2023年新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微01 函數(shù)與導數(shù)（數(shù)學文化）（解析版）

專題01函數(shù)與導數(shù)(數(shù)學文化)

一、單選題

1.(2022春?遼寧沈陽?高二校聯(lián)考期末)在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點

定理，它可應用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點定理的基石，布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學家魯

伊茲?布勞威爾(L.E.J.Brouwer),簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)”外存在一個點陶，使得

/(x0)=x0,那么我們稱該函數(shù)為“不動點函數(shù)”，下列為“不動點函數(shù)”的是()

A.f(x)=2x+xB.f(x)=x2-x+3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意逐個解方程判斷即可

【詳解】解：對于A,由〃x)=x,得2、+x=x,即2'=0,方程無解，所以A不符合題意，

對于B,由〃x)=x,得/_x+3=x，即/+3=0,方程無解，所以B不符合題意，

對于C,由/(x)=x,得當xVl時，2x2-l=x,即2X2-X-1=0,解得x=l或》=-；，所以此函數(shù)為“不動

點函數(shù)”，所以C正確，

對于D,由/(x)=x,W-+2x=x,BPx2+l=0,方程無解，所以D不符合題意，，

X

故選：C

2.(2023?高一單元測試)上高中的小黑為弟弟解答《九章算術》中的一個題目：今有田，廣15步，縱16

步，此田面積有多少畝？翻譯為：一塊田地，寬15步，長16步，則這塊田有多少畝？小黑忘記了畝與平

方步之間的換算關系，只記得一畝約在200—250平方步之間，則這塊田地的畝數(shù)是()

3

A.vB.1C.-D.2

22

【答案】B

-246

【分析】先求出總的面積為240(平方步)，再轉(zhuǎn)化為畝數(shù)為—之間，對照四個選項，即可得到正確答

案.

【詳解】總的面積為15*16=240(平方步).

■2402401F246

因為?畝約在200—250平方步之間，所以轉(zhuǎn)化為畝數(shù)為之間，即—之間，對照四個選項,

只有B正確.

故選：B

3.（2021秋?高一課時練習）圓的內(nèi)接正方形的邊長與圓的半徑的比例稱為白銀比例，它在東方文化中的重

要程度不亞于西方文化中的“黃金比例''.山西應縣釋迦塔（即著名的應縣木塔），是中國現(xiàn)存較為古老的木

構(gòu)塔式建筑.該木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比與白銀比例高度吻合.已知木塔頂層檐柱

柱頭以下部分的高度為46.83米，則應縣木塔的總高度大約是（）（參考數(shù)據(jù)：V2.1,414）

A.60.22米B.63.23米

C.66.22米D.70.50米

【答案】C

【分析】由題意，木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比為夜，又1.4（收<1.5,可估計

【詳解】設正方形的邊長為圓的半徑為「，

則a=>/2r>

易知白銀比例為

因為46x1.4=64.40,47x1.5=70.50,

所以64.40<46.83x0<70.50，故排除A,B,D.

故選：C

4.（2022秋?江蘇揚州?高一揚州中學?？茧A段練習）國棋起源于中國，春秋戰(zhàn)國時期已有記載，隋唐時經(jīng)朝

鮮傳入日本，后流傳到歐美各國.圍棋蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵，它是中國文化與文明的體現(xiàn).圍棋使用方

形格狀棋盤及黑白二色圓形棋子進行對弈，棋盤上有縱橫各19條線段形成361個交叉點，棋子走在交叉點

上，雙方交替行棋，落子后不能移動，以圍地多者為勝.圍棋狀態(tài)空間的復雜度上限為P=3361據(jù)資料顯示

宇宙中可觀測物質(zhì)原子總數(shù)約為。=10“，則下列數(shù)中最接近數(shù)值看的是（）（參考數(shù)據(jù)：lg3*0.477）

A.1089B.IO90C.109'D.1092

【答案】D

【分析】利用對數(shù)的運算法則計算lg3刈后可得.

p

【詳解】lg3361=3611g3?361x0.477=172.197,lg-=lgP-lg0?172.197-80=92.197,

因此，接近于1（）92.

故選：D.

