2023年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)答案與解析

2023年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題(共10小題，每題5分，總分值50分)

1.15分)(2023?浙江)a是實(shí)數(shù)，二二1是純虛數(shù)，那么a=()

_1+i

A.1B.-IC.\[2D.-5/2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算.

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)分母為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)化為a+bi(a、b是實(shí)數(shù))明確分類即可.

[解答]解：由工匚=一(；二?)(1二?_.三1是純虛數(shù),

1+i(1+i)(1-1)22

那么與工=0且警產(chǎn)0,故a=l

應(yīng)選A.

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查復(fù)數(shù)的概念.是根底題.

2.(5分)(2023?浙江)U=R,A={x|x>0),B={x|x4-1},那么(AnCuB)U(BcCuA)=

()

A.0B.{x|x<0}C.{x|x>-1}D.{x|x>0或xS-1}

【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

【分析】由題意知U=R,A={x|x>0},B={x|x<-1},然后根據(jù)交集的定義和運(yùn)算法那么進(jìn)

行計(jì)算.

【解答】解：U=R,A={x|x>0),B={x|x<-1},

CuB={x|x>-1},CuA={x|x<0}

AnCuB={x|x>0},BnCuA={x|x<-1}

(AnCuB)U(BnCuA)={x|x>0或x4-1},

應(yīng)選D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及補(bǔ)集運(yùn)算，一元二次不等式的

解法及集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算布高考中的常考內(nèi)容，要認(rèn)真掌握，并確保得分.

3.15分)(2023?浙江)a,b都是實(shí)數(shù)，那么"a2>b2"是"a>b"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【專題】常規(guī)題型.

【分析】首先由于，2>b2"不能推出"a>b"；反之，由"a>b"也不能推出"a2>b2".故"a?

>b2"是"a>b"的既不充分也不必要條件.

【解答】解：?.?"a2>b2"既不能推出"a>b"；

反之，由"a>b"也不能推出“a2>b2".

"qAb2"是"a>b"的既不充分也不必要條件.

應(yīng)選D.

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查充要條件相關(guān)知識(shí).

4.(5分)[2023?浙江)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中，含的

項(xiàng)的系數(shù)是()

A.-15B.85C.-120D.274

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

【分析】此題主要考查二項(xiàng)式定理展開式具體項(xiàng)系數(shù)問題.此題可通過選括號(hào)(即5個(gè)括號(hào)

中4個(gè)提供x,其余1個(gè)提供常數(shù))的思路來完成.

【解答】解：含X"的項(xiàng)是由(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的5個(gè)括號(hào)中4個(gè)括

號(hào)出x僅1個(gè)括號(hào)出常數(shù)

；.展開式中含X,的項(xiàng)的系數(shù)是(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.

應(yīng)選A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用分步計(jì)數(shù)原理和分類加法原理求出特定項(xiàng)的系數(shù).

5.(5分)(2023?浙江)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=cos(]上等)2n])

的圖象和直線產(chǎn)工的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

丫2

A.0B.1C.2D.4

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(3x+6)的圖象變換.

【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由x的范圍求出工的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象可得

2

到答案.

【解答】解：原函數(shù)可化為：y=cos瑤￡)(xRO,2n])=sirr|x?0,2n].

當(dāng)x6[0,2可時(shí)，.|e[0,n],其圖象如圖，

與直線y=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè).

2

應(yīng)選C.

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)問題.

6.(5分)(2023?浙江)｛an｝是等比數(shù)列，a2=2,a5=L那么aia2+a2a3+...+anan+i=()

4

A.16(1-4n)B.16(1-2n)C.(1-4n)D.(1-2")

33

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專題】計(jì)算題.

【分析】首先根據(jù)a2和as求出公比q,根據(jù)數(shù)列｛anan+i｝每項(xiàng)的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)仍是等比數(shù)列，且

首項(xiàng)是aia2=8,公比為工.進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得出答案.

