第2章-模糊控制課件

智能控制技術(shù)第2章模糊控制

二零一一年三月IntelligentControlTechnology智能控制技術(shù)第2章模糊控制Intelligent模糊控制

模糊控制是一類應(yīng)用模糊集合理論和模糊邏輯推理的控制方法。一方面，模糊控制提出一種新的機制用于實現(xiàn)基于知識（規(guī)則）甚至語義描述的控制規(guī)律；另一方面，模糊控制為非線性控制器提出一個比較容易的設(shè)計方法，尤其是當(dāng)被控裝置（被控對象或被控過程）具有不確定性而且很難用常規(guī)非線性控制理論處理時，更是有效。1965年扎德（L.A.Zadeh）提出了模糊集理論，此后，對模糊集合和模糊控制的理論研究不斷廣泛深入開展并取得了大量的成功應(yīng)用。在過去的三十年中，模糊控制是智能控制中一個十分活躍的研究與應(yīng)用領(lǐng)域。模糊控制模糊控制是一類應(yīng)用模糊集合理論和第2章主要內(nèi)容2.1

模糊控制概述

2.2

模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

2.3

模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計

2.4

模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計

2.5MATLAB模糊邏輯工具箱的使用

2.6模糊控制工程應(yīng)用實例第2章主要內(nèi)容2.1模糊控制概述2.1模糊控制2.1.1

模糊控制的產(chǎn)生和發(fā)展

傳統(tǒng)控制方法均是建立在被控對象精確數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)之上的，隨著科學(xué)技術(shù)和工業(yè)生產(chǎn)的迅猛發(fā)展，各個領(lǐng)域?qū)ψ詣涌刂葡到y(tǒng)的精度、響應(yīng)速度、系統(tǒng)穩(wěn)定性、自適應(yīng)能力的要求越來越高，所要求控制的對象也日益復(fù)雜多變。

許多過程和對象的參數(shù)不確定、系統(tǒng)具有非線性、時變性、強耦合、較大的隨機干擾，過程機理錯綜復(fù)雜，被控對象的精確數(shù)學(xué)模型難以建立。2.1模糊控制2.1.1模糊控制的產(chǎn)生和發(fā)展2.1模糊控制2.1.1

模糊控制的產(chǎn)生和發(fā)展

對于這類復(fù)雜控制對象或過程，常規(guī)自適應(yīng)控制技術(shù)雖然可以解決一些問題，但范圍和性能很有限。對于那些難以建立數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜被控對象，采用傳統(tǒng)的控制方法，包括基于現(xiàn)代控制理論的控制方法，往往不如一個有實踐經(jīng)驗的操作人員所進行的手動控制效果好。模擬人的知識和思維特點，將自然語言引入計算機知識存儲和推理，讓計算機發(fā)揮智能、具有靈活性，這也是計算智能的主要發(fā)展方向。模糊控制就是使計算機具有這種特性的智能控制方法。2.1模糊控制2.1.1模糊控制的產(chǎn)生和發(fā)展2.1模糊控制2.1.1

模糊控制的產(chǎn)生和發(fā)展模糊控制是以模糊集合論作為它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它的誕生是以扎德（L.A.Zadeh）于1965年提出模糊集理論為標(biāo)志，模糊控制是模糊集合論應(yīng)用的一個重要方向。模糊控制經(jīng)歷了四十多年的研究和發(fā)展不斷豐富完善，在復(fù)雜的工業(yè)生產(chǎn)控制領(lǐng)域和各種商業(yè)民用場合得到了廣泛的成功應(yīng)用。模糊控制系統(tǒng)的應(yīng)用對于那些測量數(shù)據(jù)不確切、要處理的數(shù)據(jù)量過大以致無法實時處理和一些復(fù)雜時變的被控對象控制場合是非常有價值的，利用模糊逼近來表示它們是非常合適的。2.1模糊控制2.1.1模糊控制的產(chǎn)生和發(fā)展2.1模糊控制2.1.1

模糊控制的產(chǎn)生和發(fā)展

與依據(jù)系統(tǒng)行為參數(shù)的傳統(tǒng)控制器設(shè)計方法不同，模糊控制器設(shè)計是依賴設(shè)計者的經(jīng)驗。在傳統(tǒng)控制器中，控制的核心是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；而模糊控制器控制的核心是模糊規(guī)則。改善模糊控制性能的方法是優(yōu)化模糊控制規(guī)則、調(diào)整模糊描述。通常，模糊控制規(guī)則的獲取是通過將人的手動控制經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為模糊語言形式，因此它帶有相當(dāng)?shù)闹饔^性，而且有限的規(guī)則難以準(zhǔn)確完整描述人的手動控制經(jīng)驗。所以，模糊控制也存在一定的局限性和不足，沒有一種特定的控制方法對所有的控制對象和在各種環(huán)境下都是最優(yōu)的。2.1模糊控制2.1.1模糊控制的產(chǎn)生和發(fā)展2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特點

模糊控制是模糊理論在控制工程上的應(yīng)用。它用語言變量代替數(shù)學(xué)變量或?qū)烧呓Y(jié)合應(yīng)用，用模糊條件語句來描述變量間的函數(shù)關(guān)系，用模糊推理來刻畫復(fù)雜的關(guān)系，是具有模擬人類學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力的控制系統(tǒng)。模糊控制的核心是模糊規(guī)則和各種變量的模糊集合表示。一個典型的模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖所示。2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特點2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特點

模糊控制在復(fù)雜的工業(yè)生產(chǎn)控制領(lǐng)域得到了廣泛的成功應(yīng)用，特別是在近二十年來發(fā)展相當(dāng)迅速，這主要歸結(jié)于模糊控制的如下顯著特點：（1）無需建立被控對象的數(shù)學(xué)模型（2）是一種模擬人類知識、思維智慧的控制方法（3）規(guī)則和推理機制易被人所接受、理解，便于進行人機交互（4）控制器構(gòu)造容易（5）控制器魯棒性好2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特點2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特點

模糊控制技術(shù)的特點使其在智能控制中得到成功應(yīng)用。同時也應(yīng)看到，模糊控制技術(shù)的迅速發(fā)展也離不開相關(guān)技術(shù)的進步。這些相關(guān)技術(shù)包括：（1）模糊控制器核心處理單元（2）模糊信息與精確物理信息的轉(zhuǎn)換技術(shù)（3）模糊控制的軟件技術(shù)2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特點2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特點

這些模糊控制的相關(guān)技術(shù)隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)、計算機技術(shù)、電子工藝技術(shù)的發(fā)展而不斷成熟起來。雖然模糊控制技術(shù)的應(yīng)用也取得了驚人的成就，但與傳統(tǒng)控制技術(shù)相比仍然顯得很不成熟。

總體看來，模糊控制是一種更模擬人的智能方法，用模糊邏輯處理和分析現(xiàn)實世界問題，其結(jié)果往往更符合人的要求。用模糊控制更能容忍噪聲干擾和元器件的變化，系統(tǒng)適應(yīng)性更好，模糊控制具有廣闊的應(yīng)用前景。2.1模糊控制2.1.2模糊控制的概念和特點2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念1.

