信號(hào)與線性系統(tǒng)分析-第4章-課件

4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)在線性空間中，任何矢量可用相互垂直的單位矢量表示。這組矢量稱為正交矢量集。一.正交函數(shù)集

正交函數(shù)：函數(shù)1(t)和2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交，則

正交函數(shù)集：n個(gè)函數(shù)1(t)，…，n(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)構(gòu)成的正交函數(shù)集{i(t)}滿足14.1信號(hào)分解為正交函數(shù)在線性空間中，任何矢量可用相互垂直Ki為常數(shù)，如果Ki＝1，則稱該函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。完備正交函數(shù)集：在正交函數(shù)集之外，不存在函數(shù)與之正交。 一個(gè)完備的正交函數(shù)集通常包括無(wú)窮多個(gè)函數(shù)。正交復(fù)函數(shù)的定義：正交函數(shù)集例：（在區(qū)間[t0，t0+T]，且T=2）三角函數(shù)集：{1，cos(nt)，sin(nt)；n＝1，2，3，…}復(fù)指數(shù)函數(shù)集：{ejnt；n＝0，1，2，…}2Ki為常數(shù)，如果Ki＝1，則稱該函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。二.信號(hào)分解為正交函數(shù)

對(duì)任一函數(shù)f(t)用n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似選擇Cj時(shí)使實(shí)際函數(shù)與近似函數(shù)之間的誤差最小，取均方誤差要使均方誤差最小，就是求函數(shù)的極值。對(duì)上式求極值得3二.信號(hào)分解為正交函數(shù)選擇Cj時(shí)使實(shí)際函數(shù)與近似函數(shù)之間于是可得誤差均方誤差總是大于等于0，增大n可使誤差減小。4于是可得誤差均方誤差總是大于等于0，增大n可使誤差減小。當(dāng)n，誤差為0，則有帕斯瓦爾(Parseval)方程帕斯瓦爾方程物理意義：如果f(t)是電壓或電流信號(hào)，則單位電阻上信號(hào)的總能量等于信號(hào)的各正交分量的能量之和。因此f(t)在區(qū)間(t1,t2)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和5當(dāng)n，誤差為0，則有帕斯瓦爾(Parseval)方程帕斯4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)在區(qū)間(t0，t0＋T)上可以展開成在完備正交信號(hào)空間中的無(wú)窮級(jí)數(shù)。三角函數(shù)集或復(fù)指數(shù)函數(shù)集是完備的正交函數(shù)集，由其展開的級(jí)數(shù)統(tǒng)稱為傅里葉級(jí)數(shù)。一.周期信號(hào)的分解設(shè)有周期信號(hào)f(t)，可分解為an、bn稱為傅里葉系數(shù)?？捎上率角蟮?4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)在區(qū)間(t0，t0＋T)上可以展開an是n的偶函數(shù)，即a?n＝an； bn是n的奇函數(shù)，即b?n＝?bn。f(t)分解式的另一種形式式中 A0=a07an是n的偶函數(shù)，即a?n＝an；式中 A0=例：將方波信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。1f(t)t-T-1T解：傅里葉系數(shù)為8例：將方波信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。1f(t)t-T-1T解：傅里葉級(jí)數(shù)的展開式為9傅里葉級(jí)數(shù)的展開式為9 圖示方波信號(hào)分解 吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象：當(dāng)n時(shí)，在間斷點(diǎn)處有9%的偏差。 如果方波信號(hào)如圖所示1f(t)t-T-1T則傅里葉級(jí)數(shù)的展開式為10 圖示方波信號(hào)分解1f(t)t-T-1T則傅里葉級(jí)數(shù)的展開式二.奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)

根據(jù)傅里葉系數(shù)計(jì)算式，f(t)為偶函數(shù)，則系數(shù)為f(t)為奇函數(shù)，則系數(shù)為11二.奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)根據(jù)傅里葉系數(shù)計(jì)算式，f(t)任何函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分 f(t)＝fod(t)＋fev(t)由于 f(?t)＝fod(?t)＋fev(?t)＝?fod(t)＋fev(t)所以例f(t)=e?t(t)，則0tf(t)0.5?0.50tf(t)0.512任何函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分例f(t)=e?tFf(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TTFfev(t)t-TT半波整流波形13Ff(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TT全波整流信號(hào)f1(t)=E|sin0t|Ef1(t)t-TT14全波整流信號(hào)Ef1(t)t-TT14求半波整流信號(hào)f2(t)＝Esin(0t)(sin0t)的傅立葉級(jí)數(shù)。Ef2(t)t-TT半波整流信號(hào)是由奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分組成的：15求半波整流信號(hào)f2(t)＝Esin(0t)(sin0tf(t)為奇諧函數(shù)：將f(t)移動(dòng)T/2后，與原波形反相，即對(duì)稱于橫軸 f(t)＝?f(tT/2)1f(t)t-TT奇諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含奇次諧波，不含偶次諧波。16f(t)為奇諧函數(shù)：將f(t)移動(dòng)T/2后，與原波形反相，三.傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式因?yàn)閏osx＝(ejx＋e?jx)/2，所以A?n＝An?n＝?n17三.傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式因?yàn)閏osx＝(ejx＋e?jx Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)，計(jì)算式為18 Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)，計(jì)算式為18傅里葉級(jí)數(shù)小結(jié)：19傅里葉級(jí)數(shù)小結(jié)：194.3周期信號(hào)的頻譜一.周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)An、Fn、n與n有關(guān)，也即與頻率有關(guān)。An或|Fn|與之間的關(guān)系稱為幅頻特性，相應(yīng)地可畫出頻譜圖，稱為幅度頻譜。

