復變函數(shù)課件第三章復變函數(shù)的積分

復變函數(shù)課件第三章復變函數(shù)的積分第1頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月

暨南大學復變函數(shù)教學課件DepartmentofMathematics第一節(jié)

復積分的概念及其簡單性質

1、復變函數(shù)積分的的定義2、積分的計算問題3、基本性質第2頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章復變函數(shù)的積分

同微積分一樣，在復變函數(shù)中，積分法也是研究復變函數(shù)性質十分重要的方法．在解決實際問題中也是有力的工具．本章先介紹復變函數(shù)積分的概念，性質和計算方法然后介紹關于解析函數(shù)積分的柯西－古薩基本定理及其推廣，有了這些基礎，我們建立柯西積分公式，最后證明解析函數(shù)的導數(shù)仍是解析函數(shù)，從而導出高階導數(shù)公式第3頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月1、復變函數(shù)積分的定義

設在復平面C上有一條連接及Z兩點的簡單曲線C。設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的連續(xù)函數(shù)。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實部及虛部。把曲線C用分點分成n個更小的弧，在這里分點是在曲線C上按從到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一點，那么考慮和式第4頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月復變函數(shù)的積分第5頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月復變函數(shù)的積分分實部與虛部，有或者在這里分別表示的實部與虛部。第6頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月復變函數(shù)的積分按照關于實變函數(shù)的線積分的結果，當曲線C上的分點個數(shù)無窮增加，而且時，上面的四個式子分別有極限：這時，我們說原和式有極限第7頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月復變函數(shù)的積分這個極限稱為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分，記為因此，我們有第8頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月復變函數(shù)的積分如果C是簡單光滑曲線：，并且，那么上式右邊的積分可以寫成黎曼積分的形式，例如其中第一個可以寫成因此，我們有第9頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月復變函數(shù)的積分我們可以看到，把dz形式地換成微分，就直接得到上式，因此有當是分段光滑簡單曲線時，我們仍然可以得到這些結論。第10頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月2復變函數(shù)積分的性質：復變函數(shù)積分的基本性質：設f(z)及g(z)在簡單曲線C上連續(xù)，則有（1）（2）（3）其中曲線C是由光滑的曲線連接而成；（4）積分是在相反的方向上取的。第11頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月復變函數(shù)積分的性質：如果C是一條簡單閉曲線，那么可取C上任意一點作為取積分的起點，而且積分當沿C取積分的方向改變時，所得積分相應變號。（5）如果在C上，|f(z)|<M，而L是曲線C的長度，其中M及L都是有限的正數(shù)，那么有，證明：因為兩邊取極限即可得結論。第12頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例1例1、設C是連接及Z兩點的簡單曲線，那么如果是C閉曲線，即，那么積分都是零。第13頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解又解Aoxy第14頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解oxyrC第15頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

第16頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月oxy例4解第17頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月解:例4第18頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月本節(jié)結束謝謝！第19頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)柯西積分定理3.2.1Cauchy積分定理3.2.2Cauchy定理的推廣3.2.3復周線情形的Cauchy定理3.2.4小結與思考3.2.4不定積分第20頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月引言:目的研究復積分與路徑的無關性:由例3.1受到的啟發(fā)積分與路徑無關與函數(shù)沿著圍線的積分值為零有何關系首先:若復積分與路徑無關,則對任意圍線C,ab在其上任取兩點按a(起點),b(終點)CC2C1將曲線C分成兩部分因為積分與路徑無關,所以:第21頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月結論1:若函數(shù)f(z)的積分與路徑無關,反之:若對任意圍線C,f(z)沿著C的積分為零,若復積分與路徑無關,則對任意兩條以a為起點,b為終點的曲線C1,C2,令:C2C1ab則C是周線，從而：結論2:函數(shù)f(z)的積分與路徑無關,第22頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察上節(jié)例3.1觀察上節(jié)例3.2目的研究復積分與路徑的無關性:轉換為研究函數(shù)沿著周線的積分為零:第23頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月由以上討論可知,積分是否與路線有關,可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.受此啟發(fā),Cahchy與1825年給出如下定理1900,法國數(shù)學家Goursat給出如下定理:如果f(z)A(D)f'(z)A(D)f'(z)C(D),這樣就得到了定理3.3第24頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.單連通區(qū)域的Cauchy積分定理定理3.3柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡單曲線.此定理常稱為柯西積分定理.柯西介紹古薩介紹第25頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月不必是簡單閉曲線推論3.4柯西定理推論3.5柯西定理3.2.2Cauchy定理的推廣第26頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月與定理3.3等價的形式是:如果周線C的內部

是區(qū)域,(I(C)=D)定理3.9如果C是周線,I(C)=D是區(qū)域定理3.3第27頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解根據(jù)柯西定理,有例2證由柯西－古薩定理,第28頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月由柯西－古薩定理,由上節(jié)例4可知,第29頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解根據(jù)柯西－古薩定理得第30頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.4復周線情形的Cauchy定理根據(jù)本章第一節(jié)例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.第32頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月1.閉路變形原理︵︵第33頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月︵︵︵︵︵︵︵︵第34頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月得︵︵︵︵第35頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點.第36頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月2.復周線情形的Cauchy定理則稱C+C1-+C2-+···+Cn-為復圍線,D為其內部,記為I(D).第37頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月這個定理是計算周線內部有奇點的積分的有利武器!!!第38頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月解依題意知,例4根據(jù)復合閉路定理3.10,打洞!第39頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式第40頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例5

解圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,第41頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例6解第42頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月由復合閉路定理,此結論非常重要,用起來很方便,因為C不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線C內即可.重要積分公式例3.2第43頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例7解由上例可知第44頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.4原函數(shù)與不定積分定理3.5由定理3.5可知:解析函數(shù)在單連通域內的積分只與起點和終點有關,(如下頁圖)1.帶活動上限的積分:第45頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.6證利用導數(shù)的定義來證.定理3.6第47頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)由于積分與路線無關,第48頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月由積分的估值性質,第50頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.[證畢]第51頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)積分與路線無關,定理3.6可以改寫為:定理3.7(1)f(z)在D內的積分與路線無關,由于在證明過程中只用到了兩個結論:第52頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關系:證第53頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月那末它就有無窮多個原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]第54頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月3.不定積分的定義:定理3.8(復積分的Newton-Leibnitz公式)第55頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月證根據(jù)柯西基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學中類似的方法去計算.第56頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例8解由牛頓-萊布尼茲公式知,例9解使用“湊微分”第57頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例10解由牛頓-萊布尼茲公式知,第58頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例10另解使用:“分部積分法”第59頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例11解利用分部積分法可得課堂練習答案第60頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例12解第61頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例13解所以積分與路線無關,根據(jù)N-L公式:第62頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.5小結與思考1.通過本課學習,重點掌握柯西－古薩基本定理:并注意定理成立的條件.第63頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月2.本課所講述的復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理,掌握并能靈活應用它是本章的難點.常用結論:3.本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學習中應注意與《高等數(shù)學》中相關內容相結合,更好的理解本課內容.第64頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題:1.應用柯西–古薩定理應注意什么?答案:(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.第65頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月2.復合閉路定理在積分計算中有什么用?要注意什么問題?答案利用復合閉路定理是計算沿閉曲線積分的最主要方法.使用復合閉路定理時,要注意曲線的方向.第66頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月3.解析函數(shù)在單連通域內積分的牛頓–萊布尼茲公式與實函數(shù)定積分的牛頓–萊布尼茲公式有何異同?答案兩者的提法和結果是類似的.兩者對函數(shù)的要求差異很大.第67頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料第68頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古薩資料第69頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月本節(jié)結束謝謝！第70頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)柯西積分公式及其推論1第三節(jié)柯西積分公式解析函數(shù)的無窮可微性柯西不等式與劉維爾定理摩勒拉定理第71頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.5柯西積分公式若f(z)在D內解析，則分析：.定理(柯西積分公式)如果f(z)在區(qū)域D內處處解析,C為D內的任何一條正向簡單閉曲線,它的內部完全含于D,z0為C內的任一點,則---解析函數(shù)可用復積分表示。第72頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當|z-z0|<d時,|f(z)-f(z0)|<e.設以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內部,且R<d.DCKzz0R根據(jù)閉路變形原理,該積分的值與R無關,所以只有在對所有的R積分為值為零才有可能。第73頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1如果C是圓周z=z0+Reiq,則柯西積分公式成為------一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論2設f(z)在二連域D內解析，在邊界上連續(xù)，則第74頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解：

第75頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月第76頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.6解析函數(shù)的高階導數(shù)一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù),而且有各高階導數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示.這一點和實變函數(shù)完全不同.一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導,它的導數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導數(shù)存在了.關于解析函數(shù)的高階導數(shù)我們有下面定理:第77頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

解析函數(shù)f(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導數(shù)為:其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內圍繞z0的任何一條正向簡單曲線,而且它的內部全含于D.[證]設z0為D內任意一點,先證n=1的情形,即因此就是要證第78頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月按柯西積分公式有因此第79頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)要證當Dz0時I0,而f(z)在C上連續(xù),則有界,設界為M,則在C上有|f(z)|M.d為z0到C上各點的最短距離,則取|Dz|適當?shù)匦∈蛊錆M足|Dz|<d/2,因此這就證得了當Dz0時,I0.Dz0dC第80頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月這就證得了再利用同樣的方法去求極限:依此類推,用數(shù)學歸納法可以證明:高階導數(shù)公式的作用,不在于通過積分來求導,而在于通過求導來求積分.第81頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.[解]1)函數(shù)在C內的z=1處不解析,但cospz在C內卻是處處解析的.第82頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月3柯西不等式與劉維爾定理：定理4.3設函數(shù)f(z)在以為邊界的閉圓盤上解析，那么其中第83頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4.3的證明：證明：令是圓那么，由導數(shù)公式，有其中，n=0,1,2,…;0!=1。第84頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月注解：注解1、上面的不等式稱為柯西不等式。注解2、如果在C上解析，那么我們稱它為一個整函數(shù)，例如等。關于整函數(shù)，我們有下面重要的劉維爾定理第85頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月劉維爾定理：定理4.4：有界整函數(shù)一定恒等常數(shù)證明：f(z)是有界整函數(shù)，即存在使得f(z)在上解析。由柯西公式，有令，可見從而f(z)在C上恒等于常數(shù)。

第86頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月4莫勒拉定理：5、莫勒拉定理：應用解析函數(shù)有任意階導數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，定理5.1如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內連續(xù)，并且對于D內的任一條簡單閉曲線C，我們有那么f(z)在區(qū)域D內解析。第87頁，課件共95頁，創(chuàng)作于2023年2月莫勒拉定理：證明