經(jīng)典集合

論域、集合、元素這三個概念之間的關(guān)系是：論域是元素的全體；集合是論域中部分元素的全體；元素要么屬于某集合，用符號∈表示，要么不屬于某集合。表示三者相互關(guān)系的常用符號有：，表示元素a屬于集合A，表示元素a不屬于集合A，表示集合A中的任一元素a，表示集合A中存在元素a2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念，表示元素2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念經(jīng)典集合的表示

經(jīng)典集合有多種表示方法，其中前兩種最常用：（1）列舉法（2）定義法（3）歸納法（4）特征函數(shù)表示法（5）集合運算表示法2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念3．幾種特殊的經(jīng)典集合（1）全集：包含論域中的全部元素的集合，常記為U或E。全集對應(yīng)論域中必然會發(fā)生的事件；（2）空集：不包含任何元素的集合，記為

?？占瘜?yīng)著不可能發(fā)生的事件；（3）子集：如果集合A中的全部元素也都是屬于集合

B的

元素，則A是B的一個子集，記作A

B

，表示集合A包含于B；或記作B

A

，表示集合B包含集合A。若同時有A

B且A

B，則稱A與B相等，記作A＝B。2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念4．經(jīng)典集合的基本運算

令A(yù)和B為論域U上的兩個集合，集合之間的運算可以定義如下，示意圖如2-2。1）并運算A∪B2）交運算A∩B3）補運算

4）差運算A+B2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念(a)A∪B(b)A∩B(c)(d)圖2-2經(jīng)典集合的運算示意圖2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念(a)2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念5．模糊集合的概念

從經(jīng)典集合論擴展延伸，經(jīng)典集合論用0和1的特征函數(shù)值表示元素和集合的關(guān)系，模糊集合論用從0到1閉區(qū)間連續(xù)變化的函數(shù)值描述元素和模糊集合的關(guān)系，用以描述不確定和模糊的事物。模糊集合常用符號

、

等來表示。(a)經(jīng)典集合的邊界(b)模糊集合的邊界圖2-3經(jīng)典集合與模糊集合的邊界對比2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念(a)2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念

定義2-1給定論域U上的一個模糊集

是指：對任何元素

，都存在一個數(shù)

與之對應(yīng)，表示元素u屬于集合

的程度，這個數(shù)稱為元素u對集合

的隸屬度，這個集合稱為模糊集合。

特別地，當(dāng)

的值只有0和1時，模糊集

就蛻化成一個經(jīng)典集合，因此模糊集合可以看作是經(jīng)典集合的擴展。2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念

例2-2一般情況下，把15~25℃的環(huán)境溫度稱為“舒適”溫度，把15℃以下的溫度稱為“涼爽”，25℃以上的稱為“熱”經(jīng)典集合和模糊集合對這三個概念的表示如圖2-4所示。(a)經(jīng)典集合(b)模糊集合圖2-4經(jīng)典集合與模糊集合對溫度“舒適”、“涼爽”和“熱”的定義2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念(a)經(jīng)2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念定義2-2模糊集的支撐集：模糊集

的支撐集是一個（經(jīng)典）集合

，記作suppA。定義2-3

模糊單點：如果模糊集

的支撐集只有一個元素u，且

，則稱

為模糊單點，或單值模糊集。2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念6．模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法有多種：（1）扎德表示法：

其中

為模糊集

的支撐集元素，

為元素

對模糊集

的隸屬度。扎德表示法常用于表示支撐集有有限個元素的模糊集。（2）序偶表示法：（3）向量表示法（2-6）（2-7）（2-8）2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念（2-6）2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念

以上三種方法用于表示支撐集有有限個元素的模糊集，對于支撐集有無限

個元素個數(shù)的模糊集，可以用下面的隸屬度函數(shù)解析表達式表示法。（4）隸屬度函數(shù)解析式表示法：將模糊集合的隸屬度函數(shù)用數(shù)學(xué)解析式來表示，從而表示該模糊集合。例2-4論域U＝[0,100]，模糊集合

為“年老”，

為“年輕”。分別表示這兩個模糊集合。解：設(shè)x表示年齡，模糊集合

、

的隸屬函數(shù)分別為：2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念7．模糊集合的運算設(shè)論域為U，模糊集合

、

，他們之間的并

、交

，以及補運算

定義如下：

定義2-4:模糊集合的并集：若有三個模糊集合

、

、

，如果

，均有

則稱

為

與

的并集，記為

。（

、max均表示取最大值運算）定義2-5:模糊集合的交集：若有三個模糊集合

、

、

，如果

，

均有則稱

為

與

的交集，記為

。（

、min均表示取最小值運算）2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念定義2-6：

模糊集合的補集：若有兩個模糊集合

、

，如果

，均有則稱

為

的補集，記為

。模糊集合的運算示意如圖2-5。圖2-5模糊集合的運算示意圖2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1模糊集的概念圖2-52.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定1．隸屬度函數(shù)

模糊集合通過隸屬度函數(shù)

（MembershipFunction）將其中的元素映射到

區(qū)間，表示該元素屬于此模糊集的程度。隸屬度函數(shù)的取值范圍從經(jīng)典集合的

集合擴大到

區(qū)間，與連續(xù)值邏輯相對應(yīng)，可以更好地描述客觀事物差異的中間漸變過渡模糊性。設(shè)論域

，對于模糊集合“中等”的隸屬度函數(shù)可采用高斯函數(shù)，隸屬度函數(shù)曲線如圖2-6所示。模糊集合“中等”的隸屬度函數(shù)曲線2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定設(shè)2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定2．確定隸屬度函數(shù)的基本原則（1）隸屬度函數(shù)應(yīng)選用單峰函數(shù)，不宜采用多峰函數(shù)。

定義2-7凸模糊集：

，當(dāng)

時，有

則稱模糊集

為凸模糊集。

應(yīng)用于模糊控制的模糊集合一般都是凸模糊集合，表示凸模糊集的隸屬度函數(shù)應(yīng)符合定義2-7，從函數(shù)的圖形曲線上看應(yīng)該是單峰函數(shù)。