4

【解答】解：由a5、=a2?q3=2?q3,解得q=￡

數(shù)列｛anan+i｝仍是等比數(shù)列：其首項(xiàng)是aia2=8,公比為上

4

n

8口-中]

所以，&]&?+&2a+&n+1=革(l-4-n)

O

應(yīng)選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)和求和公式的應(yīng)用.應(yīng)善于從題設(shè)條件中發(fā)現(xiàn)規(guī)

律，充分挖掘有效信息.

22

7.（5分）（2023?浙江）假設(shè)雙曲線馬-鼻口的兩個(gè)焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為3：2,

ab

那么雙曲線的離心率是（）_

A.3B.5C.V3D.V5

【考點(diǎn)】雙曲線的定義.

【專題】計(jì)算題.

【分析】先取雙曲線的一條準(zhǔn)線，然后根據(jù)題意列方程，整理即可.

2

【解答】解：依題意，不妨取雙曲線的右準(zhǔn)線x3，

C

22,2

那么左焦點(diǎn)Fi到右準(zhǔn)線的距離為且_+c=3~土二，

CC

2」-」

右焦點(diǎn)F2到右準(zhǔn)線的距離為C-且-=^一工，

CC

22

c+a

22

C+a32

=

可得一EI!=c2T^22'即今:5,

Caa

c

???雙曲線的離心率e^r=V5-

a

應(yīng)選D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查雙曲線的性質(zhì)及離心率定義.

8.（5分）（2023?浙江）假設(shè)cosa+2sina=-加，那么tana=（）

A.1B.2C.-1D.-2

22

【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)根本關(guān)系的運(yùn)用.

【分析】本小題主要考查三角函數(shù)的求值問題，需要把正弦和余弦化為正切和正割，兩邊平

方，根據(jù)切割的關(guān)系進(jìn)行切割互化，得到關(guān)于正切的方程，解方程得結(jié)果.

【解答】解：:cosa+2sina=-&,

cosa^O,

兩邊同時(shí)除以cosa得l+2lana=-，

（l+2tana）2=5sec2a=5（l+tan2a）,

tan2a-4tana+4=0,

tana=2.

應(yīng)選B.

【點(diǎn)評(píng)】同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，其主要應(yīng)用于同角三角函數(shù)的求值和同角三角函數(shù)之間

的化簡(jiǎn)和證明.在應(yīng)用這些關(guān)系式子的時(shí)候就要注意公式成立的前提是角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)要

有意義.

9.（5分）（2023?浙江）a，吊是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，假設(shè)向量W滿足（^-會(huì)

?（b-C）=0?那么Id的最大值是（）

A.IB.2C.5/2D.

2

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角.

【專題】壓軸題.

【分析】本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運(yùn)算問題，所給出的兩個(gè)向量是互相

垂直的單位向量，這給運(yùn)算帶來很大方便，利用數(shù)量積為零的條件時(shí)要移項(xiàng)變化.

【解答】解:?|=|E|=1,a*b=O,

'''(a-c),(b-c)=0=>Ic12=c?(a+b)=Ic|,|a+b|cos8，

…Ic|=|a+b|cos6=V2cos6'

cos0e[-1,1],

的最大值是我.

應(yīng)選C.

【點(diǎn)評(píng)】啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的根底上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生

注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)，此題也可以利用數(shù)形結(jié)合,

a，E對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A,B在圓x?+y2=l上，M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C在圓x?+y2=2上即可.

10.15分)(2023?浙江)如圖，AB是平面a的斜線段，A為斜足，假設(shè)點(diǎn)P在平面a內(nèi)運(yùn)

動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是〔)

A.圓B.橢圓C.一條直線D.兩條平行直線

【考點(diǎn)】橢圓的定義；平面與圓柱面的截線.

【專題】壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.

【分析】根據(jù)題意，因?yàn)槿切蚊娣e為定值，從而可得P到直線AB的距離為定值，分析可

得，點(diǎn)P的軌跡為一以AB為軸線的圓柱面，與平面a的交線，分析軸線與平面的性質(zhì)，可

得答案.

