2023年中考數(shù)學一輪復習考點 函數(shù)中的折疊問題（基礎(chǔ)篇）

專題3.17函數(shù)中的折疊問題（基礎(chǔ)篇）

一、單選題

4

1.如圖，直線y=-§x+8分別交X軸、y軸于A、8兩點，在y軸的負半軸上有一點￡）,

若將348沿直線AO折疊得到ADAC,點C在X軸上，則點。的坐標為（）

A.（0,-12）B.（0,-10）C.（0,-8）D.（0,-6）

2.將拋物線y=（x-+2沿y軸折疊后得到的新拋物線的解析式為（）

A.y=（x+l）2-2B.y=（x-l）2-2C.y=-（x-l）2-2D.y=（x+l）2+2

3.如圖，在平面直角坐標系9中，矩形CMBC的邊。4、0c分別在*軸和＞軸上，

OA=8,0c=6,點。是BC邊上一動點，過點。的反比例函數(shù)丫=々》＞0）與邊A3交于點

X

E.若將ADBE沿OE折疊，點8的對應點F恰好落在對角線AC上.則反比例函數(shù)的解析

式是（）

4.如圖，在平面直角坐標系中，將長方形AOC。沿直線AE折疊（點E在邊。C上）,

折疊后頂點。恰好落在邊OC上的點F處.若點D的坐標為（10,8）.則點E的坐標為（)

y

D

A.(10,3)B.(10,4)C.(10,5)D.(10,6)

5.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（-3,0）,點B的坐標是（0,4）,點C是OB

則點C的坐標為（）

0,|

D.

6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，。為坐標原點，4（4,0）,8（4,2）,C（0,2）,將AQAB

沿直線。8折疊，使得點A落在點。處,OD與BC交于點、E,則點。的縱坐標為（）

A.—B.一D.4

55

7.如圖，長方形AOBC中，點A的坐標為（0,8）,點D的縱坐標為3,若將矩形

沿直線4。折疊，則頂點C恰好落在邊上的E處，那么圖中陰影部分的面積為（）

A.30B.32C.34D.36

8.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（-3,0）,點8的坐標是（0,4）,點C是

08上一點，將A3C沿AC折疊，點B恰好落在x軸上的點B'處，則點C的坐標為（）

二、填空題

9.如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCZ）沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折

疊后頂點。恰好落在邊OC上的點尸處，若點。的坐標為（5,4）,則點E的坐標為

10.如圖，在平面直角坐標系中，正方形。48c的邊OC、OA分別在x軸和＞軸上,

。4=5,點。是邊AB上靠近點A的三等分點，將△043沿直線0。折疊后得到△OA'D,

若反比例函數(shù)y=V（女H0）的圖象經(jīng)過4點，則k的值為

X

11.如圖，長方形ABCO的邊AO,CO正好落在坐標軸上，且AB=4,04=2,點D

是線段0C上一點，點E為線段AB上一點，沿DE折疊，使點B與點O重合，點C落

到C處，則此時點D的坐標為—.

J

3

12.如圖,一次函數(shù)安7+6的圖象與x軸交于點4與y軸交于點8,C是x軸上

一動點，連接3C,將△ABC沿8C所在的直線折疊，當點A落在y軸上時，點C的坐標為

13.如圖，在平面直角坐標系中，長方形A8CQ的邊CO,0A分別在x軸、），軸上，點

E在邊8c上，將該長方形沿AE折疊，點B恰好落在邊0C上的F處.若A（0,8）,CF=4,

14.如圖，在矩形0ABe中，BC=2AB,點4、C分別在無軸、y軸正半軸上，點C坐標

為（0,〃），連接4C,將矩形0ABe沿AC折疊，點B的對應點為點夕，CB，交x軸于點Q,

則點。的坐標為（用含。的式子表示）.

15.將拋物線y=d+3向上平移一個單位后，又沿x軸折疊，得新的拋物線，那么新

的拋物線的表達式是.

16.點在雙曲線y=8(x>0)上，將雙曲線y=色*>0)沿y軸折疊得到雙曲線

XX

QQ

),=——(x<0),將線段繞點O旋轉(zhuǎn)，點A剛好落在雙曲線》=-一。<0)上的點。3,〃)

xx

處，則m和n的數(shù)量關(guān)系是.