圖2-7凸模糊集合的隸屬度函數(shù)2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定（2）對變量選擇模糊集合及其隸屬度函數(shù)通常應(yīng)是對稱和平衡的：在模糊控制系統(tǒng)中，每一個輸入變量（模糊控制中常使用語言變量表示）可以有多個標(biāo)稱值（又稱語言值）。模糊變量的標(biāo)稱值選擇既不能過多又不能過少，一般取3~9個為宜，并且通常取奇數(shù)個。（3）隸屬度函數(shù)要遵從語意順序并避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B：：在相同論域上使用的具有語義順序關(guān)系的若干標(biāo)稱值的模糊集合，例如“速度很低”、“速度低”、“速度適中”、“速度高”、“速度很高”等模糊子集的中心值位置必須按這一順序排列，不能違背常識和經(jīng)驗。圖2-8交叉越界的隸屬度函數(shù)2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定圖2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定（4）隸屬度函數(shù)的選擇需要考慮重疊問題：一個合理的隸屬度函數(shù)的建立需要考慮很多因素，重疊指數(shù)為隸屬度函數(shù)的選擇提供依據(jù)。為了定量研究隸屬度函數(shù)之間的重疊，Motorola的Marsh提出重疊率和重疊魯棒性的概念，并用這兩個指數(shù)來描述隸屬度函數(shù)的重疊關(guān)系：

重疊指數(shù)示意如圖2-9所示重疊率=重疊魯棒性=重疊區(qū)域平均隸屬度2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定重2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)重疊率=0重疊魯棒性=0重疊率=重疊魯棒性重疊率=10/30=0.33重疊魯棒性=0.5重疊率=5/35=0.143重疊魯棒性=0.25圖2-9隸屬度函數(shù)重疊指數(shù)示意圖2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)重疊率=0重疊率=重疊率=10/2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定3．隸屬度函數(shù)的確定（1）專家評分法（2）模糊統(tǒng)計法

利用確定性的實驗來研究不確定的模糊現(xiàn)象，其基本思想是：利用足夠多的隨機試驗，對于要確定的模糊概念在討論的論域中逐一寫出定量范圍，再進行統(tǒng)計處理，以確定能被大多數(shù)人認(rèn)可的隸屬度函數(shù)。確定隸屬度函數(shù)的步驟如下：①選取一個論域U②選擇一個固定的元素

③統(tǒng)計實驗④統(tǒng)計計算⑤選取論域中的其它元素

，按上述步驟③、④求各個

。將隸屬度不為零的元素

和

配成單點，即構(gòu)成下面的單點模糊集

：

2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定

例題2-6模糊概念“青年人”的模糊集合

隸屬度函數(shù)的統(tǒng)計實驗。實驗中要求128位被訪問者盡可能恰當(dāng)?shù)赜?/p>

的年齡上下界限表示“青年人”這一概念的年齡區(qū)間。由于被訪者對“青年人”模糊集

的理解有差異，因此所得到的區(qū)間不完全相同，隨機抽樣的16個實驗數(shù)據(jù)列于表2-1中。年齡區(qū)間年齡區(qū)間年齡區(qū)間年齡區(qū)間年齡區(qū)間年齡區(qū)間年齡區(qū)間年齡區(qū)間18-2815-3018-3015-2816-3516-3014-2516-2818-3016-3020-3020-3516-3018-3017-2815-30表2-1被訪問者返回的“青年人”年齡區(qū)間數(shù)據(jù)（單位：歲）2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定年2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定

采用模糊統(tǒng)計法對實驗統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計計算，論域是

，按（2-14）式分別計算15~35歲對模糊集合“青年人”

的隸屬度，結(jié)果列于表2-2中。年齡(歲)隸屬次數(shù)隸屬度年齡(歲)隸屬次數(shù)隸屬度年齡(歲)隸屬次數(shù)隸屬度15260.20221281.0029800.6316500.39231281.0030770.6017660.52241281.0031270.21181230.96251281.0032270.21191240.97261030.8033260.20201281.00271010.7934260.20211281.0028990.7735200.16表2-2模糊統(tǒng)計計算結(jié)果2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定年2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)項

目數(shù)

據(jù)實驗次數(shù)102030405060708090100110120128隸屬次數(shù)71524314047546270798695101隸屬度0.700.750.800.780.800.780.770.780.780.790.780.790.79表2-3年齡27歲對“青年人”模糊集的統(tǒng)計隸屬度與實驗次數(shù)的關(guān)系“青年人”模糊集的隸屬度函數(shù)曲線將其中

歲對

的隸屬度與實驗次數(shù)n的關(guān)系列于表2-3中。從表2-3可以看出，隨著實驗次數(shù)的增加，隸屬度

最終穩(wěn)定在0.79附近。以年齡為橫坐標(biāo)、隸屬度為縱坐標(biāo)將表2-2的數(shù)據(jù)繪制成“青年人”模糊集的隸屬度函數(shù)曲線，如圖2-10所示。2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)項目數(shù)2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定（3）二元對比排序法

二元對比排序法是一種較實用的隸屬度函數(shù)確定方法，它通過對多個事物之間的兩兩對比來確定其某種特征的順序，由此來決定這些事物對該特征的隸屬度函數(shù)的大體形狀。二元對比排序法根據(jù)對比測度的不同，可分為相對比較法、對比平均法、優(yōu)先關(guān)系定序法和相似優(yōu)先對比法等，下面介紹其中較實用方便的相對比較法。

相對比較法首先列舉出論域U中的元素

，然后對這些元素按某種特征進行排序。排序時先在二元對比中建立比較等級，而后按某種轉(zhuǎn)換算法進行總體排序，以獲得諸元素對于該特性的隸屬度函數(shù)。具體實現(xiàn)方法如下：

設(shè)論域U中的一對元素

，其具有某特征的等級分別為

，即在

和

的二元對比中，如果

具有該特征的程度用

來描述，

則

具有該特征的程度可以用

來描述。并且該二元對比等級數(shù)對的大小必須都在

區(qū)間內(nèi)。2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定另可構(gòu)造出相及矩陣G：推廣到n元的情形，同樣可得到n元相及矩陣：

對相及矩陣G的每一行元素取最小值，并按其值的大小排序，即可得到論域中各元素對該特征的隸屬度函數(shù)大小順序和近似值。（2-15）（2-16）（2-17）2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定另2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4．常用的隸屬度函數(shù)曲線

隸屬度函數(shù)曲線大體可分為三大類：（1）左大右小的偏小型下降函數(shù)（又稱

Z函數(shù)）；（2）左小右大的偏大型上升函數(shù)（又稱S函數(shù)）；（3）對稱型凸函數(shù)（又稱

函數(shù))。其中主要的曲線示意圖如圖2-11所示。圖2-11常用隸屬度函數(shù)曲線2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4．常用的隸屬度函數(shù)曲線圖2-112.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定