n與之間的關(guān)系稱為相位頻譜。周期信號(hào)的頻譜只在＝n處取值，是離散頻譜。

204.3周期信號(hào)的頻譜一.周期信號(hào)的頻譜An、Fn、Sa(x)二.周期矩形脈沖的頻譜01T/2-T-/2f(t)t定義取樣函數(shù)為Sa(x)為偶函數(shù)21Sa(x)二.周期矩形脈沖的頻譜01T/2-T-/2f所以在頻譜圖上＝n處，存在譜線，譜線間隔為。T不變：減小，幅度減小，一周內(nèi)譜線增加，間隔不變。不變：T增加，幅度減小，譜線間隔變密。圖示頻譜圖。信號(hào)能量集中在第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)，＝2/＝2f0

。定義周期矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度為：F=f0=1/。22所以在頻譜圖上＝n處，存在譜線，譜線間隔為。T不變：三.周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的歸一化平均功率這是功率形式的帕斯瓦爾恒等式。例：幅度為1，脈沖寬度為0.2，周期為1的矩形脈沖信號(hào)，信號(hào)功率為23三.周期信號(hào)的功率這是功率形式的帕斯瓦爾恒等式。23其傅里葉系數(shù)為第一個(gè)零點(diǎn)為0.2n=，即n=5。在頻譜第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)各分量的功率和為第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)分量所占總功率的比例為24其傅里葉系數(shù)為第一個(gè)零點(diǎn)為0.2n=，即n=5。第一個(gè)零4.4非周期信號(hào)的頻譜一.傅里葉變換由傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式及其系數(shù)可得當(dāng)T時(shí)，d，1/Td/2，n，離散頻率變成連續(xù)頻率，F(xiàn)n為無(wú)窮小。上式成為254.4非周期信號(hào)的頻譜一.傅里葉變換當(dāng)T時(shí)，d常用下面符號(hào)簡(jiǎn)記： F(j)＝F

[f(t)]F[f(t)]表示對(duì)函數(shù)f(t)取傅里葉變換，F(xiàn)(j)稱為f(t)的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù)； f(t)＝F

?1[F(j)]F

?1[F(j)]表示對(duì)函數(shù)F(j)取逆變換

，f(t)稱為F(j)的原函數(shù)。對(duì)應(yīng)關(guān)系簡(jiǎn)記為：f(t)F(j)頻譜函數(shù)是的復(fù)函數(shù) F(j)＝|F(j)|ej()＝R()＋jX()其中|F(j)|為幅度頻譜，()為相位頻譜。26常用下面符號(hào)簡(jiǎn)記：26比較：實(shí)函數(shù)f(t)，復(fù)函數(shù)F(j)，復(fù)變函數(shù)F(s)。傅里葉變換的三角函數(shù)形式物理意義：非周期信號(hào)含有所有連續(xù)頻率分量，但其幅值為無(wú)窮小，用密度代替幅度來(lái)表示。傅里葉積分由傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)而得，所以f(t)在無(wú)限區(qū)間上滿足狄氏條件是傅里葉積分存在的條件。|F(j)|是偶函數(shù)該項(xiàng)積分為027比較：實(shí)函數(shù)f(t)，復(fù)函數(shù)F(j)，復(fù)變函數(shù)F(s)。物一些特殊函數(shù)的傅里葉變換(1)門函數(shù)的頻譜函數(shù)門函數(shù)g(t)＝(t＋/2)?(t?/2)頻譜圖傅里葉積分存在的充分條件是f(t)在無(wú)限區(qū)間上絕對(duì)可積f(t)t/21028一些特殊函數(shù)的傅里葉變換頻譜圖傅里葉積分存在的充分條件是f(2)單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù) f(t)＝e?t(t)>0幅度譜和相位譜分別為0tf(t)29(2)單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)幅度譜和相位譜分別為0tf(3)雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù) f1(t)＝e?|t|