【解答】解：此題其實(shí)就是一個(gè)平面斜截一個(gè)圓柱外表的問題，

因?yàn)槿切蚊娣e為定值，以AB為底，那么底邊長(zhǎng)一定，從而可得P到直線AB的距離為定

值，

分析可得，點(diǎn)P在以AB為軸線的圓柱面與平面a的交線上，且a與圓柱的軸線斜交，

由平面與圓柱面的截面的性質(zhì)判斷，可得P的軌跡為橢圓；

應(yīng)選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查平面與圓柱面的截面性質(zhì)的判斷，注意截面與圓柱的軸線的不同位置時(shí)，

得到的截面形狀也不同.

二、填空題(共7小題，每題4分，總分值28分)

11.(4分)(2023?浙江)平面內(nèi)三點(diǎn)A(2,-3),B(4,3),C[5,a)共線，那么a=6

【考點(diǎn)】平行向量與共線向量.

【分析】利用向量坐標(biāo)的求法求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，將三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為兩向量共線，利用向

量共線的充要條件列出方程求出a.

【解答】解：族=(2,6),AC=(3,a+3)

由知標(biāo)//AC

所以2（a+3）=6x3

解得a=6

故答案為：6

【點(diǎn)評(píng)】此題考查向量坐標(biāo)的求法、向量共線的坐標(biāo)形式的充要條件.

22

12.（4分）（2023?浙江）Fi、F2為橢圓工+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過Fi的直線交橢圓于A、B

259

兩點(diǎn)，假設(shè)|F2A|+|F2B|=12,那么IABI=8.

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】運(yùn)用橢圓的定義，可得三角形ABF2的周長(zhǎng)為4a=20,再由周長(zhǎng)，即可得到AB的

長(zhǎng).

22

【解答】解：橢圓工+工的a=5,

259

由題意的定義,可得，|AFi|+|AF2|=|BFi|+|BF2|=2a,

那么三角形ABF2的周長(zhǎng)為4a=20,

假設(shè)|F2A|+|F2B|=12,

那么|AB|=20-12=8.

故答案為：8

【點(diǎn)評(píng)】此題考查橢圓的方程和定義，考查運(yùn)算能力，屬于根底題._

13.（4分）（2023?浙江）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、C、假設(shè)

-c）cosA=acosC,那么cosA=1.

3

【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用；兩角和與差的正弦函數(shù).

【專題】計(jì)算題.

【分析】先根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦值的關(guān)系，再運(yùn)用兩角和與差的正弦公

式化簡(jiǎn)可得到J5sinBcosA=sinB,進(jìn)而可求得cosA的值.

【解答】解：由正弦定理，知

由（J5b-c）cosA=acosC可得

（V§sinB-sinC）cosA=sinAcosC,

\Z"§sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA

=sin（A+C）=sinB,

cosA=近.

3_

故答案為：亞

3

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用.考查對(duì)三角函數(shù)公式的記

憶能力和綜合運(yùn)用能力.

14.（4分）（2023?浙江）如圖，球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D,DAJL平面ABC,AB_LBC,

DA=AB=BC=/，那么球O的體積等于鳥」.

2-

【考點(diǎn)】球的體積和外表積；球內(nèi)接多面體.

【專題】計(jì)算題.

【分析】說明ACDB是直角三角形，AACD是直角三角形，球的直徑就是CD,求出CD,

即可求出球的體積._

【解答]解：AB±BC,△ABC的外接圓的直徑為AC,AC=&,

由DA上面ABC得DA_LAC,DA±BC,ACDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，

=22=3,

.?.CD為球的直徑，CD7DA+AC二球的半徑R=g，VH：=WnR3=9n.

232

故答案為：2T.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題是根底題，考查球的內(nèi)接多面體，說明三角形是直角三角形，推出CD是球的

直徑，是此題的突破口，解題的重點(diǎn)所在，考查分析問題解決問題的能力.

15.14分)[2023?浙江)t為常數(shù)，函數(shù)y=*-2x-t|在區(qū)間[0,3]上的最大值為2,那么

t=1.

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法.

