔和混沌的“譜”，即參數(shù)空間的整體結(jié)構(gòu)，輔以對(duì)各種吸引子及其轉(zhuǎn)變的定量和唯象分析。（5）混沌研究要各門(mén)學(xué)科的合成。

（4）具體的非線性模型的數(shù)值研究應(yīng)轉(zhuǎn)向分岔和混沌的“譜”，即191.5本書(shū)研究的基本特征

1.5.1本書(shū)研究的目標(biāo)、內(nèi)容和擬解決的關(guān)鍵問(wèn)題本書(shū)選取了復(fù)雜非線性系統(tǒng)，如心臟系統(tǒng)、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)常微分方程組、二維非線性映射等，中的混沌現(xiàn)象為突破口，進(jìn)行了以下較為深入研究：(1)心電圖的定量測(cè)定表明，正常的和病態(tài)的心臟都有其突出而顯著的動(dòng)力學(xué)特征。(2)利用Lyapunov指數(shù)作判據(jù)，構(gòu)造了三層前饋神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的奇怪吸引子，分析了奇怪吸引子的運(yùn)動(dòng)特征并計(jì)算了奇怪吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)。(3)利用Lyapunov指數(shù)作判據(jù)，通過(guò)坐標(biāo)變換，構(gòu)造了1.5本書(shū)研究的基本特征

1.5.1本書(shū)研究的目20廣義Lorenz方程和廣義Rssler方程具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性的奇怪吸引子，分析了奇怪吸引子的運(yùn)動(dòng)特征并計(jì)算了奇怪吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)。(4)探討了構(gòu)造三維奇怪吸引子透視圖的方法；并利用計(jì)算機(jī)繪制了某一三維非線性映射的奇怪吸引子的一系列透視圖；通過(guò)對(duì)奇怪吸引子的觀察，論述了混沌運(yùn)動(dòng)的奇異特征(5)探討了二維Logistic映射從規(guī)則運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化到混沌運(yùn)動(dòng)具有的普適特征；一般二維二次映射不動(dòng)點(diǎn)具有的性質(zhì)；其在參數(shù)空間中一般二維二次映射發(fā)生第一次分岔的邊界方程；構(gòu)造普通二維映射的奇怪吸引子并計(jì)算它的分維數(shù)。廣義Lorenz方程和廣義Rssler方程具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)21

(6)作為闡明混沌理論的一個(gè)經(jīng)典例子——Logistic映射，本書(shū)探討了其圖形與吸引子之間的聯(lián)系；并由一維可觀察量計(jì)算系統(tǒng)混沌定量判據(jù)的方法，計(jì)算了吸引子的Lyapunov指數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)。(6)作為闡明混沌理論的一個(gè)經(jīng)典例子——Logistic映221.5.2本書(shū)研究采用的方法及技術(shù)路線(1)我們實(shí)施了用于心臟系統(tǒng)非線性研究的犬的PHCA實(shí)驗(yàn)。(2)作者構(gòu)造了該神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的奇怪吸引子，并分析了奇怪吸引子的運(yùn)動(dòng)特征并計(jì)算了奇怪吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)。(3)利用坐標(biāo)變換與調(diào)色板技術(shù)構(gòu)造三維奇怪吸引子。(4)具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的透視圖。(5)本書(shū)分別采用相圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖來(lái)研究當(dāng)控制參數(shù)變化時(shí)二維Logistic映通往混沌的道路。1.5.2本書(shū)研究采用的方法及技術(shù)路線(1)我們實(shí)施了用