2021年新高考真題訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題與答案

2021年新高考真題訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題與答案本文是一篇高考數(shù)學(xué)試題，共分為八個(gè)選擇題，每個(gè)小題都有四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)是正確的。在回答選擇題時(shí)，考生需要將答案涂在答題卡上。本文還介紹了一些數(shù)學(xué)概念，如集合、日晷、流行病學(xué)基本參數(shù)等。1.集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，則A∪B=？A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}答案為B。A∪B表示集合A和集合B的并集，即兩個(gè)集合中所有元素的集合。根據(jù)題目中給出的集合A和集合B，可以得出它們的并集為{1,2,3}∪{2<x<4}={1,2,3,2<x<4}={2≤x≤3}。2.求2-i÷1+2i的值。A．1B．-1C．iD．-i答案為A。將分式進(jìn)行有理化，得到(2-i)(1-2i)/(1+4)=5/5=1。3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有多少種？A．120種B．90種C．60種D．30種答案為A。根據(jù)題目中的條件，可以得出甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館的人數(shù)分別為1、2、3。因此，可以用排列組合的方法計(jì)算不同的安排方法，即6!/1!2!3!=6×5×4/2=120。4.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為？A．20°B．40°C．50°D．90°答案為50°。根據(jù)題目中給出的條件，可以得到晷針與水平面所成的角度等于點(diǎn)A處的緯度，即50°。5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是多少？A．62%B．56%C．46%D．42%答案為46%。根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)，可以得到既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)為60%+82%-96%=46%。因此，該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%。6.基本再生數(shù)R與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R，T近似滿足R=1+rT。有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R=3.28，T=6。據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為多少天？答案為6.在指數(shù)模型中，I(t)表示累計(jì)感染病例數(shù)，r表示指數(shù)增長(zhǎng)率。根據(jù)題目中給出的公式R=1+rT，可以得到指數(shù)增長(zhǎng)率r=(R-1)/T=0.5467。因此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為ln2/r≈1.26/0.5467≈2.31天。1.2天、1.8天、2.5天、3.5天分別表示什么含義？請(qǐng)加上相應(yīng)的單位和解釋。7.已知P是正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP×AB的取值范圍是什么？8.若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是什么？9.已知曲線C:mx+ny=1。當(dāng)m>n>0時(shí)，C是什么曲線？焦點(diǎn)在哪條直線上？10.下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，求sin(ωx+φ)的表達(dá)式。11.已知a>0，b>0，且a+b=1，則a2+b2的最小值為多少？12.信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念。設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,...,n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,...,n)，且∑pi=1，定義X的信息熵H(X)=?∑pilog2pi。請(qǐng)回答以下問(wèn)題：（1）若n=1，則H(X)=？（2）若n=2，則H(X)隨著p1的增大而增大嗎？（3）若pi=1/n(i=1,2,...,n)，則H(X)隨著n的增大而增大嗎？（4）若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,...,m，2m+1-m,...,2m，則H(X)≤H(Y)嗎？13.斜率為3的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)度為多少？14.將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的第10項(xiàng)為多少？1.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示。O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=3/4，BH∥DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2。解析：首先，我們可以發(fā)現(xiàn)矩形DEFG的面積為2×12=24cm2。由于A到直線DE和EF的距離均為7cm，因此我們可以通過(guò)勾股定理求出AG的長(zhǎng)度為√(72+22)=√53cm。同時(shí)，我們可以通過(guò)求出∠OAB和∠OBA的大小，再利用正弦函數(shù)求出AB的長(zhǎng)度，從而求出圓的面積。最后，陰影部分的面積即為矩形DEFG的面積減去圓的面積。2.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°。以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________。解析：首先，我們可以通過(guò)余弦定理求出∠BCC1B1的大小為120°。然后，我們可以通過(guò)正弦函數(shù)求出BC的長(zhǎng)度為2√3cm。接著，我們可以通過(guò)勾股定理求出BD1的長(zhǎng)度為2√3cm，從而求出D1C1的長(zhǎng)度為4cm。最后，我們可以利用球的表面積公式求出球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為4√3πcm。3.在①ac=3，②csinA=3，③c=3b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由。問(wèn)題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且sinA=3sinB，sinC=5/6？解析：我們選取條件③c=3b。由正弦定理可知，sinA/a=sinB/b=sinC/c，因此我們可以得到sinB=1/3sinA，sinC=5/18sinA。又因?yàn)閟inA+sinB+sinC=2，代入sinB和sinC的值，得到sinA=12/19，sinB=4/19，sinC=3/19。由于sinA<1，因此滿足三角形的條件。接著，我們可以利用正弦定理求出c=3b=9/4a。4.已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3=8。（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100。解析：（1）由a2+a4=20可得a2=a3×a1，a4=a3×a5，代入得到a1×a5=4。由a3=8可知a2×a4=64，代入得到a12×a52=64/a32=2。因此，a1×a5=2/a1。聯(lián)立兩個(gè)式子，得到a12=4/3，a52=6。因此，{an}的通項(xiàng)公式為an=a1×r^(n-1)，其中a1=2/√3，r=√6/√3。（2）我們可以發(fā)現(xiàn)，bm可以通過(guò)求解不等式an≤m得到，即bm=[log(rm×a1)]/log(r)+1。因此，我們可以根據(jù)bm的通項(xiàng)公式求出前100項(xiàng)，然后進(jìn)行求和，得到S100=495。(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)k0.050.010.0013.8416.63510.82820.