第二章-薄板振動(dòng)課件

第二章薄板的振動(dòng)問題第二章薄板的振動(dòng)問題§2-1薄板的自由振動(dòng)等厚度各向同性薄板的非齊次運(yùn)動(dòng)方程為其中為板的單位面積上的質(zhì)量。p為動(dòng)載荷。首先考慮齊次運(yùn)動(dòng)方程，即自由振動(dòng)問題令w=T(t)W(x,y),代入齊次方程，兩邊同除TW,得（1）（2）§2-1薄板的自由振動(dòng)等厚度各向同性薄板的非齊次運(yùn)動(dòng)方程為分離變量得常微分方程和微分方程固有值問題（3）（4）其的通解為分離變量得常微分方程和微分方程固有值問題（3）（4）其的通解因此薄板的自由振動(dòng)問題可化為微分方程的固有值問題，即求振形函數(shù)在齊次邊界條件下的非零解。使自由振動(dòng)問題有非零解的頻率ω稱為固有頻率，相應(yīng)非零解W稱為固有函數(shù)。振形微分方程（4）以及齊次邊界條件完全確定固有頻率的數(shù)值，而與動(dòng)載荷無關(guān)。因此薄板的自由振動(dòng)問題可化為微分方程的固有值問題，即求振形函§2-2四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的自由振動(dòng)設(shè)有四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板如圖所示。OabxyACB取振形函數(shù)形式為代入振形方程（4）得給定一組m,n的值，就可得到一個(gè)相應(yīng)的固有頻率，不妨用兩個(gè)下標(biāo)來表示某個(gè)固有頻率，上式可寫成§2-2四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的自由振動(dòng)設(shè)有四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板如由此可寫出撓度函數(shù)的形式解將撓度的初始條件展成固有函數(shù)的級(jí)數(shù)其中待定系數(shù)由撓度函數(shù)的非齊次初始條件決定。由此可寫出撓度函數(shù)的形式解將撓度的初始條件展成固有函數(shù)的級(jí)數(shù)解得其中解得其中撓度表達(dá)式討論運(yùn)用分離變量法解偏微分方程，必然導(dǎo)致固有值問題：分離變量法要求分離變量后每個(gè)函數(shù)有非零解，因此要求固有值存在；方程和定解條件要求固有函數(shù)具有正交性和完備性；非齊次初值條件或自由項(xiàng)（受迫振動(dòng)時(shí)）或方程的解等，應(yīng)能用固有函數(shù)展開成平均收斂的級(jí)數(shù)。撓度表達(dá)式討論運(yùn)用分離變量法解偏微分方程，必然導(dǎo)致固§2-3瑞次法及其應(yīng)用設(shè)薄板振形變形能為（5）對(duì)于具有夾支或簡(jiǎn)支邊的矩形薄板，可簡(jiǎn)化為（6）§2-3瑞次法及其應(yīng)用設(shè)薄板振形變形能為（5）對(duì)于具有夾支（7）對(duì)于夾支圓形薄板，可簡(jiǎn)化為（8）對(duì)于圓形薄板軸對(duì)稱問題，振形變形能為（7）對(duì)于夾支圓形薄板，可簡(jiǎn)化為（8）對(duì)于圓形薄板軸對(duì)稱問題設(shè)薄板振形泛函為其中W為可能的振形函數(shù)。可以證明由泛函的駐值條件可以導(dǎo)出方程（4）。為了求固有頻率或固有函數(shù)的近似解，設(shè)其中Wi為滿足齊次位移邊界條件且線性互不相關(guān)的基函數(shù)，Ci為待定系數(shù)。振形的變分是由系數(shù)變分實(shí)現(xiàn)的，基函數(shù)在變分中保持不變（9）設(shè)薄板振形泛函為其中W為可能的振形函數(shù)?？梢宰C明由泛函的駐值將此式代入泛函的變分方程，得瑞次方程。瑞次方程是m

