高二數(shù)學選修4-4平面直角坐標系中的伸縮變換與極坐標系(上課用-公開課課件)

（1）平面直角坐標系的伸縮變換

（二）極坐標系1（1）平面直角坐標系的伸縮變換

（二）極坐標系1xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x?2xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎樣由正弦曲x’=xy’=y1通常把叫做平面直角坐標系中的一個壓縮變換。1坐標對應關系為：3x’=x1通常把叫做平面直角坐標系中（2）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?寫出其坐標變換。設點P（x,y）經(jīng)變換得到點為P’(x’,y’)x’=xy’=3y2通常把叫做平面直角坐標系中的一個坐標伸長變換。24（2）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?寫出（3）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x?寫出其坐標變換。設點P（x,y）經(jīng)變換得到點為P’(x’,y’)x’=xy’=3y通常把這樣的變換叫做平面直角坐標系中的一個坐標伸縮變換。5（3）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x?定義：設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點，在變換的作用下，點P(x,y)對應P’(x’,y’).稱為平面直角坐標系中的伸縮變換。6定義：設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點，在變換的作用注（1）（2）把圖形看成點的運動軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換得到；（3）在同一直角坐標系下進行伸縮變換。7注（1）788991010由上所述可以發(fā)現(xiàn)，在伸縮變換下，直線仍然變成直線，而圓可以變成橢圓。思考：在伸縮變換下，橢圓是否可以變成圓？拋物線、雙曲線變成什么曲線？11由上所述可以發(fā)現(xiàn)，在伸縮變換下，直線仍然變成直線，而圓可以變課堂練習（2分鐘）課本P8第4、6題12課堂練習（2分鐘）12四食堂在什么位置？13四食堂在什么位置？13以超市所在直線為X軸以牛奶棚所在直線為Y軸...腦子進水了？14以超市所在直線為X軸腦子14從這向北走100米。我知道了。15從這向北走100米。我知道了。15從這向北走100米！出發(fā)點方向距離在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。16從這向北走100米！出發(fā)點方向距離在生活中人們經(jīng)常用極坐標系與極坐標極徑極點極軸點O極點射線Ox極軸極徑角極角極角有序?qū)崝?shù)對極坐標逆時針為正角順時針為負角極角是以射線Ox為始邊,射線OM為終邊的角,用弧度制表示17極坐標系與極坐標極徑極點極軸點O極點射線Ox極軸極徑角極角極例題解析例1.在極坐標系中表示下列坐標對應的點.由極坐標描點的步驟：

(1)先按極角找到點所在射線；

(2)在此射線上按極徑描點.18例題解析例1.在極坐標系中表示下列坐標對應的點.由極坐標描點例題解析例2.試寫出下列點所對應的極坐標.一點的極坐標唯一嗎？表示同一點19例題解析例2.試寫出下列點所對應的極坐標.一點的極坐標唯一嗎與直角坐標系的聯(lián)系與區(qū)別極坐標系與直角坐標系的異同是什么？都是用有序?qū)崝?shù)對來表示平面上的點.其中的有序?qū)崝?shù)對意義不同.直角系的坐標與平面上點是一一對應的;極坐標系的坐標與平面上點多對一的;有沒有辦法使極坐標與點之間一一對應？除極點(0,)外，限制20與直角坐標系的聯(lián)系與區(qū)別極坐標系與直角坐標系的異同是什么？都探索已知一點,與它關于極軸所在直線對稱的點如何表示？若M的坐標為,則M’的坐標可以是21探索已知一點,與它關于極軸所在直線對稱的點如何表示？若M的探索已知一點,與它關于極點對稱的點如何表示？若M的坐標為,則M’的坐標可以是22探索已知一點,與它關于極點對稱的點如何表示？若M的坐標為極徑的推廣負的極徑有意義嗎？“負”的意義是什么？標準之下3攝氏度與-3攝氏度.方向相反與與若M的坐標為則M的坐標也可以是特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認為≥

0。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。23極徑的推廣負的極徑有意義嗎？“負”的意義是什么？標準之下3攝極坐標系與極坐標極徑點O極點射線Ox極軸角極角有序?qū)崝?shù)對極坐標逆時針為正角順時針為負角終邊上取M終邊反向延長線上取M24極坐標系與極坐標極徑點O極點射線Ox極軸角極角有序?qū)崝?shù)對極坐2525在直角坐標系中,以原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并且兩種坐標系中取相同的長度單位26在直角坐標系中,以原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并x=ρcosθ,y=ρsinθ27x=ρcosθ,y=ρsinθ271.極點與直角坐標系的原點重合;2.極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合;3.兩種坐標系的單位長度相同.互化公式的三個前提條件：281.極點與直角坐標系的原點重合;互化公式的三個前提條件：2已知下列點的極坐標，求它們的直角坐標。29已知下列點的極坐標，求它們的直角坐標。293030作業(yè)：《優(yōu)化方案》做到第9頁31作業(yè)：《優(yōu)化方案》做到第9頁313232點的軌跡設M(x,y)是直角坐標系內(nèi)一點,當M按某種規(guī)律在平面內(nèi)運動時,所留下的運動軌跡,反映在圖形上就是一條曲線.Oxy所謂某種規(guī)律：M(x,y)坐標之間所滿足一定關系式.某個方程

