山西省大同市宣家塔中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山西省大同市宣家塔中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；等比關(guān)系的確定．【分析】由題意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列可得到e2==，從而得到答案．【解答】解：設(shè)該橢圓的半焦距為c，由題意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此橢圓的離心率為．故選B．2.給出命題：(1)在空間里，垂直于同一平面的兩個平面平行；(2)設(shè)l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α；(3)已知α，β表示兩個不同平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，若m⊥β，則α⊥β；(4)a，b是兩條異面直線，P為空間一點(diǎn)，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行。其中正確命題個數(shù)是

()A．0

B.1 C.2

D.3參考答案：C3.已知雙曲線，M，N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上的動點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值為1，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】先假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，利用點(diǎn)差法，可得斜率之間為定值，再利用|k1|+|k2|的最小值為1，即可求得雙曲線的離心率．【解答】解：由題意，可設(shè)點(diǎn)M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．∴，且．兩式相減得．再由斜率公式得：k1k2=．∵|k1|+|k2|根據(jù)|k1|+|k2|的最小值為1，可知∴故選B．【點(diǎn)評】本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用點(diǎn)差法，求得斜率之積為定值．4.已知與之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：123456021

34

假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為．若某同學(xué)根據(jù)上表中前兩組數(shù)據(jù)，和，求得的直線方程為，則以下結(jié)論正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)。今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)A、B是它的兩個焦點(diǎn)，其中焦距為2c，長軸長為2a，當(dāng)放在點(diǎn)A處的小球被擊出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后再回到點(diǎn)A時，小球經(jīng)過的路程是（

）（A）4a

（B）2(a–c)

（C）2(a+c)

（D）以上答案均有可能參考答案：D6.當(dāng)時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于：(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D7.設(shè)a＞0，b＞0．若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A．8 B．4 C．1 D．參考答案：B【考點(diǎn)】基本不等式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由題設(shè)條件中的等比關(guān)系得出a+b=1，代入中，將其變?yōu)?+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因?yàn)?a?3b=3，所以a+b=1，，當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”成立，故選擇B．8.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用雙曲線的定義和已知即可得出|PF1|，|PF2|，進(jìn)而確定最小內(nèi)角，再利用余弦定理和離心率計(jì)算公式即可得出．【解答】解：不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|，則|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．則∠PF1F2是△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化為=0，解得．故選C．【點(diǎn)評】熟練掌握雙曲線的定義、離心率計(jì)算公式、余弦定理是解題的關(guān)鍵．9.橢圓的兩個焦點(diǎn)是F1(－1,0),F2(1,0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則該橢圓方程是（）A.＋＝1

B.＋＝1

C.＋＝1

D.＋＝1參考答案：C10.設(shè)表示平面，表示直線，給定下列四個命題：（

）①；

②;③④.其中正確命題的個數(shù)有（

）A、1個

B、2個

C、3個

D、4個參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓+=1（a＞b＞0）與圓x2+y2=（+c）2（c為橢圓半焦距）有四個不同交點(diǎn)，則離心率的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由圓的方程求得圓的半徑，要使橢圓與圓有四個不同交點(diǎn)，則圓的半徑大于橢圓短半軸小于橢圓長半軸長，由此得到不等式求得橢圓離心率的范圍．【解答】解：由圓x2+y2=（+c）2是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，∴要使橢圓+=1（a＞b＞0）與圓x2+y2=（+c）2有四個不同交點(diǎn)，則，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；聯(lián)立，解得或e＞1（舍）．∴橢圓離心率的取值范圍是．故答案為：．12.對于大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如圖方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的數(shù)是______，若m3的“分裂”中最小的數(shù)是211，則m的值為______．參考答案：

9

15【分析】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)：在n2中所分解的最大的數(shù)是2n-1；在n3中，所分解的最小數(shù)是n2-n+1．再根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)：在n2中所分解的最大的數(shù)是2n-1；在n3中，所分解的最小數(shù)是n2-n+1．根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可求52分裂中，最大數(shù)是5×2-1=9；若m3的“分裂”中最小數(shù)是211，則n2-n+1=211n=15或-14（負(fù)數(shù)舍去）．故答案為：9；15．13.已知數(shù)列滿足則的最小值為_________．參考答案：略14.已知則數(shù)列的前n項(xiàng)和=