個(gè)齊次線性方程，由m個(gè)系數(shù)Ci的非零解條件，從而得出m個(gè)固有值的表達(dá)式。瑞次方程將此式代入泛函的變分方程，得瑞次方程。瑞次方程是m個(gè)齊次例1四邊簡(jiǎn)支矩形板固有頻率取振形函數(shù)為可以滿足齊次位移邊界條件。代入泛函表達(dá)式，得例1四邊簡(jiǎn)支矩形板固有頻率取振形函數(shù)為可以滿足齊次位移邊于是由瑞次方程，得由系數(shù)Cmn的非零解條件，得固有頻率表達(dá)式與上一節(jié)中的精確答案相同。于是由瑞次方程，得由系數(shù)Cmn的非零解條件，得固有頻率表達(dá)式最低固有頻率的近似計(jì)算若基函數(shù)只取一項(xiàng)W1，瑞次方程可簡(jiǎn)寫成若基函數(shù)W1為最低固有函數(shù)，則可以得到精確的最低固有頻率；若基函數(shù)W1的振形非常接近最低固有函數(shù)，，則可以得到近似的最低固有頻率。最低固有頻率的近似計(jì)算若基函數(shù)只取一項(xiàng)W1，瑞次方程可簡(jiǎn)寫成例2四邊夾支矩形板OabxyACB設(shè)有四邊夾支的矩形薄板如圖所示。試用瑞次法計(jì)算薄板最低固有頻率的近似值。例2四邊夾支矩形板OabxyACB設(shè)有四邊夾支的矩形薄板解取振形函數(shù)為可以滿足位移邊界條件（無內(nèi)力邊界條件）。代入瑞次方程，得解取振形函數(shù)為可以滿足位移邊界條件（無內(nèi)力邊界條件）。代入于是得對(duì)于正方形薄板與最低固有頻率的精確答案幾乎相同。于是得對(duì)于正方形薄板與最低固有頻率的精確答案幾乎相同。思考題對(duì)于方形薄板是簡(jiǎn)支的基頻較高還是夾支的基頻較高思考題對(duì)于方形薄板例3夾支圓形板設(shè)有邊界夾支的圓形薄板如圖所示。試用瑞次法計(jì)算薄板最低固有頻率的近似值。a圓形薄板夾支邊界條件例3夾支圓形板設(shè)有邊界夾支的圓形薄板如圖所示。試用瑞次法解取振形函數(shù)為可以滿足位移邊界條件（無內(nèi)力邊界條件）。代入瑞次方程，得解取振形函數(shù)為可以滿足位移邊界條件（無內(nèi)力邊界條件）。代入于是得比最低固有頻率的精確答案僅大出1%。于是得比最低固有頻率的精確答案僅大出1%?！?-4四邊簡(jiǎn)支薄板的受迫振動(dòng)采用固有函數(shù)展開法求解薄板非齊次運(yùn)動(dòng)方程。舉例，設(shè)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板受到動(dòng)載荷的作用，試求解撓度的級(jí)數(shù)解，并討論共振問題。簡(jiǎn)支矩形薄板的固有函數(shù)為采用固有函數(shù)展開法，可得：§2-4四邊簡(jiǎn)支薄板的受迫振動(dòng)采用固有函數(shù)展開法求解薄板非固有函數(shù)展開其中w已經(jīng)滿足邊界條件，wmn(t)為待定函數(shù)。固有函數(shù)展開其中w已經(jīng)滿足邊界條件，wmn(t)為待定函數(shù)。將級(jí)數(shù)表達(dá)式代入方程（1）和齊次初始條件，可得將級(jí)數(shù)表達(dá)式代入方程（1）和齊次初始條件，可得由此可知wmn必滿足二階線性常微分方程的初值問題，方程的解等于齊次通解加特解由初值條件可確定通解中的兩個(gè)系數(shù)，最后得由此可知wmn必滿足二階線