三種常用的平滑曲線函數(shù)：（1）高斯函數(shù)（Gauss）：（2）鐘形函數(shù)（Bell）：（3）Sigmoid函數(shù)：（2-18）（2-19）（2-20）圖2-12三種常用曲線平滑的隸屬度函數(shù)曲線2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.2隸屬度函數(shù)及其值的確定（2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系1．模糊關(guān)系的概念

模糊關(guān)系是普通關(guān)系的拓廣和發(fā)展。模糊關(guān)系是通過兩個論域上的笛卡兒積把一個論域A中的元素映射到另一個論域B中去。這兩個論域中序偶間的關(guān)系“強度”是

用隸屬度函數(shù)在單位區(qū)間

上的值來表示的。因此，模糊關(guān)系R是笛卡兒空間

到區(qū)間

的映射，用分別來自論域A、B的序偶

的隸屬度函數(shù)

來表示。

定義2-8：

二元模糊關(guān)系：設(shè)A、B是兩個非空集合，則直積

中

的一個模糊集合

稱為從A到B的一個模糊關(guān)系。模糊關(guān)系

可由其隸屬度完全描述，隸屬度

表明了元素a與元素b具有關(guān)系

的程度。設(shè)有限元素集合

和

，則

的模糊關(guān)系

可用

階矩陣來表示（2-21）2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系完全描述，隸屬2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系

例2-8設(shè)集合A={蘋果、乒乓球、書}，B={籃球、花

、桃、菱形}，

分別表示這些物品，求A和B中物品之間的“相似”程度的模糊關(guān)系。

解：

假設(shè)物品之間完全相似描述為1，完全不相似為0，其余按具體相似程度給出一個0~l之間的數(shù)，就可確定出

的“相似”模糊關(guān)系

。相似abcdx0.70.50.60y0.90.40.50z0000.1相似程度列表模糊關(guān)系矩陣2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系相似abcdx2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系2．笛卡爾積為了建立模糊集間的模糊關(guān)系，可考慮模糊集

和

的直積，記為

：其中

是有序?qū)?/p>

的集合，即

。

定義2-9

笛卡兒積（

算子）

若

分別是論域

中的模糊集，則

的笛卡兒積是在積空間

中的一個模糊集，其隸屬度函數(shù)有直積和代數(shù)積兩種算法：

直積（極小算子）：

代數(shù)積:

對于連續(xù)情況，模糊關(guān)系矩陣可以定義為:（2-23）（2-24）（2-25）（2-22）2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系（2-23）（2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系

例2-9對于模糊條件語句“如果輸入小，則輸出快”，這里“小”、“快”分別為

小

快

求他們的直積、代數(shù)積，試解釋含義。

解：直積為

對比直積與代數(shù)積可以看出，代數(shù)積算子比取小算子產(chǎn)生更平滑的模糊關(guān)系曲面。代數(shù)積為2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系代數(shù)積為2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系3．模糊關(guān)系的合成對于很多控制系統(tǒng)，只依賴單一的條件語句推理是不夠的。因此存在多重推理現(xiàn)象，如“IFTHEN，IFTHEN”這樣一類控制規(guī)則，其輸入變量是

，控制輸出變量是

，對系統(tǒng)進行分析

和

之間是否存在某種直接關(guān)系呢？尋求這種關(guān)系的方法就是模糊關(guān)系的合成。對于普通關(guān)系也存在關(guān)系合成計算，如A和B是父子關(guān)系，B和C是夫妻關(guān)系，則A和C就會形成一種新的關(guān)系，即“公媳關(guān)系＝父子關(guān)系

夫妻關(guān)系”，“

”表示關(guān)系合成運算。推廣到模糊概念域，模糊關(guān)系也存在關(guān)系的合成，其合成的方法是通過模糊關(guān)系矩陣來進行的。2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系例2-10某家庭子女與父母的長相“相似”模糊關(guān)系

，可表示為該家庭父母與祖父母的長相“相似”模糊關(guān)系

也可表示為試分析該家庭孫子、孫女與祖父、祖母的長相“相似”程度。解：模糊關(guān)系的合成運算就是為了解決諸如此類問題而提出來的。模糊關(guān)系

與

合成運算為這一計算結(jié)果表明孫子與祖父、祖母的長相相似程度分別為0.5、0.8,，而孫女與祖父、祖母的相似程度分別為0.5和0.7。父母子0.80.6女0.70.4祖父祖母父0.50.7母0.10.02.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系父母子0.802.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系

定義2-10模糊關(guān)系合成：如果

和

分別為笛卡兒空間

和

上的模糊關(guān)系，則

和

的合成是定義在笛卡兒空間

上的模糊關(guān)系，是一個從論域U到W的模糊關(guān)系，并記為或?qū)⑵潆`屬度函數(shù)的計算簡單表示為：“

”表示模糊關(guān)系合成運算，sup、

均表示取最大值運算，

表示取最小值運算，

表示笛卡爾積，可以是直積、代數(shù)積或有界積中的某一種。2.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.3模糊關(guān)系2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯2.3.2模糊推理2.3.3模糊推理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計模糊控制的核心是模糊控制規(guī)則，模糊規(guī)則庫實質(zhì)上是一些不確定性推理規(guī)則的集合。而控制系統(tǒng)的輸入、輸出都是確定性的數(shù)據(jù)，要實現(xiàn)模糊控制的目標(biāo)，必須研究不確定性推理的規(guī)律，從而能夠由確定性的數(shù)據(jù)輸入按照模糊控制規(guī)則推理得到準(zhǔn)確性的輸出數(shù)據(jù)。模糊邏輯推理是不確定性推理的主要方法之一，最初是由美國科學(xué)家扎德系統(tǒng)地研究和建立了模糊邏輯理論，提出了模糊限定詞、語言變量、語言真值和近似推理等重要概念，制定了模糊推理的規(guī)則，為模糊邏輯理論和應(yīng)用發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計模糊控制的核心是模糊控制規(guī)則2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯1．模糊命題

所謂模糊命題，是指含有模糊概念或者是帶有模糊性的陳述句，模糊命題的真假（真值）就是一個模糊邏輯值，在

區(qū)間內(nèi)。例如，“溫度很高”、“他是個胖子”。

模糊命題比清晰命題更具有廣義性，也更符合人的思維習(xí)慣。相對于二值邏輯的清晰命題而言，模糊命題有如下特點：（1）模糊命題的真值，不是絕對的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隸屬于“真”。因此，其值域不只是二值邏輯的兩個值，而是有多個值，甚至是連續(xù)量。2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯（2）若模糊命題的真值設(shè)為