【專題】壓軸題.

【分析】此題應(yīng)先畫出函數(shù)的大體圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法尋找解題的思路.畫出大體圖

象后不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最大值只能在x=l或x=3處取得，因此分情況討論解決此題.

【解答】解：記g(x)=x2-2x-t,x6[0,3],

那么y=f(x)=|g(x)I，xe[0,3]

f(x)圖象是把函數(shù)g(x)圖象在X軸下方的局部翻折到X軸上方得到，

其對(duì)稱軸為x=l,那么f(x)最大值必定在x=3或x=l處取得

⑴當(dāng)在x=3處取得最大值時(shí)f(3)=|32-2x3-t|=2,

解得t=l或5,

當(dāng)t=5時(shí);此時(shí)，f(0)=5>2不符條件，

當(dāng)t=l時(shí)，此時(shí)，f(0)=1,f(1)=2,符合條件.

(2)當(dāng)最大值在x=l處取得時(shí)f[1)=|l2-2xl-t|=2,

解得t=l或-3,

當(dāng)t=-3時(shí)，f(0]=3>2不符條件，

當(dāng)t=l此時(shí)，f(3)=2,f(1)=2,符合條件.

綜上t=l時(shí)

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)和絕對(duì)值對(duì)函數(shù)圖象的影響變化.

16.(4分〕〔2023?浙江)用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相

鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰.這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是3—(用數(shù)字作答).

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】欲求可組成符合條件的六位數(shù)的個(gè)數(shù)，只須利用分步計(jì)數(shù)原理分三步計(jì)算：第一步：

先將3、5排列，第二步：再將4、6插空排列，第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空

中即可.

【解答】解析：可分三步來做這件事：

第一步：先將3、5排列，共有A22種排法；

第二步：再將4、6插空排列，共有2A22種排法；

第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C5I種排法.

221

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有A2?2A2?C5=4O(種).

答案：40

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是分步計(jì)數(shù)原理，分步計(jì)數(shù)原理（也稱乘法原理）完成一件事，需要分

成n個(gè)步驟，做第1步有ml種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法…做第n步有mn

種不同的方法.那么完成這件事共有N=mlxm2x...xmn種不同的方法.

'x〉0

17.（4分）（2023?浙江）假設(shè)aW,b>0,且當(dāng)，y>0時(shí)，恒有ax+bySl,那么以a、b為

x+yCl

坐標(biāo)的點(diǎn)P（a,b）所形成的平面區(qū)域的面積等于」

【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域.

【專題】壓軸題；圖表型.

'x〉0

【分析】先依據(jù)不等式組］y>0,結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其

x+yCl

表示的平面區(qū)域，再利用求最優(yōu)解的方法，結(jié)合題中條件："恒有ax+byvl"得出關(guān)于a,b

的不等關(guān)系，最后再據(jù)此不等式組表示的平面區(qū)域求出面積即可.

【解答】解：az=ax+by,

1.,ax+bySl恒成立，

即函數(shù)z=ax+by在可行域要求的條件下，ZmaxR恒成立.

當(dāng)直線ax+by-z=0過點(diǎn)（1,0）或點(diǎn)（0,1）時(shí)，OVaSl,0<b<1.

點(diǎn)P（a,b）形成的圖形是邊長(zhǎng)為1的正方形.

所求的面積S=l2=l.

故答案為：1

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的

思想，屬中檔題.目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫

出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解.

三、解答題（共5小題，總分值72分）

18.（12分）（2023?浙江）如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

ZBCF=ZCEF=90°,AD=近，EF=2.

（I）求證：AEII平面DCF；

（口）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60。？

【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題.

【專題】計(jì)算題：證明題；綜合題.

【分析】（I）過點(diǎn)E作EG_LCF并CF于G,連接DG,證明AE平行平面DCF內(nèi)的直線

DG,即可證明AEII平面DCF；

III）過點(diǎn)B作BH_LEF交FE的延長(zhǎng)線于H,連接AH,說明NAHB為二面角A-EF-C

的平面角，通過二面角A-EF-C的大小為60。，求出AB即可.

