第三章-工業(yè)機器人運動學-3逆運動學課件

第三章工業(yè)機器人的運動學-3第三章工業(yè)機器人的運動學-31

主要內(nèi)容

數(shù)學基礎(chǔ)——齊次坐標變換機器人運動學方程的建立（正運動學）

機器人逆運動學分析（逆運動學）

主要內(nèi)容數(shù)學基礎(chǔ)——齊次坐標變換2三、逆運動學方程

（InverseKinematicEquations）3.1引言3.2逆運動學方程的解3.3斯坦福機械手的逆運動學解3.4歐拉變換的逆運動學解3.5RPY變換的逆運動學解3.6球坐標變換的逆運動學解3.7本章小結(jié)

三、逆運動學方程

（InverseKinematic33.1引言(Introduction)所謂逆運動學方程的解，就是已知機械手直角坐標空間的位姿（pose）T6，求出各節(jié)變量θn

ordn

。

T6=A1A2A3A4A5A6（3.1）逆運動學方程解的步驟如下：（1）根據(jù)機械手關(guān)節(jié)坐標設(shè)置確定AnAn為關(guān)節(jié)坐標的齊次坐標變換，由關(guān)節(jié)變量和參數(shù)確定。關(guān)節(jié)變量和參數(shù)有：

an－連桿長度; αn－連桿扭轉(zhuǎn)角;

dn－相鄰兩連桿的距離; θn－相鄰兩連桿的夾角。 對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)θn為關(guān)節(jié)變量，而對于滑動關(guān)節(jié)dn為關(guān)節(jié)變量。其余為連桿參數(shù)，由機械手的幾何尺寸和組合形態(tài)決定。3.1引言(Introduction)4（2）

根據(jù)任務(wù)確定機械手的位姿T6

T6為機械手末端在直角坐標系（參考坐標或基坐標）中的位姿，由任務(wù)確定，即式（2.37）給出的表達式T6=Z-1XE-1確定。它是由三個平移分量構(gòu)成的平移矢量P（確定空間位置）和三個旋轉(zhuǎn)矢量n，o，a（確定姿態(tài)）組成的齊次變換矩陣描述。（3）由T6和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相應的關(guān)節(jié)變量θn或dn。

（2）根據(jù)任務(wù)確定機械手的位姿T653.2逆運動學方程的解（Solvinginversekinematicequations）根據(jù)式（3.1）T6=A1A2A3A4A5A6分別用An（n＝1，2，…，5）的逆左乘式（3.1）有A1-1T6=1T6(1T6=A2

A3A4A5A6)（3.2）A2-1A1-1T6=2T6(2T6=A3A4A5A6)（3.3）A3-1A2-1A1-1T6=3T6(3T6=A4A5A6)（3.4）A4-1A3-1A2-1A1-1T6=4T6(4T6=A5A6

)（3.5）A5-1

A4-1A3-1A2-1A1-1T6=5T6(5T6=A6)（3.6）根據(jù)上述五個矩陣方程對應元素相等，可得到若干個可解的代數(shù)方程，便可求出關(guān)節(jié)變量θn或dn。3.2逆運動學方程的解（Solvinginverse6

3.3斯坦福機械手的逆運動學解

（InversesolutionofStanfordmanipulator）在第三章我們推導出StanfordManipulator的運動方程和各關(guān)節(jié)齊次變換式。下面應用式（3.2）～（3.6）進行求解：3.3斯坦福機械手的逆運動學解7這里

f11=C1x＋S1y

(3.10)

f12=-z

(3.11)

f13=-S1x＋C1y

(3.12)其中

x=[nxoxaxpx]T，y=[nyoyaypy]T，z=[nzozazpz]T由前節(jié)得到的斯坦福機械手運動學方程式（2.48）為C2(C4C5C6

-S4S6)-S2S5C6-C2(C4C5S6+S4C6)+S2S5S6

S2(C4C5C6-S4S6)+C2S5C6-S2(C4C5S6+S4C6)-C2S5S6

1T6=S4C5C6+C4C6-S4C5S6+C4C6

00

C2C4S5+S2C5S2d3S2C4S5-C2C5-C2d3S4S5d2（3.13）01這里8比較式（3.9）和式（3.13）矩陣中的第三行第四列元素相等得到f13（p）=d2（3.14）或-S1

px＋C1py=d2（3.15）令px

=rcosΦ

（3.16）

py

=rsinΦ

（3.17）其中（3.18）（3.19）將式（3.16）和式（3.17）代入式（3.15）有

sinΦconθ1－conΦsinθ1

＝d2/r

（0<d2/r≤1）（3.20）由式（3.20）可得

sin(Φ－θ1)＝d2/r

（0<Φ－θ1<）（3.21）

con(Φ－θ1)＝（3.22）這里±號表示機械手是右肩結(jié)構(gòu)（＋）還是左肩結(jié)構(gòu)（－）。比較式（3.9）和式（3.13）矩陣中的第三行第四列元素相等9由式（3.21）、（3.22）和（3.18）可得到第一個關(guān)節(jié)變量θ1的值