，則

。當(dāng)一個模糊命題的真值只等于1或者0時，該模糊命題也就是一個清晰命題了。因此可以認(rèn)為，清晰命題只是模糊命題的一個特例。（3）模糊命題的一般形式為“A：eisF”，其中e是模糊變量，或簡稱變量；F是某一個模糊概念所對應(yīng)的模糊集合，模糊命題的真值就由該變量對模糊集合的隸屬程度來表示：

。

時，模糊命題就是二值邏輯的真；

時，模糊命題就是二值邏輯的假。（4）設(shè)論域U，有模糊命題“A：eisF”和

，若

，都有，則稱A為

恒真命題。當(dāng)

時，則為清晰的恒真命題。2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯，則稱A2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯2．模糊邏輯的基本運算

模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯，模糊命題的真值就是隸屬度函數(shù)，所以模糊邏輯的運算也就是隸屬度函數(shù)的運算。設(shè)A、B是兩個模糊單命題，兩個命題的真值分別是

、

，模糊邏輯的基本運算為：（1）與運算（2）或運算（3）非運算（4）模糊邏輯蘊含（5）模糊邏輯等價（6）模糊邏輯有界積（7）模糊邏輯有界和（8）模糊邏輯有界差，其真值為，其真值為，其真值為，其真值為，其真值為2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯，其真值2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯

自然語言是指人們在日常生活和工作中所使用的語言，實際上是以字或詞為符號的一種符號系統(tǒng)。人們通過它描述主客觀事物、概念、行為、情感以及相互間的關(guān)系等，人的控制經(jīng)驗首先是通過自然語言得以描述。

通常，把含有模糊概念的語言稱為模糊語言。扎德首先從語義角度對自然語言進行集合描述，給出了一個集合描述的語言系統(tǒng)，模糊語言也具有它自己的組成要素和語法規(guī)則：（1）單詞：

對于一個給定的論域U，與U相關(guān)的一類單詞就構(gòu)成了一個集合G。語義是通過G到U的對應(yīng)關(guān)系R來表達的，R通常是一個模糊關(guān)系。對于任意一個固定的單

詞

其對應(yīng)的模糊集合

記作：

它是論域U上的一個模糊子集，與單詞a對應(yīng)

，用

表示。（2-28）2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯（2-22.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯

例2-11論域為環(huán)境溫度

，（單位：℃），單詞a為“高溫”，b為“高于28℃”。試將兩個詞匯按語義分別解釋為模糊集合。

解：按“高溫”的常識語義理解，有

模糊集合=“高溫”為：

對“高于28℃”語義理解則非常簡單清晰：

模糊集合=“高于28℃”退化為一個清晰的集合：

由于單詞“高溫”是一個模糊性單詞，所以對應(yīng)的語義是一個模糊集，而“高于28℃”是一個清晰的概念，所以對應(yīng)的是一個清晰的集合。2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯（2）詞組

由連接詞“或”、“且”將兩個或多個單詞連接起來，或者在單詞前面加“非”，就構(gòu)成了詞組。這些連接詞在模糊邏輯上分別對應(yīng)于模糊集合運算的“并運算”、“交運算”和“補運算”。（3）語言算子：

是指語言系統(tǒng)中的一類前綴詞，通常加在一個單詞或者詞組的前面，用來調(diào)整一個詞的詞義，添加了前綴的單詞或詞組被變換成另一個含有新詞義的詞。這些前綴有“非?！?、“大致”、“比較”、“極其”、“十分”、“略微”、“偏向”等。根據(jù)這些語言算子的功能不同，經(jīng)常使用的有如下幾類：

①語氣算子

用來表達語言中某一個單詞或詞組的確定性程度。

語氣算子

的隸屬度函數(shù)表示為：（2-29）2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯（2-22.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯②模糊化算子：

用來使語言中某些具有清晰概念的單詞或詞組的詞義模糊化，或者本身就是模糊概念的詞，使其模糊化程度增加。屬于模糊化算子的前綴詞有“大概”、“近似”等。模糊化算子F的隸屬度函數(shù)表示為：③判斷化算子：

用來使模糊化概念趨向清晰，在模糊中給以粗糙的判斷。加有判斷化算子的詞，原來具有的模糊詞義，將被給予某種程度上的肯定。這類算子有“偏向”、“大半是”、“傾向”等。判斷化算子

根據(jù)隸屬度和閾值α使模糊集

中的模糊值確定化為

取

時，判斷化使模糊值確定為0、1兩個隸屬度，使模糊概念清晰化。（2-30）（2-31）2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.1模糊邏輯（2-32.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理

模糊推理是不確定性推理方法的一種，其基礎(chǔ)是模糊邏輯，它是在二值邏輯三段論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，可以解決自動控制中應(yīng)用模糊規(guī)則的問題。（1）模糊條件語句模糊控制規(guī)則是用模糊語言表示的。模糊控制規(guī)則常用下面三種條件語言的形式來表示：①“如果

，那么

”?；?qū)懽鳎骸?/p>

”，或“

”。模糊集

與

中的論域元素間關(guān)系為：②“如果

，那么

，否則

”?；?qū)懽鳎骸?/p>

”，或“

”模糊集

與

或

中的論域元素間關(guān)系為：（2-32）（2-33）2.3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理（2-3模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理③“如果

且

，那么

”?；?qū)懽鳎骸?/p>

”，或“

”。模糊集

、

和

中的論域元素間關(guān)系為：（2）模糊推理的扎德法：

扎德在1973年對于模糊命題“若

則

”，利用模糊關(guān)系的合成運算提出了一種近似推理的方法，稱為推理的合成法則。其基本原理是：設(shè)模糊蘊含關(guān)系“若

則

”用

表示，且各自論域為U、V，則

是

上的模糊關(guān)系

在確定了這樣的模糊關(guān)系后，有如下模糊推理方法：（2-34）（2-35）模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理（2-34）（2-模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理①模糊取式推理：

已知模糊蘊含關(guān)系

的關(guān)系矩陣

，對于輸入為論域U中的

，可推理得到輸出結(jié)論為論域V中的

。

其中“

”表示模糊關(guān)系合成運算，定義及隸屬度求法見（2-26）和（2-27）式。②模糊拒式推理

已知模糊蘊含關(guān)系

的關(guān)系矩陣

，對于輸出為論域V中的

，可推理得到輸入為論域U中的

。（2-36）（2-37）模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理（2-36）（2-模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理（3）模糊推理的Mamdani方法：