【解答】（I）證明：過點(diǎn)E作EGJ_CF并CF于G,連接DG,可得四邊形BCGE為矩形.又

ABCD為矩形，

所以AD_LIIEG,從而四邊形ADGE為平行四邊形，AEIIDG.

因?yàn)锳EC平面DCF,DGu平面DCF,所以AEII平面DCF.

（口）解：過點(diǎn)B作BHLEF交FE的延長(zhǎng)線于H,連接AH.

由平面ABCD_L平面BEFG,ABJLBC,得

AB_L平面BEFC,

從而AH±EF,

所以NAHB為二面角A-EF-C的平面角.

在RSEFG中，因?yàn)镋G=AD=d^,EF=2,所以/CFE=60°,FG=1.

又因?yàn)镃EJ_EF,所以CF=4,

從而BE=CG=3.

于是BH=BE?sinNBEH=&Z1

2

因?yàn)锳B=BH?tanNAHB,

所以當(dāng)AB=X時(shí),二面角A-EF-G的大小為60。.

2

【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，空間向量與立體幾何.

【點(diǎn)評(píng)】由于理科有空間向量的知識(shí)，在解決立體幾何試題時(shí)就有兩套根據(jù)可以使用，這為

考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對(duì)的缺

陷，那就是空間向量的運(yùn)算問題，空間向量有三個(gè)分坐標(biāo)，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而

且空間向量方法證明平行和垂直問題的優(yōu)勢(shì)并不明顯，所以在復(fù)習(xí)立體幾何時(shí)，不要純粹以

空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等根底知識(shí)，同時(shí)考查空間想

象能力和推理運(yùn)算能力.

19.(14分)(2023?浙江)一個(gè)袋中有假設(shè)干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球.從袋中任意

摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是工；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是工

59

(I)假設(shè)袋中共有10個(gè)球，從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為講求隨機(jī)變

量￡的數(shù)學(xué)期望E2

(H)求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于上.并指出袋中哪

10

種顏色的球個(gè)數(shù)最少.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；等可能事件的概率；離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【專題】計(jì)算題；應(yīng)用題；證明題；壓軸題.

【分析】(I)首先根據(jù)從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是工列出關(guān)系式,

9

得到白球的個(gè)數(shù)，從袋中任意摸出3個(gè)球，白球的個(gè)數(shù)為"根據(jù)題意得到變量可能的取值,

結(jié)合對(duì)應(yīng)的事件，寫出分布列和期望.

(II)設(shè)出兩種球的個(gè)數(shù)，根據(jù)從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于上,

10

得到兩個(gè)未知數(shù)之間的關(guān)系，得到白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于2仃紅球的個(gè)數(shù)少

5

于工，得到袋中紅球個(gè)數(shù)最少.

5

【解答】解：(I)記"從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球"為事件A,

設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為X,

「2

那么P(A)=1-^^=4，

「29

L10

得到x=5.

故白球有5個(gè).

隨機(jī)變量￡的取值為0,1，2,3,

分布列是

1的數(shù)學(xué)期望E8,xo*x1*x2哈x3=^

ini證明：設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，由題意得打

5

2y<n,2y<n-1,

故工。

n-廣2

記"從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球"為事件B,

那么p⑻哈

55n-155210

白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于2萬紅球的個(gè)數(shù)少于三

5n5

故袋中紅球個(gè)數(shù)最少.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查排列組合、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率和隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)

期望等概念，同時(shí)考查學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力.

20.(15分)(2023?浙江)曲線C是到點(diǎn)p(-1,8)和到直線尸-至距離相等的點(diǎn)的

288

軌跡，1是過點(diǎn)Q(-1,0)的直線，M是C上〔不在1上)的動(dòng)點(diǎn)；A、B在1上，MALI,

MB_Lx軸(如圖).

(I)求曲線C的方程；

(n)求出直線1的方程，使得嵯2

-為常數(shù).