5.（2021秋?江蘇?高一專題練習）據(jù)中國地震臺網(wǎng)測定，2021年9月16日4時33分，四川省瀘州市瀘縣

發(fā)生里氏6.0級地震.已知地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級”之間的關系為

lgE=4.8+I.5例.據(jù)此測算，2021年3月20日17時09分在日本本州東岸近海發(fā)生的7.0級地震所釋放出的

能量，約是該次瀘縣地震所釋放出來的能量的多少倍？（精確到1；參考數(shù)據(jù)：V10?3.16）（）

A.19B.23C.32D.41

【答案】C

【分析】利用指對數(shù)的互化可得分別求兩次地震的能量，再應用指數(shù)的運算性質(zhì)求地震能量的倍數(shù).

【詳解】由題設，四川省瀘州市瀘縣發(fā)生里氏6.0級地震的能量為E=l（）4M5x6=[0l3.8,

日本本州東岸近海發(fā)生的7.0級地震的能量為￡=1（）48+⑶7=]鏟3,

.\^-=102=（＞/10）3?3.163?32.

故選：C

6.（2022秋?四川成都?高三?？奸_學考試）美國生物學家和人口統(tǒng)計學家雷蒙德?皮爾提出一種能較好地描

述生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡化為

s

/（幻=干p尸（尸＞0,?＞1,左＜0）的形式.已知/（x）=4^（xeN）描述的是一種果樹的高度隨著時間

x（單位：年）變化的規(guī)律，若剛栽種時該果樹的高為1m,經(jīng)過一年，該果樹的高為2.5m,則該果樹的高度

超過4.8m,至少需要（）

附：log23a.585

A.3年B.4年C.5年D.6年

【答案】B

【分析】首先根據(jù)已知條件求出“幻,然后求不等式根”）＞4.8即可.

【詳解】由題意可知，

八。）=*"7

/（1）=—^=2.5'=2

[1+2*+"

故/（x）=W^，

由〃x）=]+；2r+2>48,WWx>|+ylog23?3.3,

故該果樹的高度超過4.8m,至少需要4年.

故選：B.

7.（2021秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習）開普勒”?Kep/”,1571~1630）,德國天文學家、數(shù)學家，他發(fā)現(xiàn)了

八大行星與海王星的運動規(guī)律：它們公轉(zhuǎn)時間的平方與離太陽平均距離的立方成正比，已知天王星離太陽

的平均距離是土星離太陽平均距離的2倍，土星的公轉(zhuǎn)時間約為107534,則天王星的公轉(zhuǎn)時間約為（）

A.3802"B.30409/C.60818/D.91228"

【答案】B

【分析】設天王星和土星的公轉(zhuǎn)時間為分別為7和F.距離太陽的平均距離為r和/,根據(jù)」,廠=2/,

結(jié)合已知條件即可求解.

【詳解】設天王星的公轉(zhuǎn)時間為T,距離太陽的平均距離為，

土星的公轉(zhuǎn)時間為F，距離太陽的平均距離為，，

由題意知：r=1r,F=107534,

所以g=《=[=]=8,

V-r'3”

所以T=272F=2y[2x]0753?10753x2.828=30409.484。，

故選：B.

8.（2021秋?廣東東莞?高一?？茧A段練習）中國古代十進制的算籌計數(shù)法在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造.

據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年，算籌計數(shù)的方法是：個位、百位、萬位……的數(shù)按縱式的

數(shù)碼擺出：十位、千位、十萬位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如7738可用算籌表示

123456789

縱式IIIIIIIlliHillTK

橫式_=三三三±±XX

1-9這9個數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則圖片n=fBi表示的結(jié)果和下列相同的是（）

A.34B.3%的C.812D.2log,26

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，判斷出表示的數(shù)字，然后考察各選項計算后的值是否符合.

【詳解】根據(jù)題意，判斷出7=四表示的數(shù)字為729,

3'=81，不符合題意；3臉64=3‘=729,符合題意：8尸個位數(shù)字為1，不符合題意；210g?2,=2x6=12,不

符合題意.