17.如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOC。沿直線AE折疊(點E在邊。C上)，

折疊后頂點。恰好落在邊0C上的點尸處，已知AO=3,當點尸為線段0C的三等分點時,

點E的坐標為.

三、解答題

18.如圖，ABC在平面直角坐標系中，AB/x軸，軸，?B90?,點8的坐

標為(1,3).將ABC沿AC折疊得到△AOC,點8落在點。的位置，A。交y軸于點E,

(1)求點D的坐標.

(2)求經(jīng)過點A、。的直線的解析式.

19.如圖，把矩形紙片。4BC放入直角坐標系中，使0Aoe分別落在x軸，y軸的正半

軸上，連接AC,且AC=4?,OA=2CO.

(1)求AC所在直線的解析式；

(2)將紙片04BC折疊，使點4與點C重合(折痕為EF),求折疊后紙片重疊部分的

面積；

(3)若過一定點M的任意一條直線總能把矩形(MBC的面積分為相等的兩部分，則點

M的坐標為.

4

20.如圖，直線y=-§x+8與x軸、y軸分別交于點A和8,M是OB上的一點，若將

△A8M沿AM折疊，點8恰好落在x軸上的點夕處，

(1)點M的坐標；

(2)求直線AM的解析式.

21.如圖，梯形A8C3中，ABVDC,ZABC=90°,NA=45。.AB=30,BC=x,其

中54x<30.作于點E,將VADE沿直線QE折疊，點A落在尸處，DF交BC于

點G.

(1)用含有*的代數(shù)式表示瓦?的長；

(2)設(shè)四邊形。EBG的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當x為何值時，S有最大值，并求出這個最大值.

22.如圖，折疊矩形OABC的一邊BC,使點C落在0A邊的點D處，己知折痕BE=5

不，且竺=金，以。為原點，0A所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，拋

0E3

物線1：y=—+(x+c經(jīng)過點E,且與AB邊相交于點F.

162

(1)求證：△ABD^AODE；

(2)若M是BE的中點，連接MF,求證：MF1BD；

(3)P是線段BC上一點，點Q在拋物線1上，且始終滿足PDLDQ,在點P運動過

程中，能否使得PD=DQ?若能，求出所有符合條件的Q點坐標；若不能，請說明理由.

23.如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、點B,OA：OB：AB=3：4：5,

且線段0A是方程2三=上]的解，M是線段0B上一點，若將\ABM沿直線4M折

龍+3x

疊，點B恰好落在x軸上的點P處.

(1)求點P的坐標：

(2)在y軸上是否存在點N，使MP2V是以PN為底的等腰三角形？若存在，請

直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由.

24.如圖，己知直線4：＞=x+3與x軸交于點A,與》軸交于點B,與直線4：y=-；x交

于點p.直線/3：＞=-：》+4與x軸交于點c，與y軸交于點。，與直線4交于點Q，與直

線4交于點心

(1)點A的坐標是，點8的坐標是，點P的坐標

是;

(2)將一戶08沿y軸折疊后，點P的對應點為尸，試判斷點?是否在直線4上，并說

明理由;

(3)求二PQR的面積.

25.如圖，已知直線4：y=x+3與X軸交于點A,與y軸交于點8,與直線4：y=-；x交

于點P.直線，3：y=-]x+4與X軸交于點c,與y軸交于點。，與直線4交于點。，與直

線4交于點R.

(1)點A的坐標是，點B的坐標是,點尸的坐標是;

(2)將APOB沿y軸折疊后，點尸的對應點為P,試判斷點產(chǎn)是否在直線4上，并說

明理由；

(3)求0勿的面積.

參考答案

1.A

【分析】根據(jù)題意易得點B(0,8),A(6,0),則根據(jù)勾股定理可得AB=10,設(shè)點O(OM),

則有比>=8-a,AC=AB=10,0C=16,然后利用勾股定理可求解.