它是在模糊控制中使用最普遍的一種模糊推理方法，它本質(zhì)上仍然是一種合成推理運算，只不過對模糊蘊含關(guān)系取不同的形式而已。Mamdani模糊蘊含關(guān)系

用

和

的直積表示，即有

其具體的模糊取式推理方法、模糊拒式推理方法和在扎德推理法中相同，如（2-36）式和（2-37）式。（2-38）模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理（2-38）模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理（4）模糊推理的強度轉(zhuǎn)移法：

強度轉(zhuǎn)移法是控制系統(tǒng)中模糊量有單調(diào)性時常使用的方法，在不少模糊量具有單調(diào)性的模糊控制系統(tǒng)可以采用這種推理方法。

所謂強度轉(zhuǎn)移法，就是當(dāng)控制系統(tǒng)有精確值輸入時，精確值在條件語句的前件中所得到的語言變量值強度轉(zhuǎn)移到后件的語言變量中去，從而得到推理結(jié)果的方法。這種方法簡單、直觀、容易理解

考慮最普遍的兩輸入、單輸出模糊控制系統(tǒng)的情況。設(shè)輸入量為

、

，輸出量為y，并且它們的語言變量分別用

、

和

表示即

模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理模糊控制規(guī)則可能有多條，但一般形式為：強度轉(zhuǎn)移法的推理步驟為：①求前件語言變量強度②求每條規(guī)則的推理結(jié)果③綜合多個推理結(jié)果求輸出的精確值模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.2模糊推理模糊控制規(guī)則可能有模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.3模糊推理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

模糊推理系統(tǒng)（FIS，F(xiàn)uzzyInferenceSystem）是模糊控制系統(tǒng)的核心，在模糊控制系統(tǒng)中也稱為模糊控制器。它的功能是根據(jù)模糊規(guī)則進行模糊推理，由當(dāng)前的輸入值模糊推理得到反映模糊規(guī)則的輸出。

模糊推理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。系統(tǒng)可以是單輸入、輸出或多輸入、輸出，在模糊控制系統(tǒng)中，常采用兩輸入、單輸出：將設(shè)定值和反饋值的誤差和誤差的微分兩項作為輸入，而將對執(zhí)行機構(gòu)的控制量作為單輸出。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.3模糊推理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.3模糊推理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

模糊推理系統(tǒng)是由數(shù)字計算機來實現(xiàn)的，它主要具備以下三個功能：（1）模糊化：把輸入的精確量轉(zhuǎn)換為模糊量，由模糊化模塊完成；（2）模糊推理：根據(jù)模糊規(guī)則進行模糊推理，由模糊輸入量推理得到模糊輸出量，由模糊推理模塊（或稱推理決策模塊）和模糊規(guī)則庫共同完成；（3）精確化：把模糊推理得到的模糊輸出量轉(zhuǎn)化為實際系統(tǒng)能夠接受的精確數(shù)字量或模擬量，也稱為去模糊化。由精確化模塊（或稱去模糊化模塊）完成。

因此，模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計問題就是模糊化模塊、模糊規(guī)則庫、推理決策模塊和精確化模塊四部分的設(shè)計問題。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.3模糊推理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計1．模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計步驟

模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計可以借助計算機仿真來進行，Matlab軟件提供了圖形化設(shè)計界面和仿真軟件。一般模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計步驟可以分為：（1）模糊推理系統(tǒng)的輸入、輸出定義，確定輸入量的維數(shù)；（2）確定模糊推理方法：比較常用的有Mamdani推理方法和Sugeno推理方法；（3）確定模糊規(guī)則；（4）確定輸入模糊量的隸屬度函數(shù)，設(shè)計模糊化模塊；（5）確定輸出模糊量的隸屬度函數(shù)，設(shè)計精確化模塊；（6）通過計算機仿真查看模糊推理系統(tǒng)的性能，調(diào)整、修改參數(shù)。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計

模糊化模塊設(shè)計包括尺度變換、模糊空間分割和隸屬度函數(shù)的選擇。（1）尺度變換：在模糊化處理中，首先需要對輸入精確量進行尺度變換，使其變換到相應(yīng)的論域范圍。變換的方法多采用線性變換。例如，若實際的輸入量為

，其變化范圍為

，要求的論域為

，采用線性變換的尺度變換后的輸入量

為：其中k為線性尺度變換比例因子：若要將連續(xù)輸入量x在論域

內(nèi)離散化為n級離散值，則有量化因子k為：輸入x的量化值j為：“

”算子表示向下取整。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計在模糊化模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計（2）模糊空間分割

模糊空間分割就是在輸入、輸出論域上分別定義若干個模糊集合，或者說確定對于每個語言變量取值的模糊語言名稱的個數(shù)。模糊分割的個數(shù)決定了模糊控制精細化的程度。這些語言名稱通常均具有一定的含義，例如常用的7級對稱模糊空間分割，從小到大的模糊集合名稱分別為：NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB。

圖2-15給出了兩個模糊分割的例子，論域均為

，隸屬度函數(shù)的形狀為三角形或梯形。圖2-15（a）為模糊分割較粗的情況，圖2-15（b）為模糊分割較細的情況。(a)3級粗分(b)7級細分圖2-15模糊空間兩個不同分割級數(shù)的例子模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計(a)模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計（3）隸屬度函數(shù)的選擇：元素模糊集-6-5-4-3-2-10123456NB1.00.70.3NM0.30.71.00.70.3NS0.30.71.00.70.3ZE0.30.71.00.70.3PS0.30.71.00.70.3PM0.30.71.00.70.3PB0.30.71.0

根據(jù)論域為離散和連續(xù)的不同情況，隸屬度函數(shù)的描述分別使用數(shù)值描述法和函數(shù)描述法。

當(dāng)論域為離散，且元素個數(shù)為有限時，模糊集合的隸屬度函數(shù)可以用向量或者表格的形式來表示，這在實際模糊控制系統(tǒng)中很常見。表2-4給出了一個用表格表示隸屬度函數(shù)的例子。

對于論域為連續(xù)的情況，隸屬度常常用函數(shù)的形式來描述，最常見的有高斯函數(shù)、鐘形函數(shù)、三角形函數(shù)、梯形函數(shù)等。表2-4數(shù)值描述方法的隸屬度函數(shù)模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計元素-6模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計3．模糊規(guī)則庫的建立