故選：B

9.（2022秋?遼寧朝陽?高一建平縣實驗中學校考期中）中文“函數(shù)（function）”一詞，最早是由近代數(shù)學家

李善蘭翻譯出來的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即函數(shù)

指一個量隨著另一個量的變化而變化,下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（）

A./(x)=l,g(x)=x°B.J\x)=x(x￡R)與g(x)=X(XGZ)

C./(x)=|x|與g(x)=D.f(x)=y/x+2^y/x-2,g(x)=y/x2-4

-x,x<0

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合同一函數(shù)的意義逐一分析各選項即可判斷作答.

【詳解】對于A,函數(shù)/1）定義域是R,g（x）定義域是（F,0）U（0,+s）,A不是：

對于B,函數(shù)/（制定義域是R,g（x）定義域是Z,B不是；

對于C,函數(shù)〃x）=|x|=[X'X"°c定義域R,g（x）定義域是R,“X）與g（x）的對應法則相同，C是；

對于D,函數(shù)"X）定義域是定內(nèi)）,g（x）定義域是（7,-2]U[2,W）,D不是.

故選：C

10.（2022秋?山東煙臺?高三?？茧A段練習）質(zhì)數(shù)也叫素數(shù)，17世紀法國數(shù)學家馬林-梅森曾對"2"-1”（P

是素數(shù)）型素數(shù)進行過較系統(tǒng)而深入的研究，因此數(shù)學界將“2〃-l”（p是素數(shù)）形式的素數(shù)稱為梅森素數(shù).已

N

知第12個梅森素數(shù)為"=2⑵-1，第14個梅森素數(shù)為N=22-1,則下列各數(shù)中與「最接近的數(shù)為（）

參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010

A.IO140B.10142C.10144D.10*

【答案】C

【分析】近似化簡三N，結(jié)合對數(shù)運算求得正確答案.

607607

N7_17480

【詳解】—=^7-1?|iF=2,令2知=左，兩邊同時取常用對數(shù)得1g2"。=lgK

：.lg^=480xlg2?144.48,/.k?IO144-48，結(jié)合選項知與/最接近的數(shù)為IO'44.

故選:C

11.（2022?貴州貴陽?高三貴陽一中?？茧A段練習）辛亥革命發(fā)生在辛亥年，戊戌變法發(fā)生在戊戌年.辛亥年、

戊戌年這些都是我國古代的一種紀年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號叫天干；子、

丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個符號叫地支.按天干地支順序相組配用來紀年叫干支

紀年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即為“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即為“乙丑年”，以

此紀年法恰好六十年一循環(huán).那么下列干支紀年法紀年錯誤項是（）

A.庚子年B.丙卯年C.癸亥年D.戊申年

【答案】B

【分析】根據(jù)干支紀年法的規(guī)則判斷.

【詳解】干支紀年法中年份相當于第一排把10個天干按順序排列6次（共60個），第二排把12個地支排

列5次（共60個），然后上下組合成一個年份.所有年份如下表所示：

1-10甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉

11-20甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未

21-30甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳

31-40甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯

41-50甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑

51-60甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥

故B錯誤，

故選:B.

12.（2022秋?湖南懷化?高一統(tǒng)考期末）繆天榮（1914-2005）,浙江人，著名眼科專家、我國眼視光學的開

拓者.上世紀50年代，我國使用“國際標準視力表”檢測視力，采用“小數(shù)記錄法”記錄視力數(shù)據(jù)，繆天榮發(fā)現(xiàn)

其中存在不少缺陷.經(jīng)過3年苦心研究，1958年，他成功研制出“對數(shù)視力表”及“5分記錄法”.這是一種既符

合視力生理又便于統(tǒng)計和計算的視力檢測系統(tǒng),使中國的眼視光學研究站在了世界的巔峰.“5分記錄法”將視

力工和視角a（單位：，）設定為對數(shù)關系：A=5-lgc.如圖，標準對數(shù)視力表中最大視標￡的視角為101

則對應的視力為A=5-lglO=4.0.若小明能看清的某行視標E的大小是最大視標E的!（相應的視角為

4

2.5'）,取lg2=0.3,則其視力用“5分記錄法”記錄（）

標準對數(shù)視力表

E

sm

EUJ

UEm

SEUJ

A.3.6B.4.3C.4.6D.4.7

【答案】C

【分析】將a=2.5代入￡=5-lga,求出乙的值，即可得解.