4

解：令x=0時，則有y=8,令y=0時，則有0=-^x+8,解得x=6,

.?.點3（0,8）,。（6,0）,

?*.0A=6,0B=8,

在RSAOB中,AB=yJOA2+OB2=10-

,將M）AB沿直線折疊得到ADAC,

.,.AB=AC=10,BD=DC,

/.OC=16,

設(shè)點。（0,。），則有3O=OC=8-a,OD=-a,

在RsDOC中，0￡>2+℃2=℃2,BP（-?）2+162=（8-?）2,

解得：a=-12,

點。（0,—12）；

故選A.

【點撥】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)及勾股定理、

折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】關(guān)于y軸對稱的兩點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，據(jù)此解答即可.

解：根據(jù)題意，得

翻折后拋物線的解析式的解析式為：y=（-x-l）2+2.

即y=（x+l『+2.

故選：D.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與兒何變換.總結(jié):關(guān)于x軸對稱的兩點橫坐標相同，

縱坐標坐標互為相反數(shù).關(guān)于y軸對稱的兩點縱坐標相同，橫坐標坐標互為相反數(shù).關(guān)于原

點對稱的兩點橫、縱坐標均互為相反數(shù).

3.C

（K、（K\KKKK

【分析】設(shè)〃丁，46,-，求得DC=；,AE=g得到DB=6?；,BE=4-j根據(jù)三

4646

角函數(shù)的定義得到tan/BAC=tanZBED,根據(jù)平行線的判定定理得到DE〃AC,連接BF,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BH=FH,根據(jù)平行線分線段成比例得到AE=BE=2,于是得到結(jié)論.

,/四邊形OABC是矩形，OA=6,OC=4,

BC=OA=6,AB=OC=4,

.?.6(6,4),

設(shè)噌力“6,"

.ccK?K

??DC=—.AE=一,

46

KK

???DB=6?一,BE=4■一,

46

uK

o------

3

**-tan/BED二---____4,=

.K

BE4——2

6

tanNBAC二”^63

AB42

/.tanZBAC=tanZBED,

/.ZBED=ZBAC,

，DE〃AC,

連接BE

???將ADBE沿DE折疊,點B的對應點F正好落在對角線AC上,

ABH=FH,

.'.AE=BE=2,

k

1-,I-22*

/.k=12.

12

.??反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

X

故選C.

【點撥】本題主要考查反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)，結(jié)合了矩形的性質(zhì)和翻轉(zhuǎn)折疊的知識點.

4.A

【分析】先根據(jù)點。的坐標得到AD=OC=10,OA=CD=8,再由折疊的性質(zhì)得到

DE=EF,AF=AD=W,利用勾股定理求出。尸=6,則C尸=4,設(shè)CE=x,貝U

DE=EF=8-x,由勾股定理得（8-x）2=f+42,解方程即可得到答案.

解：；四邊形AOCD是長方形，點的坐標為（10,8）,

AAD=OC=\0,OA=CD=8,

由折疊的性質(zhì)可得=AF=AD=\0,

OF=YAF-04=6,

，CF=OC-OF=4,

設(shè)CE=x,則。E=E尸=8-x,

在RtZ\C￡F中，由勾股定理得￡：尸=（7￡2+0產(chǎn)，

（8-X）2=X2+42,

解得x=3,

：.CE=3,

：.E（10,3）,

故選A.

【點撥】本題主要考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，坐標與圖形，靈活運用所學知識是解

題的關(guān)鍵.

5.A

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得WAB,CS=CB,再求出AB=5,可得=2,然

后在RtZXB'OC中，由勾股定理，即可求解.

解：根據(jù)題意得：Aff=AB,CS=CB,

???點A的坐標是（-3,0），點B的坐標是（0,4）,

AOA=3,03=4,

AB=^Jo^+OB2=5>

AB'=AB=S,

，OB'=2,

在Rt^B'OC中，0C?+OB'2=B'C2,

00+22=（4-0。）:

3

解得：

.,.點c（o，|）.

故選：A.

【點撥】本題主要考查了坐標與圖形，圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì),

勾股定理是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出ZEOB=ZEBO,進而可得出OE=BE,

設(shè)點E的坐標為（也2）,則。E=BE=4T”，CE=m,利用勾股定理即可求出m值，再根據(jù)

點E的坐標，過點。作軸于點F,利用“,可以求出DF

的長，進而可以解決問題.