>0(4)另一形式的雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)(>0)30(3)雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)(4)另一形式的雙邊指數(shù)函數(shù)二.奇異函數(shù)的傅里葉變換(1)沖激函數(shù)的頻譜

頻譜密度恒為1，稱為均勻譜或白色頻譜。沖激函數(shù)的頻譜也可由門函數(shù)推得(t)131二.奇異函數(shù)的傅里葉變換(1)沖激函數(shù)的頻譜頻譜密度(2)沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜即'(t)j幅度譜|F(j)|＝，相位譜()＝/2。根據(jù)廣義函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義可得F

[(n)(t)]＝(j)n。(3)單位直流信號(hào)的頻譜單位直流信號(hào)可看作雙邊指數(shù)函數(shù)f1(t)當(dāng)0時(shí)的極限直流分量為有限值，頻譜密度為無(wú)窮。32(2)沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜即頻譜函數(shù)是沖激函數(shù)，其強(qiáng)度為所以(4)符號(hào)函數(shù)的頻譜

符號(hào)函數(shù)定義為1sgn(t)t0-133頻譜函數(shù)是沖激函數(shù)，其強(qiáng)度為所以(4)符號(hào)函數(shù)的頻譜1sgn(t)可看作是雙邊指數(shù)函數(shù)f2(t)當(dāng)0時(shí)的極限，其頻譜函數(shù)為通常表示為sgn(t)2/j(5)階躍函數(shù)的頻譜

34sgn(t)可看作是雙邊指數(shù)函數(shù)f2(t)當(dāng)0時(shí)的極限，常用函數(shù)的傅里葉變換：35常用函數(shù)的傅里葉變換：354.5傅里葉變換的性質(zhì)(1)線性 若 fi(t)Fi(j)(i=1,2,…,n) 則對(duì)任意常數(shù)ai(i=1,2,…,n)，有

傅里葉變換對(duì)傅立葉變換后線性性質(zhì)不變。364.5傅里葉變換的性質(zhì)(1)線性傅里葉變換對(duì)傅立葉變換(2)奇偶性分析頻譜函數(shù)的奇偶性，及其與時(shí)間函數(shù)之間的關(guān)系。頻譜函數(shù)的實(shí)部和虛部分別為頻譜函數(shù)的模和相角分別為37(2)奇偶性分析頻譜函數(shù)的奇偶性，及其與時(shí)間函數(shù)之間的關(guān)系f(t)是時(shí)間t的實(shí)函數(shù)： R()=R(?),X()=?X(?) |F(j)|=|F(?j)|,()=?(?) 若f(t)是偶函數(shù)，則X()＝0，F(xiàn)(j)＝R()； 若f(t)是奇函數(shù)，則R()＝0，F(xiàn)(j)＝j(luò)X()。 f(?t)的傅里葉變換為＝F(?j)＝R(?)＋jX(?)＝R()?jX()＝F*(j)即F

[f(?t)]＝F(?j)＝F*(j)38f(t)是時(shí)間t的實(shí)函數(shù)：f(t)是時(shí)間t的虛函數(shù)，即f(t)=jg(t)，則有 R()=?R(?),X()=X(?) |F(j)|=|F(?j)|,()=?(?)

F

[f(?t)]＝F(?j)=?F*(j) 類似可得f(t)為復(fù)函數(shù)的性質(zhì)。無(wú)論f(t)為實(shí)函數(shù)或復(fù)函數(shù)，都有

F

[f(?t)]=F(?j)

F

[f*(t)]=F*(?j)

F

[f*(?t)]=F*(j)39f(t)是時(shí)間t的虛函數(shù)，即f(t)=jg(t)，則有39(3)對(duì)稱性 若 f(t)F(j) 則 F(jt)2f(?) 傅里葉逆變換式將式中的自變量t換為?t得將上式中的t換為，換為t，即得40(3)對(duì)稱性 若 f(t)F(j)將式中的例：求取樣函數(shù)Sa(t)=sint/t的頻譜函數(shù)。門函數(shù)傅氏變換 g(t)

Sa(/2)

根據(jù)對(duì)稱性Sa(t/2)2g(?)令＝2，則得 Sa(t)

g2()例：求函數(shù)f(t)=t的頻譜函數(shù)。

'(t)j jt2'(?)=?2'() tj2'()41例：求取樣函數(shù)Sa(t)=sint/t的頻譜函數(shù)。41(4)尺度變換 若 f(t)F(j) 則如a>1，則表示在時(shí)域中信號(hào)對(duì)時(shí)間的壓縮，對(duì)應(yīng)其在頻域中信號(hào)占有頻帶的擴(kuò)展。證明：令x=at，則當(dāng)a>0時(shí)42(4)尺度變換 若 f(t)令x=t?t0(5)時(shí)移特性