【詳解】將＜/=2.5代入函數(shù)解析式可得￡=5-但2.5=5-愴￥=5-愴10+愴4=4+2愴2土4.6.

4

故選：C.

13.（2022?全國?高三專題練習）瑞典著名物理化學家阿倫尼烏斯通過大量實驗獲得了化學反應速率常數(shù)隨

溫度變化的實測數(shù)據(jù)，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：其中4為反應速率常

數(shù)，R為摩爾氣體常量，7為熱力學溫度，均為反應活化能，力（彳＞。）為阿倫尼烏斯常數(shù).對于某一化學反

應，若熱力學溫度分別為Z和石時，反應速率常數(shù)分別為勺和與（此過程中R與g的值保持不變），經(jīng)計算

Ek

f=M,若7；=21,則ln,=（）

z\/1K2

Mi—

A.—B.MC.\/MD.2M

【答案】A

【分析】先由題意表示出占和左2,再由指數(shù)運算求出/=”一,最后由對數(shù)運算求解即可.

A/

EaEuEuMk.Jeyk-M

【詳解】由題意知：%|=人項=人"4=及不=公”，=/￡，4='則1喧=1吐=萬.

故選：A.

14.（2023?全國?高三專題練習）隨著社會的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得

頻繁，這對信息技術的要求越來越高，無線電波的技術也越來越成熟.其中電磁波在空間中自由傳播時能

量損耗滿足傳輸公式：A=32.44+20lgD+201gF,其中。為傳輸距離，單位是km,尸為載波頻率，單位

是MHz,L為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB.若載波頻率增加了I倍，傳輸損耗增加了18dB,則傳輸

距離增加了約（參考數(shù)據(jù)：吆2々0.3,lg4?0.6）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

【答案】C

【分析】由題，由前后兩傳輸公式做差，結(jié)合題設數(shù)量關系及對數(shù)運算，即可得出結(jié)果

【詳解】設〃是變化后的傳輸損耗，尸是變化后的載波頻率，W是變化后的傳輸距離，則=L+18,F=2F,

18=L,-￡=201g￡>,+201gF-201gZ）-20lgF=201g—+201g—,WJ201g—=18-20lg2?12,即

DFD

D'

lg—^0.6?lg4,從而0=4。，即傳輸距離增加了約3倍，

故選：C.

15.（2022?遼寧?撫順市第二中學校聯(lián)考三模）一熱水放在常溫環(huán)境下經(jīng)過f分鐘后的溫度7將合公式：

T-T=[^（T.-T,y其中刀是環(huán)境溫度，又為熱水的初始溫度，人稱為半衰期.一杯85P的熱水，放置

在25笛的房間中，如果熱水降溫到55。（2,需要10分鐘，則一杯100%：的熱水放置在25七的房間中，欲降

溫到55。。大約需要多少分鐘？（）（lg2?0.3010,lg3?0.4771）

A.11.3B.13.2C.15.6D,17.1

【答案】B

【分析】依題意求出半衰期人再把〃的值代入利用換底公式計算，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，55-25=（芋（85-25）,即（1=g，解得〃=10,

.-.55-25=(gjo(100-25)，即出'°=!，

2lg52lg2-l2x0.3010-1

所以《=?1.322

1U7-0.3010

所以以13.2；

故選：B

16.（2022春?安徽宣城?高二安徽省宣城中學統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中

有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半,

問何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進一

尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇？這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將

墻的厚度改為10尺，則在第（）天墻才能被打穿？

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

22

【分析】設需要〃天時間才能打穿，結(jié)合題設列不等式并整理得2"-￡-920,令/(〃)=2"-最-9,利用

函數(shù)零點存在性定理及函數(shù)單調(diào)性即可求出結(jié)果.

2"_1

【詳解】解：設需要〃天時間才能打穿，則??；■+—^->10,

2-11-'

2

2

化簡并整理得2〃-如-9之0,

2?2

令/5)=2"-域-9,則〃3)=23-5-9<0；/(4)=24---9>0,

又“，”在口,+8)單調(diào)遞增，

.?.””>在(3,4)內(nèi)存在一個零點，

.?.至少需要4天時間才能打通.

