北京大學(xué)量子力學(xué)課件-第21講

第二十一講

I.平均值，本征方程和薛定諤方程的矩陣形式。

（1）平均值：力學(xué)量在體系（處于態(tài)）中的平均值為

1

是在中的表示。若 包括力學(xué)量

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講2

B.對(duì)于兩個(gè)算符乘積的平均值（2）本征方程：算符的本征方程在表象為

B.對(duì)于兩個(gè)算符乘積的平均值3

從而有要方程組有非零解，即不全為，則要求系數(shù)行列式為，即

4由這求出.然后代入方程組求出相應(yīng)的（3）薛定諤方程

在表象中，基矢為，則北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講5

這即為表象中的薛定諤方程的矩陣形式。若不顯含，而

表象就是表象，則

從而得

6

當(dāng)不顯含t，在表象中的表示為北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講7

，由初態(tài)給出（它是時(shí)，在表象中表示），由在任一表象中求出。

，由初態(tài)給出8Ⅱ.量子態(tài)的不同描述波函數(shù)和算符不是直接觀測(cè)量.僅力學(xué)量取值，及其幾率分布（或幾率）是直接觀測(cè)量。因此，重要的是：①可能取的值

②

測(cè)量取的幾率振幅

9

A.薛定諤繪景（SchrodingerPicture）若不顯含，則A.薛定諤繪景（SchrodingerPict10

所以，這一變換是一幺正變換而本征方程若不顯含，那，也與無關(guān)時(shí)刻，測(cè)量取值的幾率振幅為

11

在薛定諤繪景的描述中，態(tài)矢量隨t的變化，反映在它的表示隨t的變化。而力學(xué)量的本征值及本征矢不隨t變化。在薛定諤繪景的描述中，態(tài)矢量隨t的變12B.海森堡繪景（HeisenbergPicture）

1.態(tài)矢量

2.算符和本征方程

13

本征值相同，基矢隨時(shí)間演化

對(duì)易關(guān)系保持不變

本征值相同，基矢隨時(shí)間演化14

3.算符隨時(shí)間變化（運(yùn)動(dòng)方程）不顯含北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講15

這時(shí)北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講16

4.本征矢隨t變化

17

這表明，在H.P.中態(tài)矢量不隨t變，而相應(yīng)的本征矢沿一定方向反“轉(zhuǎn)動(dòng)”北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講18將算符方程用于，將算符方程19

例：求H.P.中一維諧振子的坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符。

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講20顯然，

21

但

22北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講23第七章

自旋

在討論電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)電子具有軌道磁矩。如有外場(chǎng)存在，則這一軌道磁矩所帶來的附加能量為

第七章自旋在討論電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我24

如在方向北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講25

顯然是量子化的，它取個(gè)值在較強(qiáng)的磁場(chǎng)下（），我們發(fā)現(xiàn)一些類氫離子或堿金屬原子有正常塞曼效應(yīng)的現(xiàn)象，而軌道磁矩的存在，能很好地解釋它。但是，當(dāng)這些原子或離子置入弱磁場(chǎng)~1T的環(huán)境中，或光譜分辨率提高后，發(fā)現(xiàn)問題并不是那么簡(jiǎn)單，這就要求人們進(jìn)一步探索。

26§7.1電子自旋存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)（1）Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)（1922年）當(dāng)一狹窄的原子束通過非均勻磁場(chǎng)時(shí)，如果原子無磁矩，它將不偏轉(zhuǎn)；而當(dāng)原子具有磁矩，那在磁場(chǎng)中的附加能量為如果經(jīng)過的路徑上，磁場(chǎng)在Z方向上有梯度即不均勻，則受力

§7.1電子自旋存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)27

從經(jīng)典觀點(diǎn)看取值（從）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值

所以原子應(yīng)分布在一個(gè)帶上。但Stern-Gerlach發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一束處于基態(tài)的北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講28銀原子通過這樣的場(chǎng)時(shí)，僅發(fā)現(xiàn)分裂成二束，即僅二條軌道（兩個(gè)態(tài)）。銀原子通過這樣的場(chǎng)時(shí)，僅發(fā)現(xiàn)分裂成二束，29