解：44,0）,3（4,2）,C（0,2）,0（0,0）,

???四邊形&4BC為矩形，

:.^EBO=ZAOB.

/EOB=ZAOB,

/.NEOB=NEBO,

OE=BE.

設(shè)點E的坐標為（見2）,則。石=3七=4-相，CE=m,

在放AOCE中，OC=2,CE=m,OE=4—m,

/.（4-w）2=22+in2,

3

.?.1%=一,

2

.??點E的坐標為弓，2}

/.OE=BE=4—m=—,

2

:.DE=OD-OE=4--=-,

22

/tx.IJrji=2-xBDDE2=-xBEDF,

35

:.2x-=-DF,

22

?_6

DF=—,

/.DF+OC=-+2=—,

55

即點。的縱坐標為g.

故選：A.

【點撥】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊，等腰三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾

股定理是解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】根據(jù)A、。的縱坐標即可求得CD的長，根據(jù)勾股定理即可求得BE的長，然

后在直角AOAE中，利用勾股定理即可得到方程求得AC的長，則根據(jù)

S陰影=S矩形A0BC-S^ACD即可求解.

解：設(shè)AC=xf貝!JAC=AE=OB=xt

二點4的坐標為（0,8）,

：.OA=BC=Sf

??,點。的縱坐標為3,

JCD=DE=BC-BD=8?3=5,

在直角中，BE=NDE?-BD?=4,

則OEr-4,

在直角ZkAOE中，OA2+OE2=AE2,BP82+（X-4）2=X2,

解得：x=10,

則SMC。=1AC-CD=；x10x5=25,

S矩形OA8C=10x8=80,

則S陰影=^m^AOBc~~=80-25-25=30.

故選：A.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，勾股定理，正確求得AC的長是關(guān)

鍵.

8.B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得=CB，=CB,再求出A8=5,可得O9=2,然

后在用"OC中，由勾股定理，即可求解.

解：根據(jù)題意得：AB=AB,CB=CB,

:點4的坐標是（-3,0）,點B的坐標是（。,4）,

：.0A=3,08=4,

???AB=yJoA2+OB2=5?

?,AB'=5，

08'=2,

在RtABfC>C中，0C?+OB'-=B'C1,

二（9C2+22=（4-OC）2,

3

解得：oc=1,

.??點

故選：B.

【點撥】本題主要考查了坐標與圖形，圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì),

勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3

9.(5,-)

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=A力，所以在直角△AOk中，利用勾股定理求得0尸=3,

然后設(shè)￡C=x,則E尸=O『-x,CF=5-3=2,根據(jù)勾股定理列方程求出EC可得點E的坐標.

解：：四邊形AOCQ為矩形，。的坐標為(5,4),

：.AD=OC=5,DC=AO=4,

?..矩形沿AE折疊，使。落在BC上的點尸處，

：.AD^AF=5,DE=EF,

在RtziAOF中，OFTAF-ACP=3，

：.FC=5-3=2,

設(shè)EC=x,貝ij￡>E=￡F=4-x,

在RIACEF中，EF2=EC2+FC2,

BP(4-X)2=JC2+22,

33

解得產(chǎn);，即EC的長為

22

3

???點E的坐標為(5,-).

3

故答案為：(5,—).

3

【點撥】本題主要考查了矩形的折疊問題，勾股定理，根據(jù)題意求出EC的長為:，是

解題的關(guān)鍵.

10.12

【分析】過A作E「_LOC于尸，交AB于E,設(shè)4(八〃)，0F=m,A'F=n,通過證明

m_n_5_

AA'OFsAZDYE,得到。=—5=5=,解方程組求得相與〃的值，即可得到A的

m———

33

坐標進而得到反比例函數(shù)中A的值.

解：如圖所示

過4作￡/J_OC于尸，交A8于￡,由折疊性質(zhì)以及正方形性質(zhì)可得:

/QVD=NQ4O=90\

NQ4F+ZDAE=90°

,NOAb+NAOb=90°

^A!OF=Z.DA!E

ZA,FO=ZDEA,

:.M!OF^\ADAE,

設(shè)⑷（小，〃）,

：?OF=m,A'F二〃.