當(dāng)a<0時(shí) 若 f(t)F(j) 則f(tt0)ejt0F(j)，(t0為常數(shù))證明：同理可得f(t+t0)的變換。43令x=t?t0(5)時(shí)移特性當(dāng)a<0時(shí) 若 例：求圖示五脈沖信號(hào)的頻譜。解：?jiǎn)蚊}沖信號(hào)的變換為g(t)Sa(/2)

因?yàn)閒(t)＝g(t)+g(t+T)+g(t?T)+g(t+2T)+g(t?2T)所以F(j)＝Sa(/2)(1+ejT+e?jT+ej2T+e?j2T)＝Sa(/2)[1+2cos(T)+2cos(2T)]當(dāng)T＝4時(shí)波形見圖4.5-4。f(t)t/2T10-T2T-2T脈沖數(shù)n→？44例：求圖示五脈沖信號(hào)的頻譜。解：?jiǎn)蚊}沖信號(hào)的變換為f(t)t綜合尺度變換和時(shí)移特性有 若 f(t)F(j) 則由尺度變換可得反轉(zhuǎn)特性:F

[f(?t)]＝F(?j)例：求圖示f2(t)、f3(t)函數(shù)的傅里葉變換。f1(t)t-1110f2(t)t-2210-1f3(t)t-1110-145綜合尺度變換和時(shí)移特性有由尺度變換可得反轉(zhuǎn)特性:F解：f1(t)為門函數(shù)，其傅里葉變換為 g2(t)2Sa()函數(shù)f2(t)可表示為 f2(t)=f1(t+1)－f1(t?1)其傅里葉變換 又f3(t)=f2(2t)，所以46解：f1(t)為門函數(shù)，其傅里葉變換為又f3(t)=f2(2f3(t)也可直接由綜合變換式求得f3(t)=g2(2t+1)?g2(2t?1) g2(t)2Sa()47f3(t)也可直接由綜合變換式求得47(6)頻移特性 若 f(t)F(j)，且0為常數(shù) 則應(yīng)用頻移特性實(shí)現(xiàn)頻譜搬移，將信號(hào)f(t)乘以載頻信號(hào)cos0t或sin0t得到。因?yàn)橥砜傻?8(6)頻移特性 若 f(t)F(j)，且0例：矩形調(diào)幅信號(hào)49例：矩形調(diào)幅信號(hào)49(7)卷積定理時(shí)域卷積定理若 f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)則 f1(t)*f2(t)F1(j)·F2(j)

證明：50(7)卷積定理時(shí)域卷積定理50頻域卷積定理若 f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)則證明：51頻域卷積定理證明：51例：求斜升函數(shù)r(t)=t(t)的頻譜。解：根據(jù)函數(shù)t和(t)的頻譜，應(yīng)用頻域卷積定理由此可得：

F

[|t|]=F

[t(t)+(?t)(?t)]52例：求斜升函數(shù)r(t)=t(t)的頻譜。由此可得：(8)時(shí)域微分和積分時(shí)域微分定理 若 f(t)F(j) 則 f(n)(t)(j)nF(j)根據(jù)卷積的微分運(yùn)算和時(shí)域卷積定理，則有

F

[f'(t)]=F

[f(t)*'(t)]=F

[f(t)]·F

['(t)]=jF(j)重復(fù)應(yīng)用以上結(jié)果得時(shí)域微分定理。在交流電路分析時(shí)：時(shí)域積分定理 若 f(t)F(j) 則f(?1)(t)

F(0)()+(j)?1F(j)

53(8)時(shí)域微分和積分時(shí)域微分定理=F[f(t)]·F根據(jù)時(shí)域卷積定理，可得

F

[f(?1)(t)]=F

[f(?1)(t)*(t)]=F

[f(t)*(?1)(t)] =F

[f(t)]·F

[(t)]=F(j)[()+1/j] =F(0)()+F(j)/j

F(0)可以在頻域中求，也可在時(shí)域中求：54根據(jù)時(shí)域卷積定理，可得54例：求三角形脈沖的頻譜函數(shù)。f(t)t-/2/210f'(t)t-/2/22/0-2/f"(t)t-/2/20(2/)(2/)(-4/)對(duì)其求二次導(dǎo)數(shù)得沖激函數(shù)55例：求三角形脈沖的頻譜函數(shù)。f(t)t-/2/210ff(t)的頻譜函數(shù)為因?yàn)镕(0)=0，F(xiàn)(j)/j|=0=0，所以f(t)的頻譜函數(shù)為則三角形脈沖可表示為56f(t)的頻譜函數(shù)為因?yàn)镕(0)=0，F(xiàn)(j)/j|=則頻譜函數(shù)應(yīng)為在時(shí)域積分定理中認(rèn)為實(shí)際上例：(t)與sgn(t)/2的導(dǎo)數(shù)都是(t)，但?時(shí)值不同57則頻譜函數(shù)應(yīng)為在時(shí)域積分定理中認(rèn)為實(shí)際上例：(t)與sgn(9)頻域微分和積分