而人們知道，銀原子（）基態(tài)，所以沒有軌道磁矩.而分成二個(gè)狀態(tài)（二個(gè)軌道），表明存在磁矩，這磁矩在任何方向上的投影僅取二個(gè)值。只能是電子本身的（核磁矩可忽），這磁矩稱為內(nèi)稟磁矩。與之相聯(lián)系的角動(dòng)量稱為電子自旋，它是電子的一個(gè)新物理量，也是一個(gè)新的動(dòng)力學(xué)變量。（2）電子自旋存在的其他證據(jù)

A．堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu) 原子光譜中有一譜線，波長(zhǎng)為5893?。

而人們知道，銀原子（）基態(tài)，30但精細(xì)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上，這是由兩條譜線組成??這一事實(shí)，從電子具有三個(gè)自由度是無論如何不能解釋。B．反常塞曼效應(yīng)（AnomalousZeemaneffect）原子序數(shù)為奇數(shù)的原子，其多重態(tài)是偶數(shù)，在弱磁場(chǎng)中分裂的光譜線條數(shù)為偶如鈉和的兩條光譜線，在弱磁場(chǎng)中分裂為條和條。這種現(xiàn)象稱為反常塞曼效應(yīng)。

但精細(xì)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上，這是由兩條譜線組成31北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講32

C．在弱磁場(chǎng)中，能級(jí)分裂出的多重態(tài)的相鄰能級(jí)間距，并不一定為

，而是。對(duì)于不同能級(jí)，可能不同，而不是簡(jiǎn)單為( 稱為因子)。根據(jù)這一系列實(shí)驗(yàn)事實(shí)，G.Uhlenbeck）（烏倫貝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假設(shè)①電子具有自旋，并且有內(nèi)稟磁矩，它們有關(guān)系

C．在弱磁場(chǎng)中，能級(jí)分裂出的多重態(tài)的相33

②電子自旋在任何方向上的測(cè)量值僅取兩個(gè)值

，所以以為單位，則（而）北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講34

現(xiàn)在很清楚，電子自旋的存在可由Dirac提出的電子相對(duì)論性理論自然得到?？紤]到輻射修正

現(xiàn)在很清楚，電子自旋的存在可由Dirac提出35

§7.2自旋－微觀客體的一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量(1)

電子的自旋算符和它的矩陣表示由于電子具有自旋，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，它也具有內(nèi)稟磁矩

36

假設(shè)：自旋算符有三個(gè)分量，并滿足角動(dòng)量所具有的對(duì)易關(guān)系A(chǔ).對(duì)易關(guān)系

B.由于它在任意方向上的分量測(cè)量?jī)H取二個(gè)數(shù)值，所以

37

于是

是一常數(shù)

C.

矩陣形式由于其分量?jī)H取二個(gè)數(shù)值，也即本征值僅二北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講38

個(gè)，所以可用矩陣表示。

①

若選作為力學(xué)量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然為對(duì)角矩陣，而對(duì)角元就是它的本征值

39相應(yīng)的本征矢其對(duì)應(yīng)的表示為，

②

在表象中的矩陣表示

相應(yīng)的本征矢40

我們知道，這只要將作用于的基矢并以基矢展開，從展開系數(shù)來獲得.由

因此

我們知道，這只要將作用于的41和標(biāo)積北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講42

同理可得

43

得系數(shù)矩陣為轉(zhuǎn)置得

44北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講45系數(shù)矩陣為轉(zhuǎn)置得對(duì)于在方向上的分量為

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講46北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講47則本征矢

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第21講48

③

PauliOperator；為方便起見，引入泡利算符

于是，在表象中有（或稱Pauli表象）

③PauliOperator；為方便起見，引49稱為泡利矩陣由此得

稱為泡利矩陣50

于是有

∴例．求的本征值，本征矢在表象中表示因已知在表象中的矩陣形式為

于是有