模糊規(guī)則庫的建立大致有四種方法：專家經(jīng)驗法、觀察法、基于模糊模型法和自組織法。（1）專家經(jīng)驗法：專家經(jīng)驗法既是很自然的方法又是主觀性較強的方法，它通過對專家控制經(jīng)驗的咨詢形成控制規(guī)則庫。（2）觀察法：通過觀察人類控制行為并將其控制的思想提煉出一套基于模糊條件語言類型的控制規(guī)則從而建立模糊規(guī)則庫的途徑就是觀察法的基本思路。（3）基于模糊模型的方法：通過建立被控對象的模糊模型來實現(xiàn)，即用“IF-THEN”模糊條件語句來描述被控對象的動態(tài)特性。在模糊控制中，被控對象的模型是運用多個控制規(guī)則來描述的，其推理控制規(guī)則是分散的，所以有其獨特的性質(zhì)。（4）自組織法：自組織模糊控制器能夠在沒有先驗知識和很少有先驗知識的情況下通過對觀察系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立控制規(guī)則庫。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計4．模糊推理方法的確定

模糊推理系統(tǒng)的模糊推理方法主要有Mamdani推理和Sugeno推理（或稱為Takagi-Sugeno推理）。兩種類型也不是截然區(qū)分的，如果模糊規(guī)則后件采用單點模糊集，則Mamdani推理可以認(rèn)為是一種零階Takagi-Sugeno推理。Mamdani推理和Takagi-Sugeno推理在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。（1）Mamdani推理：Mamdani模糊推理是英國曼丹尼（E.H.Mamdani）博士在1974年提出，并成功應(yīng)用于模糊控制系統(tǒng)，是最常用的模糊推理方法之一。Mamdani推理通常也被稱為傳統(tǒng)模糊推理方法，相應(yīng)的控制器也被稱為傳統(tǒng)的模糊控制器。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計

多輸入、單輸出（MISO）的Mamdani模糊推理的模糊規(guī)則形式為：

其中

表示N條模糊規(guī)則，

為輸入變量（前件），其論域分別為

；

是前件變量的模糊集合；y為模糊推理系統(tǒng)的輸出（后件），論域為Y，

是輸出變量的模糊集合。

按Mamdani推理，每條模糊規(guī)則為直積空間

上的一個模糊關(guān)

系

：

其中

為由矩陣

轉(zhuǎn)置后依列序構(gòu)成的

行列矩陣。N條模糊規(guī)則全體構(gòu)成的模糊關(guān)系為：（2-53）（2-54）（2-55）模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計（2-5模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計

對于一組輸入值

，模糊推理的結(jié)論為：其中

為由矩陣

依行序構(gòu)成的

列行矩陣。

“

”為合成算子（aggregation）。對于模糊蘊含關(guān)系運算，扎德和曼丹尼等學(xué)者提出了不同的定義，在模糊控制中常用的是曼丹尼提出的取小“

”運算和拉爾森（P.M.Larsen）提出的乘積運算。對于合成運算，也有多種不同選擇，如“

”（取小

取大）、“

”（取大

乘）、“

”（有界和

取?。ⅰ?/p>

”（有界和

乘）等。其中有界和的定義為：

對于Mamdani推理，模糊算子選擇不同的算法，模糊推理系統(tǒng)的性能以至模糊控制系統(tǒng)的性能都將不同。在實際應(yīng)用中，比較常用模糊關(guān)系選擇取小“

”、合成算子選擇取小

取大“

”。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計

例2-14兩輸入單輸出系統(tǒng)，輸入變量為

、

，輸出變量為y。輸入變量

的論域為

，輸入變量

的論域為

，輸出變量y的論域為

，對于各論域上的模糊集

（?。?、

（負）和

（大）：

模糊規(guī)則（如果

是小，且

是負，則y是大。）求輸入輸出模糊關(guān)系。并求當(dāng)

為（略小）、

為

時，輸出模糊變量是多少？模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計（如果模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計解：先根據(jù)模糊規(guī)則，求模糊關(guān)系矩陣。按（2-54）式得再根據(jù)合成推理方法，求輸入

為

、

為

時的輸出

：此時的輸出為

，可以理解為“較大”。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計再根據(jù)合模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計5．精確化模塊設(shè)計

通過模糊推理得到的結(jié)果是一個模糊集合。但在實際應(yīng)用中，特別是在模糊控制中，必須要有一個確定的值才能去控制或驅(qū)動執(zhí)行機構(gòu)。從推理得到的模糊集合來確定一個能最佳反映這個模糊推理結(jié)果的精確值的過程就稱為精確化過程（又稱為去模糊化）。常用的精確化計算方法有以下三種：（1）最大隸屬度函數(shù)法：

簡單地選取所有規(guī)則推理結(jié)果的模糊集合中隸屬度最大的那個元素作為輸出值。即為模糊推理輸出的模糊集，其論域為Y。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計為模糊推模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計

如果在輸出論域Y中，其最大隸屬度函數(shù)對應(yīng)的輸出值多于一個時，簡單的方法是取所有具有最大隸屬度的元素平均值，即：

為模糊集中J個具有相同最大隸屬度的不同元素值，J為模糊集中具有相同最大隸屬度的不同元素的數(shù)量。

最大隸屬度函數(shù)法不考慮輸出隸屬度函數(shù)的形狀，只關(guān)心輸出模糊集最大隸屬度值處的精確值。因此，難免會丟失許多信息。但它的突出優(yōu)點是計算簡單。所以在一些控制精度要求不高的場合，采用最大隸屬度函數(shù)法是非常方便的。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計（2）重心法：

重心法是取模糊隸屬度函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)圍成面積的重心為模糊推理的最終輸出精確值：對于具有m個輸出量化級數(shù)的離散論域情況，模糊量精確化為：

與最大隸屬度法相比較，重心法具有更平滑的輸出推理控制。即對應(yīng)于輸入信號的微小變化，其模糊推理的最終輸出精確值也會發(fā)生一定的變化，且這種變化明顯比最大隸屬度要平滑。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計對于具有模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計（3）加權(quán)平均法：

加權(quán)平均法的最終輸出值是由下式?jīng)Q定的：

這里的系數(shù)

的選擇要根據(jù)實際情況而定，不同的系數(shù)就決定系統(tǒng)有不同的響應(yīng)特性。當(dāng)該系數(shù)

取相應(yīng)的隸屬度

時，就轉(zhuǎn)化為重心法了。在模糊邏輯控制中，可以選擇和調(diào)整該系數(shù)來改善系統(tǒng)的相應(yīng)特性。

精確化計算的方法還有很多，如取中位數(shù)法、取左大法、取右大法、取大平均法等?？偟膩碚f，精確化計算方法的選擇與隸屬度函數(shù)的形狀選擇、推理方法的選擇都是相關(guān)的。面積重心法對于不同的隸屬度函數(shù)形狀會有不同的推理輸出結(jié)果。而最大隸屬度函數(shù)法對隸屬度函數(shù)的形狀變化不敏感。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計6．模糊推理系統(tǒng)設(shè)計舉例