頻域微分 若 f(t)F(j) 則 (?jt)nf(t)F(n)(j)或 tnf(t)jnF(n)(j) 證： F

?1[F'(j)]=F

?1[F(j)*'()] =2F

?1[F(j)]·F

?1['()]即(?jt)1f(t)F(1)(j)類推可得n次微分。時(shí)域函數(shù)有tn因子時(shí)，變換可考慮用頻域微分性質(zhì)。58(9)頻域微分和積分頻域微分即頻域積分 若 f(t)F(j) 則式中f(0)可以在時(shí)域中求，也可在頻域中求證明：

F

?1[F(?1)(j)]=F

?1[F(j)*(?1)()] =2F

?1[F(j)]·F

?1[()]=2f(t)·F

?1[()]59頻域積分式中f(0)可以在時(shí)域中求，也可在頻域中求證明：59時(shí)域函數(shù)有t?1因子時(shí)，且f(0)=0，可考慮用如下頻域積分性質(zhì)因?yàn)楦鶕?jù)對(duì)稱性取反轉(zhuǎn)60時(shí)域函數(shù)有t?1因子時(shí)，且f(0)=0，可考慮用如下頻域積分例：求r(t)=t(t)的頻譜函數(shù)。例：求Sa(t)=sint/t的頻譜函數(shù)。應(yīng)用頻域微分應(yīng)用頻域積分61例：求r(t)=t(t)的頻譜函數(shù)。例：求Sa(t)=si若

f1(t)F1()，f2(t)F2()則有相關(guān)定理

F

[R12()]=F1(j)F2*(j)

F

[R21()]=F1*(j)F2(j)這是因?yàn)?/p>

F

[R12()]=F

[f1()*f2(?)]=F1(j)F2(?j)=F1(j)F2*(j)相關(guān)定理中f1(t)、f2(t)應(yīng)該是實(shí)函數(shù)。對(duì)于自相關(guān)函數(shù)則有

F

[R()]=F(j)F*(j)=|F(j)|2(10)相關(guān)定理62若f1(t)F1()，傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)線性 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(j)+a2F2(j)奇偶性f(t)為實(shí)函數(shù)：R()、|F(j)|偶函數(shù)；X()、()奇函數(shù)。F

[f(?t)]=F(?j)=F*(j)對(duì)稱性 F(jt)2f(?)時(shí)移特性尺度變換63傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)線性 a1f1(t)+a2f2(時(shí)域卷積定理 f1(t)*f2(t)F1(j)·F2(j)頻域卷積定理時(shí)域微分 f(n)(t)(j)nF(j)時(shí)域積分頻域微分 (?jt)nf(t)F(n)(j)頻域積分頻移特性64時(shí)域卷積定理 f1(t)*f2(t)F1(j) 若E、P有界，則f(t)稱為能量信號(hào)或功率信號(hào)。能量譜若f(t)為實(shí)函數(shù)，信號(hào)能量與頻譜函數(shù)的關(guān)系

4.6能量譜和功率譜65 若E、P有界，則f(t)稱為能量信號(hào)或功率信號(hào)。4.6能即上式也是能量形式的帕斯瓦爾方程?？蓪⑸鲜礁膶憺槲锢硪饬x：在df頻帶范圍內(nèi)，信號(hào)具有的能量為無(wú)窮小量|F(j)|2df。定義能量密度譜

E

()=|F(j)|2信號(hào)的能量譜是其自相關(guān)函數(shù)的頻譜函數(shù)

E

()=F

[R()]=|F(j)|2E

()反映了信號(hào)的能量在頻域中的分布。66即上式也是能量形式的帕斯瓦爾方程。物理意義：在df頻帶功率譜定義函數(shù)fT(t)=f(t)[(t+T/2)?(t?T/2)]FT(j)=F