故選：B.

17.(2022?陜西渭南?統(tǒng)考一模)中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：

C="bg2(l+三).它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬沙、信道內(nèi)信號的

平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小.其中三叫做信噪比，當信噪比較大時，公式中真數(shù)中的1可

以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬少，而將信噪比捻從1000提升至6000,則C的增長率為()

N

(lg2?0.3010,lg3?0.4771)

A.10%B.16%C.26%D.33%

【答案】C

【分析】根據(jù)所給公式、及對數(shù)的運算法則代入計算可得：

【詳解】解：當?shù)?1000時，C,log,1000,

N

9

當—二6000時，C,二〃log,6000,

N

.C2_iriog26000_lg6000_3+Ig2+lg3?3+0.3010+0.4771*126

_-

**-q-^log21000IglOOO3x3注.'

?,?C的增長率約為26%.

故選：C

18.（2022?高一課時練習）數(shù)學家歐拉曾得到這樣的結(jié)論：小于數(shù)字x的素數(shù)個數(shù)可以表示為無（切=六.根

據(jù)歐拉得出的結(jié)論，可估計10,以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為（）（注：素數(shù)即質(zhì)數(shù)，lge=0.4343）

A.2172B.4343C.869D.8686

【答案】D

【分析】根據(jù)所給函數(shù)代入，化簡求值即可.

【詳解】==^^-=2xl04xlge*2xl04x0.4343=8686.

\'InlO551nl0InlO

故選：D

19.（2022?全國?高三專題練習）中國古代十進位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造.據(jù)史

料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年，算籌記數(shù)的方法是：個位、百位、萬位…的數(shù)按縱式的數(shù)碼

擺出；十位、千位、十萬位…的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如7738可用算籌表示為］_口=

縱式：IlHImimuTn1

旦x

橫式：一—=三三三_L

123456789

1-9這9個數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如上圖所示，則3幅“的運算結(jié)果可用算籌表示為（）

a-II=IIIb-=L||=

c-W=TD-T=W

【答案】D

【分析】利用對指數(shù)運算算出3晦64的結(jié)果，再對照題中數(shù)碼即可得到結(jié)果.

【詳解】因為3喧64=3**=36=729,對照題中數(shù)碼，注意縱式與橫式，即可得到答案D.

故選：D.

20.（2022秋?河北邢臺?高一邢臺一中校考階段練習）17世紀，蘇格蘭數(shù)學加皮納爾在研究天文學過程中，

為了簡化大數(shù)運算，發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方、乘法運算轉(zhuǎn)化為乘法、加法運算，從而簡化

運算過程.數(shù)學家拉普朗斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”，現(xiàn)代物理學之

父伽利略評價”給我空間、時間及對數(shù)，我可以創(chuàng)造一個宇宙已知電2々0.3010,則2血所在的區(qū)間為（）

A.(10l0,1050)B.(1O29,1O30)C.(1O3O,1O31)D.(103l,1032)

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)、對數(shù)的運算公式進行求解即可.

【詳解】設21°°=/=＞愴2必=炮/=＞炮/=100吆2=＞尼/*30.1=＞，=10如，

故選：C

21.（2022秋?北京海淀?高三北大附中校考階段練習）成書于約兩千多年前的我國古代數(shù)學典籍《九章算術》

中記載了通過加減消元求解〃元一次方程組的算法，直到擁有超強算力計算機的今天，這仍然是一種效率極

高的算法.按照這種算法，求解〃元一次方程組大約需要對實系數(shù)進行C-〃3（C為給定常數(shù)）次計算.1949

年，經(jīng)濟學家萊昂提夫為研究“投入產(chǎn)出模型”（該工作后來獲得1973年諾貝爾經(jīng)濟學獎），利用當時的計算

機求解一個42元一次方程組，花了約56機時.事實上，他的原始模型包含500個未知數(shù)，受限于機器算力

而不得不進行化簡以減少未知數(shù).如果不進行化簡，根據(jù)未知數(shù)個數(shù)估計所需機時，結(jié)果最接近于（）

A.1（）3機時B.1（）4機時C.10$機時D.10。機時

【答案】C

【分析】設1機時能進行。次計算，由題意得。42,=56%設所需機時為,，得出C-500晨口,兩式相比，可得

t?鬻x56，化間計算可得答案.