:正方形048C的邊。C、04分別在x軸和y軸上，。4=5,點。是邊A8上靠近點A

的三等分點,

/.DE=m~—,A'E=5-n.

3

.AA'OF^AZZM'E

mn

竺="=如即5.〃3

51=

A'EDEA'Dtn——

33

解得：m=3,/?=4.

???A'(3,4)

反比例函數(shù)中k=xy（心。）=12,

故答案為：12.

【點撥】本題考查了反比例函數(shù)與幾何問題的綜合運用，涉及到正方形的性質(zhì)、折疊性

質(zhì)、反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征以及三角形相似的判定和性質(zhì)，運用相關(guān)知識求得4的

坐標是解決本題的關(guān)鍵.

II.(2.5,0)

【分析】由折疊的性質(zhì)可得BE=OE,ZBED=ZOED,然后可得OE=OD,設(shè)BE=OE=x,

則AE=4-x,進而根據(jù)勾股定理可建立方程求解x,最后問題可求解.

解：'."AB//OC,

:.NBED^NEDO,

由折疊的性質(zhì)可得8E=0E,ZBED=ZOED,

,NEDO=NOED,

：.OE=OD,

設(shè)BE=OE=x,則AE=4-x,

.?.在RSAE。中，由勾股定理得：22+(4-X)2=X2,

解得：x=2.5,

：.OE=OD=2.5,

二點D的坐標為(2.5,0)；

故答案為(2.5,0).

【點撥】本題主要考查坐標與圖形、矩形的性質(zhì)、勾股定理及折疊的性質(zhì)，熟練掌握坐

標與圖形、矩形的性質(zhì)、勾股定理及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(-12,0)或(3,0)##(3,0)或(-12,0)

【分析】分兩種情況討論：當4點落在y軸坐標軸上A處時，在放AA'C。中，(8-〃力

2=162+/n2,求出/?；當A點落在y軸負半軸上A'處時,在RrA/TC。中，(8-/n)2=42+m2,求

出”?；即可求解.

解：*?*y=—■7x+6，

4

(8,0),B(0,6),

.?.04=8,OB=6,

設(shè)C(w,0),

如圖1,當A點落在y軸坐標軸上A，處時，連結(jié)4V,A'C,

y

圖i

?.?A與/T關(guān)于8c對稱，

,

：.AC=AC1AB=AB=\Ot

：.OA'=\6f

,

：.AC=S-mfAC=AC=S-m,

在即△A'CO中，（8-m）2=162W,

C.m=~12,

：.C（-12,0）；

如圖2,當從點落在y軸負半軸上H處時，連結(jié)4V,AC,

由對稱可得，AC=A'C=S-mfA'B=AB=\0f

：.OA'=4,

在Rt^A,CO中，（8一〃?）2=42W,

m=3,

：.C（3,0）；

綜上所述：C點坐標為（-12,0）或（3,0）,

故答案為：（-12,0）或（3,0）.

【點撥】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應用

軸對稱的性質(zhì)，勾股定理解題是關(guān)鍵.

13.（-10,3）

【分析】設(shè)AB=x,CE=y,根據(jù)題意可得3C=AO=8,5E=EF=8-y,AF=AB=x，在

心△AFO中，在田△AFO中勾股定理分別求得的值，進而即可求得E點的坐標.

解：A（0,8）

.-.GW=8

四邊形A8CO是長方形

/.AB=CO,AO=BC,ZAOC=NOCB=NB=90°

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE=AF=AB

設(shè)A8=x,CE=y,根據(jù)題意可得8c=AO=8,8E=￡尸=8-y,A尸=A8=x,

CF=4

FO=x-4

在RfzXAFO中，AF2=FO1+AO2

g|Jx2=（x-4）2+82

解得x=10

:.CO=AB=\0

在/中，EF-=EC2+CF1

BP（8-y）2=y2+42

解得＞=3

:.EC=3

E點在第二象限

.'.￡（-10,3）

故答案為：（T0,3）

【點撥】本題考查了勾股定理與折疊問題，掌握勾股定理，坐標與圖形，利用勾股定理

建立方程是解題的關(guān)鍵.