IQA

【考點(diǎn)】軌跡方程；直線的一般式方程.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】(I)設(shè)N(x,y)為C上的點(diǎn)，進(jìn)而可表示H1|NP|,根據(jù)N到直線行-下的距離和

8

|NP|進(jìn)而可得曲線C的方程.

2,

(II)先設(shè)M(x,三聲)，直線1：y=kx+k,進(jìn)而可得B點(diǎn)坐標(biāo)，再分別表示出IQBI，|QM|,

|MA|,最后根據(jù)|QA|2=|QMF-|AM|2求得k.

【解答】解：⑴設(shè)為上的點(diǎn)，那么2R2

N(x,y)C|NP|=1(x+1)+)

o

N到直線尸-向的距離為|什|卜

由題設(shè)得J(x+^)+(y，)=ly+-|l,

2

化簡(jiǎn)，得曲線c的方程為尸￡(x+x).

UD設(shè)M(x,￡，直線1：y=kx+k,那么B(x,kx+k),從而|QB|二Jl+k2|x+l|,

22

在RSQMA中,因?yàn)閨QM|2=(x+1)2+2=(x+1)2(1+亍)

v2

(x+1)29(k-/

2

IMA|=-----------1一?

所以|QA|2=|QMr-|AM『=''"I)二(kx+2)2

4(1+k2)

|QA*￥也抖

2Vl+k2

|QB|22(1+k2)^1+k2,x+1,

=

~WM烹?

當(dāng)k=2時(shí)，單1；=5“，

iQAl

從而所求直線1方程為2x-y+2=0.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查求曲線軌跡方程，兩條直線的位置關(guān)系等根底知識(shí)，考查解析幾何的

根本思想方法和綜合解題能力.

21.(15分)(2023?浙江)a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=Vx(x-a)

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(n)設(shè)g(a〕為f(x)在區(qū)間［0,2］上的最小值.

⑴寫出g(a)的表達(dá)式；

(ii)求a的取值范圍，使得-64g(a)<-2.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)解析式的求解及常用方法；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上

函數(shù)的最值；不等式的證明.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】(I)求出函數(shù)的定義域［0,+8),求出。(X),因?yàn)閍為實(shí)數(shù)，討論a?),(x>0)

得到F(x)>0得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；假設(shè)a>0,令f(x)=0,得到函數(shù)駐點(diǎn)討論x

取值得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

(n)①討論假設(shè)aso,f(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，所以g(a)=f⑻=0；假設(shè)0<a<6,

f(x)在［0,爭(zhēng)上單調(diào)遞減，在G|,2］上單調(diào)遞增，所以g(a)=f(1)=-與，|

假設(shè)的6,f(x)在［0,2］上單調(diào)遞減，所以g(a)=f(2)=V2(2-a).得至ijg(a)

為分段函數(shù)，寫出即可；②令-6Sg(a)S-2,代到第一段上無解；假設(shè)0VaV6,解得34a

<6；假設(shè)a26,解得6<a<2+3后.那么求出a的取值范圍即可.

【解答】解；(I)解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8),f(x)"第金|譚(x>0).

假設(shè)處0,那么f(x)>0,f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間［0,+8).

假設(shè)a>0,令f(x)=0,得x/，當(dāng)0<x<且時(shí)，f(x)<0,

33

當(dāng)X>總時(shí)，f(x)>0.f(x)有單調(diào)遞減區(qū)間［0,月］,單調(diào)遞增區(qū)間,+8).

3

(n)解：⑴假設(shè)avo,f(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，所以g(a)=f(0)=0.

假設(shè)0<a<6,f(x)在［0,0］上單調(diào)遞減，在(月,2］上單調(diào)遞增,

33

所以g(a)=f(1)=-邦.

假設(shè)a26,f(x)在［0,2］上單調(diào)遞減,

所以g(a)=f⑵=^2(2-a).

，0a<0

g⑹二-徵

綜上所述,0<a<6改天

V2(2-a)a)6

(ii)令-64g(a)<-2.假設(shè)a40,無解.假設(shè)0<a<6,解得34aV6.

假設(shè)a26