【詳解】設1機時能進行a次計算，則由題意得C-423=56〃，

原始模型包含500個未知數(shù)，如果不進行化筒，設所需機時為f,

則C-500'xta，故C=50,,x56=5J2,=1250*]055so.94x10，,

42333X721323

故結(jié)果最接近于IO,機時，

故選:C

22.（2021秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期中）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是刀（℃）,空氣

的溫度是4（℃）,經(jīng)過f分鐘后物體的溫度T（°C）可由公式7=4+口-公屋矽求得把溫度是90%：的

物體，放在10。＜3的空氣中冷卻，分鐘后，物體的溫度是50。（2,那么f的值約等于（參考數(shù)據(jù)：ln3?1.10,

In2?0.69）（）

A.1.76B.2.76C.2.98D.4.40

【答案】B

【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)代入方程即可求得結(jié)果.

【詳解】由題可知：（=90,7；=10,7=50,

2S,2S,

代入方程7=4+([_4)e-°-得：50=10+(90-10)e-°,

即e42"=_l,兩邊取對數(shù)得：-0.25z=ln1=-ln2,

22

而In2a0.69,故-0.25/?-0.69>

解得：小2.76.

故選：B

23.(2021秋?陜西榆林?高一陜西省神木中學?？茧A段練習)中國清朝數(shù)學家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學》

中首次將譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此

為彼之函數(shù)已知集合加={-1,1,2,4},7={1,2,4,16},給出下列四個對應法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能

構(gòu)成從〃到N的函數(shù)的是()

A.y=2xB.y=x+2

C.y=2?D.y~x2—I

【答案】C

【分析】對ABD利用特殊值即可判斷；對C利用函數(shù)的定義逐一驗證即可.

【詳解】對于A,當x=-l時，y=-2iN,故A錯誤；

對于B,當x=l時，歹=1+2=3eN,故B錯誤；

對于C,當x=-l時，y=k"=2eN,

當x=l時，y=2hl=2eN,

當x=2時，y=22=4eN,

當x=4時，y=2椅=16eM,

即任取xeM,總有卜=2W€%，故C正確；

對于D中，當x=-l時，y=(-1)2-1=0eN,故D錯誤.

故選：C.

24.(2021秋?江蘇揚州?高三?？计谥?我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入

微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.在數(shù)學的學習和研究中我們常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，

X，—3x

也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征.函數(shù)/(X)=||、川的部分圖象大致為()

Ine-e

答.

3

x-3x/s

【詳解】由〃x)=InQe-，產(chǎn)le'-e-、快0且|e'-e-、快1,當|e、-ef|=O時，x=0,當時,

,V5+1

x=In-----，

2

于是得函數(shù)/(X)的定義域為(-00,111^1)匚,0)50,In2^1),+^,

結(jié)合定義域及圖象，選項A,D不正確；

rx

當0<x<ln」l里時，e'-e-、單調(diào)遞增，則0<e、-e-、<正里-一一=1,BPIn|e-e-|<0,而

22V5+1

x3-3x=x(x2-3)<0,

x3-3x

因此有/(x)=>0,顯然選項C不正確，選項B滿足.

]n*e]

故選：B

25.(2023?全國?高三專題練習)高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽,

用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設xeR,用㈤表示不超過x的最大整數(shù)，則了=［幻稱為高斯函數(shù)，也稱取整

函數(shù)，例如：-3.7]=-4,[2.3]=2.已知/*）=一一-則函數(shù)了=[/（創(chuàng)的值域為（）

e+12

A.{0}B.{-1,0}C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1}

【答案】B

【分析】利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為/（》）=-，+；,然后分析函數(shù)/（x）的值域，再根據(jù)高斯

函數(shù)的含義確定'=[/（力]的值域.

【詳解】/?=!->—1=-1----1--

22ev+l

I1C1111

???e'+l>l,---1<—;~-<0,—<------------<—

e+122，+12

/(x)<0,0?/(x)<,

??[/(刈=一1或0,

—=[/(》)]的值域為{-1,0}.