[fT(t)]如果f(t)是實(shí)函數(shù)，則信號(hào)平均功率為當(dāng)T時(shí)，fT(t)f(t)。定義功率密度譜為功率譜P()反映信號(hào)功率在頻域中分布。67功率譜當(dāng)T時(shí)，fT(t)f(t)。定義功率密度譜為功若f1(t)和f2(t)是功率信號(hào)，定義互相關(guān)函數(shù)為若f(t)是功率信號(hào)，定義自相關(guān)函數(shù)為其傅立葉變換為68若f1(t)和f2(t)是功率信號(hào)，定義互相關(guān)函數(shù)為若f(t即R()P()此即維納-欣欽關(guān)系，據(jù)此可用功率譜描述隨機(jī)信號(hào)的頻率特性。例：求信號(hào)f(t)=Sa(t)的能量。解：已知變換對(duì)根據(jù)信號(hào)的能量與頻譜函數(shù)關(guān)系式，Sa(t)的能量為69即4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一.正、余弦函數(shù)的傅里葉變換二.一般周期函數(shù)的傅里葉變換

周期函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)式中=2/T。704.7周期信號(hào)的傅里葉變換一.正、余弦函數(shù)的傅里葉變換二周期函數(shù)的傅里葉變換 上式表明周期函數(shù)的F(j)和Fn之間關(guān)系。傅里葉變換得到的是頻譜密度F(j)，傅里葉級(jí)數(shù)得到的是傅里葉系數(shù)Fn。周期性單位沖激函數(shù)系列稱為梳狀函數(shù)71周期函數(shù)的傅里葉變換 上式表明周期函數(shù)的F(j)和Fn之所以T(t)的傅里葉變換為梳狀函數(shù)的傅里葉系數(shù)為0-2T-TT2TT(t)t0-2-2()72所以T(t)的傅里葉變換為梳狀函數(shù)的傅里葉系數(shù)為0-2周期信號(hào)fT(t)在一個(gè)周期內(nèi)(?T/2~T/2)函數(shù)令為f0(t)，則 fT(t)=f0(t)*T(t)(見P71)其傅里葉變換為比較可得傅里葉變換中的一些性質(zhì)、定理也可用于傅里葉級(jí)數(shù)。主周期信號(hào)f0(t)包含了周期信號(hào)fT(t)的全部信息。73周期信號(hào)fT(t)在一個(gè)周期內(nèi)(?T/2~T/2)函數(shù)令為f則其傅里葉變換為例：周期矩形脈沖信號(hào)其傅里葉系數(shù)為74則其傅里葉變換為例：周期矩形脈沖信號(hào)其傅里葉系數(shù)為747575例：將圖示周期信號(hào)展開成指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。fT(t)0t1T-T解：f1(t)的傅里葉變換為f0(t)的傅里葉變換為f0(t)0t1Tf1(t)0t1T/276例：將圖示周期信號(hào)展開成指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。fT(t)0t1TfT(t)的傅里葉系數(shù)為fT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為實(shí)際上77fT(t)的傅里葉系數(shù)為fT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為實(shí)際上74.8LTI系統(tǒng)的頻域分析一.頻率響應(yīng)

系統(tǒng)的時(shí)域分析法用(t)或(t)作為基本信號(hào)，系統(tǒng)的頻域分析法可用虛指數(shù)函數(shù)ejt作為基本信號(hào)。在時(shí)域分析中，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 yzs(t)=h(t)*f(t)應(yīng)用傅里葉變換的時(shí)域卷積性質(zhì)，上式成為 yzs(t)=F

?1[H(j)·F(j)]頻域分析法就是應(yīng)用頻域函數(shù)分析系統(tǒng)的響應(yīng)，將時(shí)域中的卷積運(yùn)算變換為頻域中的相乘運(yùn)算。由于在頻域分析時(shí)，只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此以下yzs(t)簡(jiǎn)寫為y(t)。784.8LTI系統(tǒng)的頻域分析一.頻率響應(yīng)78LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，設(shè)激勵(lì)為虛指數(shù)函數(shù)f(t)=ejt(?<t<)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=h(t)*f(t)式中H(j)是h(t)的傅里葉變換，稱為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位變化。任意信號(hào)f(t)可以看作無(wú)窮多個(gè)虛指數(shù)信號(hào)ejt之和，即79LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，設(shè)激勵(lì)為虛指數(shù)函數(shù)f(t)=任意信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)的推導(dǎo)：H(j)也可定義為|H(j)|稱為幅頻特性，()稱為相頻特性。80任意信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)的推導(dǎo)：H(j)也可定義為|H例：求系統(tǒng)y'(t)+2y(t)=f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，f(t)=e?t(t)。解：對(duì)微分方程取傅里葉變換得 jY(j)+2Y(j)=F(j)由此得激勵(lì)的傅里葉變換響應(yīng)的傅里葉變換取傅里葉逆變換得系統(tǒng)響應(yīng)y(t)=(e?t－e?2t)(t)81例：求系統(tǒng)y'(t)+2y(t)=f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，f(例：電路如圖所示，激勵(lì)為us(t)=(t)，求零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)。+CR_+us(t)_uC(t)解：電路頻率響應(yīng)函數(shù)為激勵(lì)的傅里葉變換82例：電路如圖所示，激勵(lì)為us(t)=(t)，求零狀態(tài)響應(yīng)u電路零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)的頻譜函數(shù)為取傅里葉逆變換得uC(t)=F