3

14.（一。，0）

4

【分析】首先證明△ACQ是等腰三角形，在直角△OC。中利用勾股定理即可求得

的長，即可求得。的坐標.

解：,矩形OA8C中，BC//OA,

...N8CA=NC4O,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得N8CA=NACD

:.ZACD=ZCAOf

：.CD=ADf

???點C坐標為（0,d）,_aBC=2AB,

OC=AB=a,BC=OA=2a,

設(shè)CD=AD=x,則OD=2a-x,

在直角△OCD中，。。2+。。2=82,則。2+（2〃-）2=/,

解得：戶3。，

4

533

則。。=2〃——a=—a,則。的坐標是（二〃，0）.

444

3

故答案為：（了〃，0）.

4

【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理的應川，熟練掌握性質(zhì)和定理是關(guān)鍵.

15.y=-x2-4

【分析】先確定拋物線y=/+3的二次項系數(shù)。=1,頂點坐標為（0,3）,向上平移一

個單位后頂點坐標為（0,4）,翻折后二次項系數(shù)。=-1,頂點坐標變?yōu)椋?,-4）,然后根

據(jù)頂點式寫出新拋物線的解析式.

解：拋物線y=r+3的頂點坐標為（0,3）,點（0,3）向上平移一個單位所得對應點

的坐標為（0,4）,點（0,4）關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（0,-4）,

:原拋物線。=1,則開口向上，

.,?翻折之后，新拋物線開口向下，。=-1,

二新拋物線的解析式為：y=-x2-4,

故答案為：y=—x2—4.

【點撥】此題考查拋物線的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，翻折后開口方向改變，但

是大小沒變，因此二次項系數(shù)改變的只是符號，正確掌握平移的規(guī)律并運用解題是關(guān)鍵.

16.m=n或mn=8

【分析】分兩種情況討論：①當點A與點D關(guān)于y軸對稱時，A（a,m）,D（d,n）

易得m、n的關(guān)系;

Q

②當A繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90。時，得到DID布y=-一，作DH_Ly軸，△ABOgaDHO,

x

Q

找出D坐標，代入y=即可.

x

解：如圖所示，①當點A與點D關(guān)于y軸對稱時，A(a,m),D(d,n),

/.m=n

Q

②當A繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)90。時，得到D，，。在y=--h,作DHLy軸，

x

△ABO畛△D'HO,；.OB=OH,AB=D'H,VA(a,m),AD'(-m,a)即D'(-m,n)

o

?.?/在?=-一上，；.mn=8

x

綜上所述，滿足條件的m,n的關(guān)系式是m=n或mn=8.

【點撥】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，分類討論是解題的

關(guān)鍵.

17.(3,-V5)或(3,—).

52

【分析】設(shè)CE=x,分兩種情況討論：①當CF=1時，。尸=2；②當CF=2時，OF=1,在

&ACEF中,依據(jù)勾股定理可得CE2+CF2=E產(chǎn)，據(jù)此可得方程，即可得到CE的長，進而得

出點E的坐標.

解：：AO=OC=3=A凡而點尸為線段OC的三等分點，

.".CF=1或2,

設(shè)CE=x,當CF=1時，OF=2,

在R/AAO尸中，AO=ylAF2-OF2>

CD->/5,DE=5/5-x-EF,

/??△CEF中，CE2+CF2=EF2,

Ax2+12=(y/5-x)2,

解得足|石，

即C￡=|A/5,

：.E（3,I萬）；

②當C尸=2時,OF=\,

在尸中，AO=[AP_。嚴=2G,

：.CD=2y[2.DE=2日x=EF,

'：RsCEF中，CE?+CF2=EF2,

.,.x2+22=（2應-x）2,

解得尸

2

即CE=e

2

：.E（3,—）；

2

故答案為：（3,馬亞）或（3,交）.

52

【點撥】本題考查折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等.也

考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理.解題時，設(shè)要求的線段長為x,然、根據(jù)折疊和軸對稱的

性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程

求出答案.