故選：B.

26.（2021?江蘇?高二專題練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為:型，比如：當xf0時,

吐1的極限即為[型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必

x0

達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：

p—(e,T

lim—-=lim=limL=lime*=e°=l，則哂—i—f)

10xx->0XDix->ofx—1

A.0B-7C.1D.2

【答案】B

判定當Xf1時，理B的極限即為:型，再利用給定法則計算即可得解.

【分析】

x2-l0

Y~InY0

【詳解】顯然，當Xf1時，孚2的極限即為，型，

X2-]0

2

g、ix2lnx(xInx)2x\nx+x..(1lnl+L-

所以：哂目=物=lim-------------=limInx+—

X->12xXTl222

x2-]

故選：B

27.（2022秋?河南駐馬店?高一?？计谥校┮獯罄嫾疫_?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下

自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題“，其中雙曲余弦函數(shù).就是一種特殊

的懸鏈線函數(shù).其函數(shù)表達式為coshx=￡士;，相應的雙曲正弦函數(shù)的表達式為sinhx=交土.設函數(shù)

22

y(x)=2學，若實數(shù)m滿足不等式/(2〃?+3)+〃-加2)>0,則m的取值范圍為()

coshx

A.(-1,3)B.(-3,1)

C.(-3,3)D.(-a?,-3)"1,+oo)

【答案】A

【分析】由題可判斷/(x)為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，所以不等式化為/(2冽+3)>/(〃『)，利用單調(diào)性

即可求解.

【詳解】由題意可知，/?(》)=J^的定義域為R,

.."(3=三5=一〃切，\/("為奇函數(shù)，

、pX-X2x_12/、2

v/(x)=---------=-------=1------，且g(x)=F―7在R上為減函數(shù),

e*+eTe2x+\e2x+1v7e2x+\

2

.??由復合函數(shù)的單調(diào)性可知/(x)=l3在R上為增函數(shù).

???/(2加+3)+/(-"/)>0,.?./(2加+3)>/(>),

/.m2-2m—3<0,-1<AW<3.

故選：A.

28.(2022?全國?高三專題練習)高斯是世界著名的數(shù)學家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”

命名的成果就多達110個，為數(shù)學家中之最.對于高斯函數(shù)y=[x],其中[可表示不超過X的最大整數(shù)，如

[1.7]=1,[-1.2]=-2,{x}表示實數(shù)x的非負純小數(shù)，即{x}=x-[x],如{1.7}=0.7,{-1.2]=0.8,若函數(shù)

y={x}-\+\ogax(4>0,且有且僅有3個不同的零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(2,3]B.[2,3)C.(3,4]D.[3,4)

【答案】D

【分析】將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為V=10&X的圖象與函數(shù)>=1-{》}的圖象有且僅有3個交點的問題，根據(jù)

高斯函數(shù)的定義，求出V=1-*}的解析式，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合即可得參數(shù)的取值范圍.

【詳解】函數(shù)N={x}-l+log.x有且僅有3個零點，

即的圖象與函數(shù)y=1-㈤的圖象有且僅有3個交點.

l-x,O<x<l

2-x,1<x<2

而y=l-{x}=l+[x]-x="3-x,2<x<3,

4-x,3<x<4

畫出函數(shù)、=1-任｝的圖象,

易知當0＜。＜1時，J=10gHX與y=l-｛x｝的圖象最多有1個交點，故a＞l,

log”3<1

作出函數(shù)y=kg,x的大致圖象，結(jié)合題意可得,\解得：3<a<4,

log?4>l

所以實數(shù)。的取值范圍是［3,4),

29.(2022?全國?高三專題練習)十八世紀，數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式

尸-72〃-1

sinx=x----+--------+—----其中“EN=XCR,若

3!5!7!(2//-1)!

鼻2&4鼻6鼻2〃-2

7=1-百+7?一”+…+(T尸石一+…，下列選項中與T的值最接近的是()

2!4!6!(2/1-2)!

A.-cos80B.-sin8°C.-cosl80D.-sin18°

【答案】A

【分析】已知式兩邊同時求導，然后令x=3代入，并結(jié)合角的變換，誘導公式變形可得.