1[UC(j)]=(1et)(t)根據(jù)交流電路建立電路方程的方式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)，由H(j)可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。83電路零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)的頻譜函數(shù)為取傅里葉逆變換得83例：求圖示系統(tǒng)的輸出y(t)。已知f(t)s(t)x(t)y(t)H(j)解：門函數(shù)的頻譜函數(shù)為?。?，根據(jù)對(duì)稱性可得 4Sa(2t)2g4(?)=2g4()即 F

[sin(2t)/t]=g4()s(t)的頻譜函數(shù)為 F

[cos(3t)]=[(+3)+(?3)]84例：求圖示系統(tǒng)的輸出y(t)。已知f(t)s(t)x(t)y根據(jù)系統(tǒng)圖得 y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*[f(t)·s(t)]取傅里葉變換得85根據(jù)系統(tǒng)圖得85取逆變換可得-11X(j)5-5g4(+3)+g4(?3)H(j)3-3g6()Y(j)-113-3g2(+2)+g2(?2)86取逆變換可得-11X(j)5-5g4(+3)+g4(二.無(wú)失真?zhèn)鬏敓o(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)妮敵鲂盘?hào)定義為：y(t)=Kf(t?td)對(duì)上式取傅里葉變換得：Y(j)=Ke?jtdF(j)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：H(j)=Ke?jtd

所以無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為 |H(j)|=K ()=?td

|H(j)|0K()087二.無(wú)失真?zhèn)鬏敓o(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)妮敵鲂盘?hào)定義為：y(t)=Kf(無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=K(t?td)無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)還是沖激函數(shù)，但有強(qiáng)度變化和延時(shí)。三.理想低通濾波器的響應(yīng)理想低通濾波器可看作頻域中寬度為2c的門函數(shù)根據(jù)對(duì)稱性，由得|H(j)|01c-c()88無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)為根據(jù)對(duì)稱性，由得|H(j)令=2c，得所以理想低通濾波器的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)在輸入沖激之前就已出現(xiàn)，因而是非因果系統(tǒng)，這是由于理想化的結(jié)果，實(shí)際不可實(shí)現(xiàn)。89令=2c，得所以理想低通濾波器的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為式中Sa(x)為偶函數(shù)，其積分定義正弦積分

所以令c(?td)=xxc=c(t?td)90理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為式中Sa(x)為偶函數(shù)，其積分定義物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)應(yīng)滿足的條件： 時(shí)域（因果條件）h(t)＝0,t<0g(t)＝0，t<0頻域(Paley-Wiener準(zhǔn)則)幅頻特性滿足平方可積而且滿足物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其H(j)可以在某些孤立點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0。91物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)應(yīng)滿足的條件：而且滿足物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其H(j4.9取樣定理一.信號(hào)的取樣