18.⑴（-41爭12⑵經(jīng)過點A、。的直線的解析式為：y=--4x+-4

【分析】（1）過點。作￡>H_LOC,根據(jù)點3的坐標為（1,3）得40=1,AB=3,根據(jù)

?B90?,將qMC沿AC折疊得到△ADC得NADC=N5=90。，CD=CB=OA,即可得

ZADE=ZAOE=90°,利川AAS證明△CDE/AAQE,得0E=DE,設(shè)OE=x,則=

4

CE=3-x,在RVDCE中，根據(jù)勾股定理得，CE2=DE、CD2,進行計算即可得》=1,

即可得OE=；4,CE=3-4；=5W，根據(jù)三角形的1面積得=1計算得

33322

4在RtaCOH中，根據(jù)勾股定理得8=]3,即可得0"=3-31=（12,根據(jù)點D在

第二象限內(nèi)，即可得;

(2)根據(jù)AB上x軸，點B的坐標為(1,3)得A的坐標為：(1,0),設(shè)經(jīng)過點A、。的直線

412

的解析式為y=h+6(AH0),將A(l,0),￡>(-:,1)代入y=fcc+6/x0),進行計算即可得.

(1)解：如圖所示，過點。作

:點8的坐標為(1,3),

?*.AO=1,AB=3,

V?B90?,將45C沿AC折疊得到八4。。，

AZADC=ZB=90°,CD=CB=OA,

：.ZADE=ZAOE=90°f

在-CDE和ZSOE中，

ZCDE=ZAOE

<Z.CED=NAEO

CD=AO

：.^CDE^/XAOE(AAS),

：.OE=DE,

設(shè)OE=x,則DE—x,CE=3-x,

在用VOCE中，根據(jù)勾股定理得，CE2=DE2+CD2,

(3-X)2=X2+12

9-6X+X2=X2+1

6x=8

4

x=-

445

DE=—,CE=3——=-,

333

?/DH-LOC,

：.-CExDE=-CDxDE,

在RtaCQH中，CH=Jm-DH?=

??,點。在第二象限內(nèi)，

412

，點。的坐標為;

(2)解：軸，點8的坐標為(1,3),

.?.點A的坐標為：(1,0),

設(shè)經(jīng)過點A、。的直線的解析式為y=h+b(kx0),將41,0),￡>(_：1)代入

y=kx+b(k0),得

k+b=0?

<41?

—k+b=一②

55

①-②，得k+wk=--—,

3

將％=-三4代入①中，得吟4,

44

即經(jīng)過點A、。的直線的解析式為：>>=--x+-.

33

【點撥】本題考查了坐標與圖形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，解

題的關(guān)鍵是理解題意，掌握并靈活運用這些知識點.

19.(1)y=-gx+4：(2)10；(3)(4,2).

【分析】(1)首先根據(jù)勾股定理求出0c=4,0A=8,然后利用待定系數(shù)法求解AC所在

直線的解析式即可；

（2）首先由折疊的性質(zhì)得到AE=CE,然后在/?/△OCE中，根據(jù)勾股定理求出AE=CE=5,

然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CF=CE=5,最后根據(jù)三角形面積公式求解即可；

（3）根據(jù)矩形的中心對稱性質(zhì)可得點M為矩形ABC。對角線的交點，然后根據(jù)中點坐

標公式求解即可.

解：⑴；0A=2C0,

設(shè)OC=x,則0A=2x

在/?/△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2,

二/+⑵)2=(46)2

解得x=4(x=-4舍去)

；.0C=4,0A=8

(8,0),C(0,4)

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,

Sk+b=0

b=4'解得'~~2,

b=4

/.直線AC解析式為產(chǎn)-y.r+4；

在RmOCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2,

：.(8-y)2+42寸

解得）=5

：.AE=CE=5

在矩形OA3C中,

VBC/OA,

Z.NCFE=NAEF,

由折疊得N4EF=NCEF,

NCFE=NCEF

：.CF=CE=5

，SACEF=yCF，OC=yx5x4=10

即重疊部分的面積為10；

(3)???矩形是一個中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，

,任何一個經(jīng)過對角線交點的直線都把矩形的面積平分，

所以點M即為矩形ABCD對角線的交點，即例點為AC的中點，

VA(8,0),C(0,4),

.??M點坐標為(4,2).

