復(fù)變函數(shù)第四章泰勒級(jí)數(shù)

復(fù)變函數(shù)第四章泰勒級(jí)數(shù)第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月證明思路：根據(jù)定理前提條件,知第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）如果

f(z)在z0解析,則使

f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑

R等于從z0到

f(z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a的距離,即R=|a-z0|.注：（1）泰勒展開式的唯一性。【定理4.8】(采用反證法證明）第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）直接展開法

利用泰勒展開式,我們可以直接通過計(jì)算系數(shù):把

f(z)在z0展開成冪級(jí)數(shù)。第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：類似地，解：第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）間接展開法借助一些已知函數(shù)的展開式,利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算（加法，乘法，積分，求導(dǎo)等運(yùn)算）和分析性質(zhì),以唯一性為依據(jù)來得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開式,第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月兩式相乘得，解：第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月（方法二待定系數(shù)法）那么，同次冪系數(shù)相等，第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月[解]由于函數(shù)有一奇點(diǎn)z=-1,而在|z|<1內(nèi)處處解析,所以可在|z|<1內(nèi)展開成z的冪級(jí)數(shù).第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于多值函數(shù)，要先求出單值分支（主值），再計(jì)算相應(yīng)的泰勒展開式。ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的,

-1是它的奇點(diǎn),所以可在|z|<1展開為z的冪級(jí)數(shù).-1OR=1xy解：第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月逐項(xiàng)積分得第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個(gè)奇點(diǎn)i,而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)展開式的收斂圓周上,所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制.在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),展開式的成立必須受|x|<1的限制,這一點(diǎn)往往使人難以理解,因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都是確定的且可導(dǎo)的.第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4羅朗級(jí)數(shù)

一個(gè)以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)

f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級(jí)數(shù).如果

f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級(jí)數(shù)來表示.但是這種情況在實(shí)際問題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以

z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.例：第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4.1羅朗級(jí)數(shù)的概念定義4.6第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),級(jí)數(shù)現(xiàn)在反問,在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級(jí)數(shù)?第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月注:(1)羅朗級(jí)數(shù)在形式上與泰勒級(jí)數(shù)類似,它的證明也是類似的.(2)一般地,即使正冪項(xiàng)的系數(shù)也不能利用高階導(dǎo)數(shù)形式表示.第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月此時(shí),羅朗級(jí)數(shù)退化為泰勒級(jí)數(shù)?？挛骰径ɡ砀唠A導(dǎo)數(shù)公式（4）唯一性第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解：因?yàn)榈?1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解：討論的圓環(huán)域以i圓心，第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月所以，（但不能得到相應(yīng)的級(jí)數(shù)形式。）第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月所以，第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月0-2解：第25