下面舉一個基于MATLAB模糊工具箱的模糊推理系統(tǒng)設(shè)計：雙輸入、單輸出小費問題。假設(shè)中等小費是15％，小費高是25％，小費低是5％。

例2-15：

用0至10之間的一個數(shù)表示某次就餐的服務(wù)質(zhì)量，數(shù)值越大表示服務(wù)質(zhì)量越好；另用0至10之間的一個數(shù)表示該次就餐的餐飲質(zhì)量，同樣數(shù)值越大表示餐飲越美味可口。根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)，小費應(yīng)付多少比較合適？

解：按2.3.4.1節(jié)介紹的模糊推理系統(tǒng)設(shè)計步驟進行：

（1）很顯然本系統(tǒng)是一個兩輸入、單輸出系統(tǒng)：輸入為service、food，輸出為tip；

（2）先確定采用Mamdani推理方法；

（3）根據(jù)經(jīng)驗歸納得到模糊規(guī)則三條：模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計

①如果服務(wù)差或餐飲質(zhì)量差，那么小費低。

②如果服務(wù)中等，那么小費中等。

③如果服務(wù)優(yōu)秀或餐飲美味可口，那么小費高。

（4）設(shè)計模糊化模塊：兩個輸入變量的論域均為

，輸出為

，由于論域范圍易于模糊化處理，所以可以不做尺度變換。

根據(jù)模糊規(guī)則中出現(xiàn)的語言值，模糊空間分割為：輸入service分為：poor、good和excellent三個模糊集；輸入food分為：rancid和delicious兩個模糊集；輸出tip分為：cheap、average和generous三個模糊集。相應(yīng)的隸屬度函數(shù)為高斯函數(shù)、梯形函數(shù)和三角形函數(shù)，隸屬度函數(shù)曲線為：模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計圖2-16模糊輸入的隸屬度函數(shù)曲線（5）設(shè)計精確化模塊：采用重心法；（6）計算機仿真、調(diào)試：如圖2-18為輸入、輸出關(guān)系曲面。圖2-19為輸入為service=6、food=8時的模糊推理示意圖，得到的輸出為tip=19.4（%）。圖2-18FIS的輸入輸出關(guān)系曲面圖2-17模糊輸出的隸屬度函數(shù)曲線模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計圖2-1模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計

本例的FIS若采用T-S模糊推理方法，則輸出不必采用模糊集合，而是直接推理得到精確值輸出。模糊規(guī)則將變?yōu)椋?/p>

①ifserviceispoororfoodisrancidthentip=5。

②ifserviceisgoodthentip=15。

③ifserviceisexcellentorfoodisdeliciousthentip=25。

可見T-S模糊推理的模糊規(guī)則后件是精確值或函數(shù)。采用T-S推理建立的FIS的輸入輸出關(guān)系與圖2-18非常近似，當(dāng)然也存在差別。圖2-20是輸入同樣為service=6、food=8時的T-S模糊推理示意圖，得到的輸出為tip=18.9（%）。模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計圖2-19給定輸入下的模糊推理示意圖模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計圖2-1模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計圖2-20相同輸入下的T-S模糊推理示意圖模糊推理系統(tǒng)原理及設(shè)計2.3.4模糊推理系統(tǒng)的設(shè)計圖2-22.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.1模糊控制系統(tǒng)的組成2.4.2模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計2.4.3模糊控制的快速查表法2.4.4模糊PID控制2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.1模糊控制系統(tǒng)的2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.1模糊控制系統(tǒng)的組成

圖2-21模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖根據(jù)被控制對象輸入、輸出變量的多少又可分為單輸入、單輸出（SISO）結(jié)構(gòu)和多輸入、多輸出（MIMO）結(jié)構(gòu)。2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.1模糊控制系統(tǒng)的2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.2模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計1.模糊化模塊設(shè)計

在模糊空間分割上，根據(jù)控制精度的要求，一般可選擇將模糊空間分割為：

3級：N（負）、Z（零）、P（正）；

5級：NB（負大）、NS（負?。?、ZE（零）、PS（正小）、PB（正大）；

7級：NB（負大）、NM（負中）、NS（負小）、

ZE（零）、PS（正?。?、PM（正中）、PB（正大）。2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.2模糊控制系統(tǒng)的2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.2模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計2.模糊規(guī)則庫的的建立表2-5模糊控制規(guī)則表edeNBNSZEPSPBNBPBPBPMPSNBNSPBPMPSZENBZEPBPSZENSNBPSPBZENSNMNBPBPBNSNMNBNB

上表中每個單元格表示一條模糊規(guī)則。相鄰單元格有相同輸出時多條規(guī)則可以簡化合并為一條規(guī)則。如第5列的5條規(guī)則可以簡化為1條：ifeisPBthenuisNB2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.2模糊控制系統(tǒng)的2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.2模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計3.模糊推理方法的確定（1）首先根據(jù)模糊規(guī)則確定輸入輸出的模糊關(guān)系。（2）然后進行模糊推理，由實際的模糊輸入推理得到模糊輸出，這時采用模糊合成運算，4.模糊化模塊設(shè)計對于具有m個輸出量化級數(shù)的離散論域情況，控制器模糊量精確化為：其中，是輸出論域的各元素精確值，為模糊推理得到的模糊輸出值的各元素的隸屬度，u是精確化后得的模糊控制器的輸出。2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.2模糊控制系統(tǒng)的2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.3模糊控制的快速查表法圖2-22快速查表法模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.3模糊控制的快速2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.3模糊控制的快速查表法例2-16利用電加熱器的電壓控制加熱速度，來實現(xiàn)控制對象的溫度控制。溫度誤差e的論域范圍為，誤差變化de的論域范圍為，控制輸出u的論域范圍為。設(shè)計模糊控制表，查詢根據(jù)當(dāng)前的溫度誤差e和誤差變化de應(yīng)采取的控制電壓輸出u的值。

解：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2-22，考慮控制精度要求，將輸入輸出變量均量化為9級離散值，該模糊控制表設(shè)計步驟為：（1）確定模糊控制器的輸入、輸出變量及其量化因子：模糊控制器選用系統(tǒng)的實際溫度T與溫度給定值的誤差2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.3模糊控制的快速2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.3模糊控制的快速查表法及其誤差變化de作為輸入變量，把控制加熱裝置的供電電壓u選作輸出變量。這樣構(gòu)成了一個二維模糊控制器。取三個輸入輸出變量的量化等級都為9級，即尺度變換后的論域為按（2-46）式，各量化因子為：2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.3模糊控制的快速2.4模糊控制原理及系統(tǒng)設(shè)計2.4.3