（3.23）根據(jù)同樣的方法，利用式（3.9）和式（3.13）矩陣元素相等建立的相關(guān)的方程組，可得到其它各關(guān)節(jié)變量如下：

（3.24）（3.25）（3.26）（3.27）（3.28）由式（3.21）、（3.22）和（3.18）可得到第一個關(guān)節(jié)10注意：在求解關(guān)節(jié)變量過程中如出現(xiàn)反正切函數(shù)的分子和分母太小，則計算結(jié)果誤差會很大，此時應重新選擇矩陣元素建立新的方程組再進行計算，直到獲得滿意的結(jié)果為止。同樣，如果計算結(jié)果超出了機械手關(guān)節(jié)的運動范圍，也要重新計算，直到符合機械手關(guān)節(jié)的運動范圍。由于機械手各關(guān)節(jié)變量的相互耦合，后面計算的關(guān)節(jié)變量與前面的關(guān)節(jié)變量有關(guān)，因此當前面關(guān)節(jié)變量的計算結(jié)果發(fā)生變化時，后面關(guān)節(jié)變量計算的結(jié)果也會發(fā)生變化，所以逆運動方程的解不是唯一的，我們應該根據(jù)機械手的組合形態(tài)和各關(guān)節(jié)的運動范圍，經(jīng)過多次反覆計算，從中選擇一組合理解。由此可見，求解機械手的逆運動方程是一個十分復雜的過程。注意：113.4歐拉變換的逆運動學解

（InversesolutionofEulerAngles

）由前節(jié)知歐拉變換為Euler(?,θ,ψ)＝Rot(z,?)Rot(y,θ)Rot(z,ψ)（3.29）我們用T來表示歐拉變換的結(jié)果，即T＝Euler(?,θ,ψ)（3.30）或T＝Rot(z,?)Rot(y,θ)Rot(z,ψ)（3.31）其中

（3.32）3.4歐拉變換的逆運動學解

（Inversesol12（3.33）第三章-工業(yè)機器人運動學-3逆運動學ppt課件13比較式（3.32）和式（3.33）有（3.34）（3.35）（3.36）（3.37）（3.38）（3.39）（3.40）（3.41）（3.42）比較式（3.32）和式（3.33）有14由式（3.42）可解出θ角（3.43）由式（3.40）和式（3.43）可解出φ角（3.44）由式（3.36）和式（3.43）可解出Ψ角（3.45）由式（3.42）可解出θ角15

這里需要指出的是，在我們采用式（3.43）~式（3.45）來計算θ、φ、Ψ時都是采用反余弦函數(shù)，而且式（3.43）和式（3.45）的分母為sinθ，這會帶來如下問題：1）由于絕對值相同的正負角度的余弦相等，如cosθ＝cos（-θ），因此不能確定反余弦的結(jié)果是在那個象限；2）當sinθ接近于0時，由式（3.43）和式（3.45）所求出的角度φ和Ψ是不精確的；3）當θ＝0或±180o時，式（3.43）和式（3.45）無數(shù)值解。為此，我們必須尋求更為合理的求解方法。由三角函數(shù)的知識我們知道，反正切函數(shù)θ＝tan－1（x/y）所在的象限空間可由自變量的分子和分母的符號確定（如圖3.1所示），因此如果我們得到歐拉角的正切表達式，就不難確定歐拉角所在的象限。為此，我們采用前節(jié)的方法，用Rot(z,?)－1左乘式（3.31）有Rot－1(z,?)T＝Rot(y,θ)Rot(z,ψ)（3.46）yx＋y＋y－x＋y－xx－y＋x－圖3.1正切函數(shù)所在象限θ這里需要指出的是，在我們采用式16即（3.47）將上式寫成如下形式（3.48）式中（3.49）（3.50）（3.51）同樣，上面三個式子中的x、y、z分別表示n、o、a、p矢量的各個分量，如（3.52）即17比較式（3.48）等號兩邊矩陣的第2行第3列元素可知（3.63）即（3.54）由此可得到（3.55）或（3.56）結(jié)果得到（3.57）或（3.58）比較式（3.48）等號兩邊矩陣的第2行第3列元素可知18上述結(jié)果相差180o，可根據(jù)實際系統(tǒng)的組合形態(tài)從中選擇一個合理解。如果ay和ax都為0，則式（3.57）和式（3.58）無定義，這是一種退化現(xiàn)象，此時φ值可任意設(shè)置，如φ＝0。由于角φ已求出，比較式（3.48）等號兩邊矩陣第1行第3列和第3行第3列元素相等有（3.59）（3.60）或（3.61）（3.62）由此可得（3.63）上述結(jié)果相差180o，可根據(jù)實際系19同樣比較式（3.48）等號兩邊矩陣的第2行第1列和第2行第2列元素可知（3.64）（3.65）或（3.66）（3.67）由此可得（3.68）至此，我們求出了歐拉變換的逆運動學解。同樣比較式（3.48）等號兩邊矩陣的第2行第1列和第2行第2203.5RPY變換的逆運動學解（InversesolutionofRPY）第三章介紹的搖擺、俯仰和偏轉(zhuǎn)(RPY)變換的表達式如下T=RPY(?,θ,ψ)＝Rot(z,?)Rot(y,θ)Rot(x,ψ)（3.69）用Rot－1(z,?)左乘上式得到Rot－1(z,?)T＝Rot(y,θ)Rot(x,ψ)（3.70）將上式寫成式（3.48）的形式（3.71）式中（3.72）（3.73）（3.74）3.5RPY變換的逆運動學解（Inversesolut21由式（3.71）等號兩邊矩陣的第2行第1列元素相等有（3.75）由此得到（3.76）或（3.77）角φ已求出，根據(jù)式（3.71）等號兩邊矩陣的第3行第1列和第1行第1列元素相等有（3.78）（3.79）由此可得（3.80）由式（3.71）等號兩邊矩陣的第2行第1列元素相等有22進一步比較式（3.71）等號兩邊矩陣元素，由第2行第3列和第2行第2列元素相等有（3.81）（3.82）由此可得（3.83）

至此，我們求出了RPY的逆運動學解。進一步比較式（3.71）等號兩邊矩233.6球坐標變換的逆運動學解

（InversesolutionofSphericalCoordinates

）前節(jié)介紹的球坐標變換的表達式如下T=Sph(α,β,