選修2-331回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課件

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)選修2-32023/8/53.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)選修1數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計(jì)內(nèi)容畫散點(diǎn)圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程

y＝bx＋a用回歸直線方程解決應(yīng)用問題2023/8/5數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計(jì)內(nèi)容2023/7/312問題1：正方形的面積y與正方形的邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系是y=x2確定性關(guān)系問題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否有一個(gè)確定性的關(guān)系？復(fù)習(xí)變量之間的兩種關(guān)系自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。2023/8/5問題1：正方形的面積y與正方形的邊長(zhǎng)x之間y=x2確定3

現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。

如：人的身高與年齡；產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量；商品的銷售額與廣告費(fèi)；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？2023/8/5現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x41020304050500450400350300·······發(fā)現(xiàn)：圖中各點(diǎn)，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點(diǎn)附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關(guān)系呢？xy散點(diǎn)圖施化肥量水稻產(chǎn)量施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y3303453654054454504552023/8/51020305稱為樣本點(diǎn)的中心，線性回歸直線一定過樣本中心。2、對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析。1、所求直線方程叫做回歸直線方程；相應(yīng)的直線叫做回歸直線。2023/8/5稱為樣本點(diǎn)的中心，線性回歸直線一定過樣本中心。2、對(duì)兩個(gè)變量6求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為,即為所求的回歸直線方程。2023/8/5求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為7例1、觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù):x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求兩變量間的回歸方程.解：列表：i12345678910xi-1-2-3-4-553421yi-9-7-5-3-115379xiyi91415125515121492023/8/5例1、觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù):x-1-2-3-4-553428所求回歸直線方程為2023/8/5所求回歸直線方程為2023/7/319例題

從某大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表：編號(hào)12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359

求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172ｃｍ的女大學(xué)生的體重。2023/8/5例題從某大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表10分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．2.回歸方程：1.散點(diǎn)圖；2023/8/5分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，11

探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？

答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg。2023/8/5探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定12例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。2023/8/5例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表113在線性回歸模型(4)中，隨機(jī)誤差e的方差越小。2s由于樣本點(diǎn)不在同一條直線上，只是散布在某一條直線附近，所以身高與體重的關(guān)系可用線性回歸模型:y=bx+a+e,

……

(3)來表示，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與bx+a之間的誤差.通常e為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差(randomerror),即e稱為隨機(jī)誤差.它的均值E(e)=0,方差D(e)=σ2.這樣線性回歸模型的完整表達(dá)式為：2023/8/5在線性回歸模型(4)中，隨機(jī)誤差e14思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、忽略了其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；3、身高y的觀測(cè)誤差。

以上三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。2023/8/5思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來源(可以推15探究3：在線性回歸模型中，e是用bx+a預(yù)報(bào)真實(shí)值y的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么怎樣研究隨機(jī)誤差呢？是真實(shí)值與估計(jì)值的差！2023/8/5探究3：在線性回歸模型中，e是用bx+a預(yù)報(bào)真實(shí)值y的隨機(jī)誤16思考：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤？如何衡量模型的擬合效果？2023/8/5思考：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤？如何衡量模型的擬合效果？2023172023/8/52023/7/31182023/8/52023/7/31192023/8/52023/7/3120例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753解：2023/8/5例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組21例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42023/8/5例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組22即在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該盡量選擇R2大的回歸模型.2023/8/5即在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該盡量選擇R2大的回歸模型.2023/723案例

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325非線性回歸問題2023/8/5案例一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測(cè)24選模型由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464估計(jì)參數(shù)解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)報(bào)變量y。選變量所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知畫散點(diǎn)圖050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和預(yù)測(cè)當(dāng)x=28時(shí)，y=19.87×28-463.73≈93一元線性模型假設(shè)線性回歸方程為：2023/8/5選模型由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-46325奇怪？93>66?模型不好？2023/8/5奇怪？93>66?2023/7/3126

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關(guān)系線性關(guān)系方案2問題１選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a？問題3

產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b？合作探究

t=x2二次函數(shù)模型2023/8/5y=bx2+a變27方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t2023/8/5方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)28問題２變換y=bx+a非線性關(guān)系線性關(guān)系問題１如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對(duì)數(shù)2023/8/5問題２29方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325xz當(dāng)x=28oC時(shí)，y≈44，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化由計(jì)算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程為

對(duì)數(shù)變換：在中兩邊取常用對(duì)數(shù)得令，則就轉(zhuǎn)換為z=bx+a.相關(guān)指數(shù)R2=0.982023/8/5方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny130最好的模型是哪個(gè)?產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型2023/8/5最好的模型是哪個(gè)?產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次31比一比函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.80指數(shù)函數(shù)模型0.98最好的模型是哪個(gè)?2023/8/5比一比函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模32回歸分析（二）則回歸方程的殘差計(jì)算公式分別為：由計(jì)算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.00-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于模型（2）。2023/8/5回歸分析（二）則回歸方程的殘差計(jì)算公式分別為：由計(jì)算可得：x33用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值?！@些問題也適用于其他問題。涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型的時(shí)間性；樣本的取值范圍對(duì)模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。小結(jié)2023/8/5用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們34一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否