.參考答案：15.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的公差為_______．參考答案：

解析：，即，而，相減得．16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，，若△ABC是正三角形，則直線A1D和平面ABC所成的角的大小是__________.參考答案：30°.【分析】首先找出線面角，然后結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得線面角的大小.【詳解】如圖所示，連結(jié)AD，由題意可知即為直線和平面所成的角.不妨設(shè)，則，，即直線和平面所成的角的大小是.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面角的求解，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.17.甲、乙兩個小組各10名學(xué)生的英語口語測試成績的莖葉圖如圖所示．現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲小組學(xué)生”記為事件A；“抽出的學(xué)生英語口語測試成績不低于85分”記為事件B．則的值是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時，求函數(shù)f(x)的極值；（2）若函數(shù)f(x)有三個不同的零點(diǎn)，求c的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時，∴

令，解得，或

∴當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

0

-

0

+

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

所以，當(dāng)時，有極大值；當(dāng)時，有極小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)只須

解得，

∴當(dāng)時，函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)

19.某種汽車購買時費(fèi)用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共0.9萬元，汽車的維修費(fèi)為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增．（Ⅰ）設(shè)使用n年該車的總費(fèi)用（包括購車費(fèi)用）為f（n），試寫出f（n）的表達(dá)式；（Ⅱ）求這種汽車使用多少年報廢最合算（即該車使用多少年平均費(fèi)用最少）．參考答案：【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；數(shù)列的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；應(yīng)用題．【分析】（I）由已知中某種汽車購買時費(fèi)用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共0.9萬元，汽車的維修費(fèi)為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可得到f（n）的表達(dá)式；（II）由（I）中使用n年該車的總費(fèi)用，我們可以得到n年平均費(fèi)用表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，我們易計(jì)算出平均費(fèi)用最小時的n值，進(jìn)而得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）依題意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n

…=…=0.1n2+n+14.4…（Ⅱ）設(shè)該車的年平均費(fèi)用為S萬元，則有…=++1≥2+1=2×1.2+1=3.4僅當(dāng)，即n=12時，等號成立．…故：汽車使用12年報廢為宜．…【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，數(shù)列的應(yīng)用，其中（I）的關(guān)鍵是由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得到f（n）的表達(dá)式，（II）的關(guān)鍵是根據(jù)基本不等式，得到函數(shù)的最小值點(diǎn)．20.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知f（x）在定義域上為減函數(shù)，若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0（k為常數(shù)）恒成立．求k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題；3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）利用奇函數(shù)定義f（﹣x）=﹣f（x）中的特殊值求a，b的值；（Ⅱ）首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）是定義在R的奇函數(shù)，所以f（﹣x）=﹣f（x）令x=0，f（0）=﹣f（0），f（0）=0令x=1，f（﹣1）=﹣f（1），所以，解得：；（Ⅱ）經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=2，b=1時，f（x）為奇函數(shù)．所以f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）因?yàn)閒（x）在R上單調(diào)減，所以t2﹣2t＞k﹣2t2即3t2﹣2t﹣k＞0在R上恒成立，所以△=4+4?3k＜0所以k＜﹣，即k的取值范圍是（﹣∞，﹣）．21.已知f（x）=1﹣lnx﹣x2（Ⅰ）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）求曲線f（x）的切線的斜率及傾斜角α的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（2）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率及傾斜角α的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=1﹣lnx﹣x2，∴f′（x）=﹣﹣x，x=1時，f′（1）=﹣，f（1）=，∴曲線f（x）在x=1處的切線方程為y﹣=﹣（x﹣1），即10x+8y﹣17=0；（2）x＞0，f′（x）=﹣﹣x≤﹣1，∴曲線C在點(diǎn)P處切線的斜率為﹣﹣x，傾斜角α的取值范圍為（，]．22.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對任意的都有，數(shù)列滿足.（1）分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正實(shí)數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在請指出的取值范圍，并證明；若不存在請說明理由．參考答案：（1）

……………1分

時滿足上式，故

……………2分∵=1∴

……………3分∵

①∴

②∴①+②，得

……………5分（2）∵，∴

………