取樣——利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)中取出一系列離散樣本值fs(t)的過(guò)程。 fs(t)=f(t)·s(t)f(t)0ts(t)0tTsfs(t)0tTsfs(t)稱為取樣信號(hào)，s(t)稱為開關(guān)函數(shù)，Ts為取樣周期，s為取樣角頻率。fs(t)f(t)s(t)數(shù)字信號(hào)量化編碼924.9取樣定理一.信號(hào)的取樣f(t)0ts(t)0tT取樣的目的：將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)。取樣的要求：保持原有信號(hào)的所有信息。由頻域卷積定理可得取樣信號(hào)的頻譜函數(shù)開關(guān)函數(shù)可以為沖激函數(shù)系列或矩形脈沖系列。沖激取樣梳狀函數(shù)其頻譜函數(shù)(見P169)也為周期脈沖系列93取樣的目的：將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)。開關(guān)函數(shù)可以為沖激函數(shù) 如果連續(xù)信號(hào)f(t)為區(qū)間(?m，m)內(nèi)頻帶有限信號(hào)(簡(jiǎn)稱帶限信號(hào))，則ss()0sTs(t)0tTs1f(t)0tF(j)0mfs(t)0tTsFs(j)0sm94 如果連續(xù)信號(hào)f(t)為區(qū)間(?m，m)內(nèi)頻帶有限信號(hào)(當(dāng)s>2m時(shí)，不發(fā)生混疊現(xiàn)象，可以從取樣信號(hào)中恢復(fù)原信號(hào)。否則就不能恢復(fù)原信號(hào)。例：對(duì)信號(hào)f(t)=2sin0t+sin30t進(jìn)行沖激取樣，取樣頻率應(yīng)為多少？因?yàn)閙=30，所以s>60。矩形脈沖取樣取樣脈沖序列是幅度為1，脈寬為(<Ts)的矩形脈沖序列 s(t)=pTs(t)其頻譜函數(shù)(見P168)為95當(dāng)s>2m時(shí)，不發(fā)生混疊現(xiàn)象，可以從取樣信號(hào)中恢復(fù)原信號(hào)則取樣信號(hào)的頻譜函數(shù)f(t)0tF(j)0m-mP(j)0spTs(t)0tTs1fs(t)0tTsFs()0sm96則取樣信號(hào)的頻譜函數(shù)f(t)0tF(j)0m-mP(二.時(shí)域取樣定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)為了從Fs(j)中無(wú)失真地恢復(fù)F(j)，選擇一個(gè)理想低通濾波器(時(shí)延為0，幅度為Ts)輸出信號(hào)頻譜 F(j)=Fs(j)·H(j)F(j)0smc97二.時(shí)域取樣定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)低通濾波器是幅值為Ts的門函數(shù)，其沖激響應(yīng)為由此得令c=s/298低通濾波器是幅值為Ts的門函數(shù)，其沖激響應(yīng)為由此得令c9999f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsFs(j)0sm-s0cH(j)-c0F(j)m-mF(j)S(j)Fs(j)H(j)F(j)100f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsF時(shí)域取樣定理：一個(gè)頻譜在區(qū)間(?m，m)以外為零的帶限信號(hào)f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts(Ts<Tm/2，或s>2m)上的樣點(diǎn)值f(nTs)確定。奈奎斯特(Nyquist)頻率：取樣頻率的下限fs＝2fm；奈奎斯特間隔：取樣間隔的上限Ts＝Tm/2。例1：求信號(hào)f(t)＝2+4cos(5t)+cos(10t)的取樣頻率。解：因?yàn)閙＝2fm＝10rad/sf(t)最高頻率fm＝5/Hz奈奎斯特頻率fs＝2fm＝10/Hz奈奎斯特間隔Ts＝1/fs＝/10s101時(shí)域取樣定理：一個(gè)頻譜在區(qū)間(?m，m)以外為零的帶限例2：求信號(hào)f(t)＝Sa(100t)的取樣頻率。解：因?yàn)镾a(t/2)2g()取＝200，其m＝100rad/s，fm＝50/Hz所以fs>100/Hz，Ts</100s頻域取樣定理：一個(gè)在時(shí)域區(qū)間(?tm，tm)以外為零的有限時(shí)間信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)為F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs(fs<1/2tm)上的樣點(diǎn)值F(jns)確定。102例2：求信號(hào)f(t)＝Sa(100t)的取樣頻率。102題4.20(5)、(8)解(5)：設(shè)f1(t)＝tf(t)，f2(t)＝f1(1?t)＝(1?t)f(1?t)，其頻譜函數(shù)分別為解(8)：設(shè)f1(t)＝f(3?2t)，f2＝ejtf1(t)＝ejtf(3?2t)，其頻譜函數(shù)分別為注意！103題4.20(5)、(8)解(5)：設(shè)f1(t)＝tf(t)題4.21(4)解：因?yàn)榻o定頻譜函數(shù)104題4.21(4)解：因?yàn)榻o定頻譜函數(shù)104105105題4.21(4)另一種解法：F(j)＝[()?(?2)]e-j＝g2(?1)e?j因?yàn)镾a(t/2)2g()令=2得時(shí)移頻移所以106題4.21(4)另一種解法：時(shí)移頻移所以106題4.22(b)解：圖示頻譜函數(shù)為根據(jù)變換對(duì)Sa(t/2)2g()?。?，則所以107題4.22(b)解：圖示頻譜函數(shù)為根據(jù)變換對(duì)題4.33解：因?yàn)閟(t)S(j)所以頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為108題4.33解：因?yàn)閟(t)題4.33也可這樣求頻譜函數(shù)為109題4.33也可這樣求頻譜函數(shù)為109題4.40fs1(t)f(t)cos(bt)H1(j)fs2(t)x(t)y(t)cos(b+m)tH2(j)0mF(j)-m0bFs1(j)-b0bH1(j)-b110題4.40fs1(t)f(t)cos(bt)H1(j)f0bX(j)-b0mFs2(j)-b-mmb+m0mH2(j)-m0mY(j)-m1110b