若要用一個方程刻畫坐標平面內(nèi)的曲線C,則方程與曲 線之間應當滿足怎樣的關系？33點的軌跡設M(x,y)是直角坐標系內(nèi)一點,當M按某種規(guī)律曲線與方程定義.在直角坐標系中,如果曲線C和二元方程 之間滿足:曲線C上的點的坐標都是方程的解;方程的解為坐標的點都在曲線C上;則稱：方程為曲線C的方程;曲線C是方程的曲線.34曲線與方程定義.在直角坐標系中,如果曲線C和二元方程極坐標方程定義.在極坐標系中,如果曲線C和二元方程 之間滿足:曲線C上的點的極坐標都是方程的解;方程的解為極坐標的點都在曲線C上;則稱：方程為曲線C的極坐標方程;曲線C是方程的曲線.這樣推廣合理嗎？為什么？35極坐標方程定義.在極坐標系中,如果曲線C和二元方程問題探索極軸所在直線的極坐標方程是什么？曲線上的點的坐標都是方程的解;方程的解為坐標的點都在曲線上;極點符合方程不符合方程極坐標的不唯一性導致了上述情況.這個方程合理嗎？36問題探索極軸所在直線的極坐標方程是什么？曲線上的點的坐標都極坐標方程定義.在極坐標系中,如果曲線C和二元方程 之間滿足:曲線C上的點的所有極坐標中,至少有一個是方程的解;方程的解為極坐標的點都在曲線C上;則稱：方程為曲線C的極坐標方程;曲線C是方程的曲線.37極坐標方程定義.在極坐標系中,如果曲線C和二元方程求曲線的極坐標方程步驟1、設點M(ρ,θ)是曲線上任意一點；2、根據(jù)幾何條件建立關于ρ,θ的方程，并化簡；3、檢驗并確認所得的方程即為所求。38求曲線的極坐標方程步驟1、設點M(ρ,θ)是曲線上任意一點；例題解析例2.求以

為圓心,半徑為的圓的極坐標方程.解:如圖所示:設點P坐標為即則39例題解析例2.求以為圓心,半徑為例題解析例3.如圖,求過,與極軸夾角為的直線方程.解:則,設點P坐標為,若點P位于極軸上方,在中,40例題解析例3.如圖,求過例題解析例4.設質(zhì)點M為射線OA上的動點,已知M沿方向作勻速

運動,同時射線OA又繞著它的端點O作等角速度旋轉(zhuǎn), 求質(zhì)點M運動的軌跡方程.阿基米德螺線解:設點M的初始位置為,以O為極點,以射線OM0為極軸,設M的運動速度為v,設OA的角速度為,時間為t,則有41例題解析例4.設質(zhì)點M為射線OA上的動點,已知M沿練習求下圖中的圓的極坐標方程,半徑都是aP42練習求下圖中的圓的極坐標方程,半徑都是aP42練習求下列直線的極坐標方程．(1)過極點與點(2)過點且與極軸垂直(3)過點且與極軸平行43練習求下列直線的極坐標方程．(1)過極點與點(2)過點設兩點，則由余弦定理得：極坐標系下兩點間的距離公式???OxAB44設兩點，則由余弦定理得：極Ex2.3.3兩種坐標的互化45Ex2.3.3兩種坐標的互化45引入已知點的極坐標，如何得到其直角坐標？例如：設其直角坐標為,46引入已知點的極坐標，如何得到其直角坐標？例如：設其直角坐標極坐標直角坐標則有：一般地,設點P是平面上任意一點,其極坐標為,如圖建立直角坐標系,設直角坐標為,如何證明？47極坐標直角坐標則有：一般地,設點P是平面上任意一點,其時,P的直角坐標為：P在極點,顯然成立;時,P的坐標可改寫為時,則48時,P的直角坐標為：P在極點,顯然成立;時,P的坐標可改寫極坐標直角坐標則有：一般地,設點P是平面上任意一點,其極坐標為,如圖建立直角坐標系,設直角坐標為,點的極坐標化直角坐標是唯一的。49極坐標直角坐標則有：一般地,設點P是平面上任意一點,其例題解析例1.將下列極坐標化為直角坐標：極坐標直角坐標直角坐標直角坐標直角坐標50例題解析例1.將下列極坐標化為直角坐標：極坐標直角坐標直角直角坐標極坐標則由：一般地,設點P是平面上任意一點,其直角坐標為,如圖建立極坐標系,設極坐標為,點的直角坐標化極坐標，不是唯一的。51直角坐標極坐標則由：一般地,設點P是平面上任意一點,其例題解析例2.將下列點的直角坐標化為極坐標：直角坐標極坐標極坐標極坐標極坐標

由點所在象限確定極角的值52例題解析例2.將下列點的直角坐標化為極坐標：直角坐標極坐標極坐標方程定義.在極坐標系中,如果曲線C和二元方程 之間滿足:曲線C上的點的所有極坐標中,至少有一個是方程的解;方程的解為極坐標的點都在曲線C上;則稱：方程為曲線C的極坐標方程;曲線C是方程的曲線.53極坐標方程定義.在極坐標系中,如果曲線C和二元方程例題解析例3.化直角組表方程為極坐標方程.解:由,得或者表示極點，故所求極坐標方程為表示直線,過極點54例題解析例3.化直角組表方程為例題解析例4.化極坐標方程為直角坐標方程.解2時,由