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD。設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l。(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值。21.已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna。(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍。22.已知橢圓C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的離心率為e，且過(guò)點(diǎn)A(2,1)。(1)求C的方程；(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足。證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值。選擇題：1.C2.D3.C4.B5.C6.B7.A8.D9.ACD10.BC11.ABD12.AC填空題：13.1614.3n^2-2n15.(5π+4)/2解答題：17.解：方案一：選條件①。由余弦定理和C=(πa^2+b^2-c^2)/(2ab)可得，C=√(9/4-1/4)=√2。由sinA=3sinB和正弦定理可得a=3b。代入條件①ac=3，解得a=3，b=c=1。因此，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c=1。方案二：選條件②。由余弦定理和C=(πa^2+b^2-c^2)/(2ab)可得，C=√(9π^2/36-1/4)=π/2。由sinA=3sinB和正弦定理可得a=3b。代入條件②csinA=3，解得a=6，b=c=2/3。因此，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c=2/3。方案三：選條件③。由余弦定理和C=(πa^2+b^2-c^2)/(2ab)可得，C=√(9/4-9/4)。由③c=3b，與b=c矛盾。因此，選條件③時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在。18.解：(1)設(shè){an}的公比為q。由題設(shè)得a1=q+a1/q，解得q=(√5+1)/2，an=(√5+1)^n/2^n。曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的斜率為f'(1)=e-1=an，切線方程為y-1=an(x-1)，與x軸、y軸圍成的三角形面積為1/2|an|。代入a=e和an=e-1，得到三角形面積為(√5-1)/4。(2)當(dāng)f(x)≥1時(shí)，有aex-1-lnx+lna≥1，即aex≥lnx-1-lna+1。左邊的函數(shù)是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)x取最小值1時(shí)，右邊的值也取最小值，即a≥e^(1-ln2)。注：該文章存在排版混亂、缺少換行和空格等問(wèn)題，已在編輯時(shí)進(jìn)行了調(diào)整。Q3=20，Q2=8。解得Q=-（舍去），Q=2。由題設(shè)得A1=2。所以{An}的通項(xiàng)公式為An=2n。根據(jù)題設(shè)及(1)知B1=1，且當(dāng)2n≤m<2n+1時(shí)，Bm=n。所以S100=B1+(B2+B3)+(B4+B5+B6+B7)+...+(B32+B33+...+B63)+(B64+B65+...+B100)=1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480。解：(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)為32+18+6+8=64，因此該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為64/100=0.64。(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：||SO2≤150|SO2>150||------|---------|---------||PM2.5≤75|64|16||PM2.5>75|10|10|計(jì)算得K≈7.484。由于7.484>6.635，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)。(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得K=80×20×74×26/(100×(64×10-16×10)2)。由于7.484>6.635，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)。解：(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥AD。又底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC，因此AD⊥底面PDC。BC，AD∥平面PBC，所以AD∥平面PBC。因?yàn)锳D∥AD，所以l⊥平面PDC。由已知得l∥AD。(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz。則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，DC=(0,1,0)，PB=(1,1,-1)。由(1)可設(shè)Q(a,0,1)，則DQ=(a,0,1)。設(shè)n=(-1,0,a)是平面QCD的法向量，則n·DQ=0即ax+z=0，n·DC=0即y=0?？扇=(-1,0,a)。所以cos<n,PB>=n·PB-1-a/|n|·|PB|=1+2/(3|a+1|)。設(shè)PB與平面QCD所成角為θ，則sinθ=√(1-cos2θ)=√(8/(9|a+1|2+4a))。因?yàn)镻B∥平面PDC，所以θ=90°-∠DPB，又因?yàn)椤螪PB=∠APQ，所以tanθ=sin∠APQ/cos∠APQ=QP/AP=√(a2+1)/a。所以sinθ/tanθ=√(8a/(9(a+1)2+4a2))=1/3√(a+1)/(3a+1)。解得a=2/3，所以cos<n,PB>=1/2，sinθ=2/√15，tanθ=√15/2，sinθ/tanθ=2/3。注：原文中第一段的公式應(yīng)為Q3=20，Q2=8，A1=2，An=2n。第二段中的表格無(wú)法在文本中準(zhǔn)確呈現(xiàn)，已用文字形式呈現(xiàn)。22.解：由題設(shè)得$\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$，解得$a^2=6$，$b^2=3$。（1）由題設(shè)得$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$，所以橢圓$C$的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$。（2）設(shè)$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$。若直線$MN$與$x$軸不垂直，設(shè)直線$MN$的方程為$y=kx+m$，則由$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$得$(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-6=0$。代入$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$得$\frac{4k^2m^2-6m^2}{1+2k^2}=x^2$，$\frac{4km^2-6}{1+2k^2}=y^2$。因?yàn)?x^2>0$，$y^2>0$，所以$m\neq0$，$k\neq\pm1$。可得$x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2}$。由$AM\perpAN$知$AM\cdotAN=\frac{9}{2}$，故$(x_1-2)(x_2-2)+(y_1-1)(y_2-1)=\frac{9}{2}$?？傻?(k^2+1)x_1x_2+(km-k-2)(x_1+x_2)+(m-1)^2+4=0$。代入$x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2}$可得$(k+1)^2(2k^2+1)=0$。因?yàn)?A(2,1)$不在直線$MN$上，所以$2k+m-1\neq0$，故$2k+3m+1=0$，$k\neq1$。于是$MN$的方程為$y=k(x-\frac{2}{3})-\frac{1}{3}(k\neq1)$。所以直線$MN$過(guò)點(diǎn)$P(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$。若直線$MN$與$x$軸垂直，可得$N(x_1,-y_1)$。由$AM\cdotAN$得$(x_1-2)^2+4y_1^2=\frac{9}{2}$。