【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式等知識，.

解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式.

20.(1)(0,3),(2)尸-yx+3.

【分析】(1)由解析式求出8(0,8),A(6,0)；由勾股定理和折疊的性質(zhì)，可求得

AB'OB'的長，BM=B'M,然后設(shè)MO=x,由在中，OM2+O夕2=所加2,求

出例的坐標；

(2)設(shè)直線AM的解析式為y=&+〃，再把A、仞坐標代入就能求出解析式.

4

解：(1)當戈=0時，y=8,即3(0,8),當y=0時，0=-§工+8,解得x=6,BPA

(6,0)；

.??。4=6,OB=8,

VZAOB=90°,

.?.A8=yJo/r+OB2=1。，

由折疊的性質(zhì)，得：AB—AB'=10,

：.OB'=AB'-0A=10-6=4,

設(shè)MO=x,則MB=MB'=8-x,

在RtZ\0M8'中，OM2+OB'2=B'M2,

即/+42=(8-x)2,

解得：x=3,

點坐標為(0,3),

(2)設(shè)直線AM的解析式為y=心:+%,把(0,3)；(6,0),

(b=3

■o,=3o

代入得k,，「解得，1，

\6k+b=0k=——

2

宜線AM的解析式為y=-yx+3.

【點撥】此題考查了折疊的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點

的坐標特征、勾股定理等知識，解答本題的關(guān)鍵是求出OM的長度.

3

2

21.(1)BF=2x-30；(2)5=--x+60x-450;(3)當x=20時，S有最大值，最

大值為150

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)解題；

(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形面積公式解題；

(3)將函數(shù)關(guān)系配方成頂點式，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)解題.

解：(1)由題意，得EF=AE=DE=BC=x,48=30,

二8/=2尤一30.

(2)VZF=ZA=45°,ZCBF=ZABC=90°,

：.ZBGF=ZF=45°.BG=BF=2x-30,

S=-S△枷弓砥弓獷=#_#2X_30)2=-9+60X-450；

(3)5=-尹+60》-450=-1"-20)-+150；

3

Va=--,54x<30,...當x=20時，S有最大值，最大值為150.

【點撥】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題

關(guān)鍵.

22.(1)見分析；(2)見分析；(3)(-4,0)或(12,0)

試題分析：由折疊和矩形的性質(zhì)可知/EDB=NBCE=90。，可證得NEDO=NDBA,可

證明AABDSAODE；由條件可求得OD、OE的長，可求得拋物線解析式，結(jié)合(1)由相

似三角形的性質(zhì)可求得DA、AB,可求得F點坐標，可得到BF=DF,又由直角三角形的性

質(zhì)可得MD=MB,可證得MF為線段BD的垂直平分線，可證得結(jié)論；過D作x軸的垂線交

BC于點G,設(shè)拋物線與x軸的兩個交點分別為M、N,可求得DM=DN=DG,可知點M、

N為滿足條件的點Q,可求得Q點坐標.

解：(1)證明：?.?四邊形ABCO為矩形，且由折疊的性質(zhì)可知△BCE絲ABDE,

，NBDE=NBCE=90°,VZBAD=90°,

，ZEDO+ZBDA=ZBDA+ZDAB=90°,

.,.ZEDO=ZDBA,且NEOD=/BAD=90。,

/.△ABD^AODE；

(2)證明：?.?變=9,

OE3

.?.設(shè)OD=4x,OE=3x,則DE=5x,

；.CE=DE=5x,.\AB=OC=CE+OE=8x,

又?.,△ABDS^ODE,

.DA_OE_3

>?——

ABOD4

DA=6x,BC=OA=1Ox,

在RtABCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即(5舟=(10X)2+(5X)2，解得x=l,

AOE=3,OD=4,DA=6,AB=8,OA=10,

.?.拋物線解析式為y=-±x2+gx+3,

7

當x=10時，代入可得丫二:，

4

7725

???AF=一,BF=AB-AF=8——二一，

444

在RtAAFD中，由勾股定理可得DF=JAR2+AQ2=(%+6?=竺