戶丫57/"T

【詳解】因為sinx=x—±+±-L+…+(—I)”“(2/7-1)!+

3!5!7!

y-2y4V-62"2

所以cosx=i-二+土一二+---+(-ir———+…,

2!4!6!⑵-2)!

323，3‘^2n-2

令x=3得cos3=l-5+疝-&+…+(-1式訪而+...,

540°一

B|JT=cos3=cos(----)?cos172°=-cos8°.

71

故選:A.

30.（2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省丹陽高級中學校聯(lián)考階段練習）意大利著名天文學家伽利略曾錯誤地猜

測鏈條自然下垂時的形狀是拋物線.直到1690年，雅各布?伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數(shù)學

界征求答案.1691年他的弟弟約翰?伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的

XX

數(shù)學表達式為雙曲余弦型函數(shù)：〃x）=acosh'=a?巴亙（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.當。=2時，記p=/（-2）,

“，a2

用=/'（；）,?=/（1）>則p,m,”的大小關系為（）

A.加B.

n<tn<pp<m<n

【答案】B

【分析】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)得到函數(shù)Ax）在區(qū)間（0,m）上單調(diào)遞增，分析即得解

XX

【詳解】由題意知，/?（x）=“osh'=“?"*，

a2

當"=2時，/（x）=e2+e?

定義域為旦/（_工）=?2+”=/（、）

故/⑸為偶函數(shù)

e2+1e?-1

VI,￥

乂r（x）=;（—/+〃）=——d__z，

當x〉0時，/V）>0,即函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,”）上單調(diào)遞增

因為/（—2）=/（2）,

又所以即，〃<〃<p

故選：B

31.（2022?天津濱海新?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學?？寄M預測）我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形

時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖

象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個商標人人中抽象出一個

如圖所示的圖象，其對應的函數(shù)解析式可能是()

.”、sin6%cos6x

B./(x)=

L—L2X-2'X

「/.cos6xsin6x

/(x)=

C/(%)=1|--2-v-----2----vr|D.|2x-2'r|

【答案】C

【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值逐個分析判斷即可

【詳解】由圖象可知，函數(shù)圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，

對于A,/(-X)=黑=6：八=6；=/a),所以/(x)是偶函數(shù)，當》>0時;令/(x)=0,則

2-2-(2-2)2-2

k■rr-rrrr

sin6x=0,得x=—(ZwN),則當x>0時，函數(shù)的第一個零點為x=-,當0<%<二時，in6x>0,

666s

-2*<0,所以/(x)<o,所以A不合題意，

對于B,因為/(-幻=黑:)==_/(?),所以/(x)是奇函數(shù)，所以不合題意，

2—2——2)2—2

r,、cos(-6x)cos6xr,、

對于C,因為〃-x)=*_21=y-2-「/X)，所以〃x)是偶函數(shù)，當x>0時，令/(x)=0,則cos6x=0,

得x=A+等/6N),所以當x>0時，函數(shù)的第一個零點為x=2，當0<x<強時，cos6%>0,卜*-2一'|>0,

所以,f(x)>0,所以符合題意，

sin(-6x)_-sin6x_sin6x

對于D,因為/(-》)=\1-X-2X\~\2X-2'X\--|2x-2-x|*所以/(x)是奇函數(shù)，所以不合題意,

故選：C

32.（2022秋?福建廈門?高三廈門雙十中學?？计谥校┘{皮爾是蘇格蘭數(shù)學家，其主要成果有球面三角中的

納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617）,而最大的貢獻是對數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙

的對數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對數(shù)表，可以利用對數(shù)表查詢出任意對數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如

果物體原來的溫度是工（℃）,空氣的溫度是"（℃）,經(jīng)過f分鐘后物體的溫度T（。0可由公式

f=4[log3（7J-4）-log3（T-4）]得出；現(xiàn)有一杯溫度為7（TC的溫水，放在空氣溫度為零下10。（3的冷藏室中,

則當水溫下降到10。（2時，經(jīng)過的時間約為（）參考數(shù)據(jù)：lg2a0.301,lg3?0.477.

A.3.048分鐘B.4.048分鐘C.5.048分鐘D.6.048