2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦的定義直接計(jì)算作答.【詳解】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以.故選：B.2．在中，已知，，，則等于（

）A． B．7 C． D．19【答案】A【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，將，及的值代入即可求出的值．【詳解】在中，，，，由余弦定理得：，則．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．3．下列命題中，正確的是（

）A．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．兩個(gè)平面相交，可以只有一個(gè)公共點(diǎn)C．三角形是平面圖形 D．四邊形是平面圖形【答案】C【分析】根據(jù)基本事實(shí)1、2和3及基本事實(shí)1的推論逐一判斷．【詳解】對(duì)于A：一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)；對(duì)于B：兩個(gè)平面相交，有一條公共直線，有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故B錯(cuò)；對(duì)于C：三角形的兩條邊一定相交，根據(jù)基本事實(shí)1的推論2“過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面”，所以三角形的兩條邊確定一個(gè)平面，而第三邊的兩個(gè)端點(diǎn)在該平面內(nèi)，根據(jù)基本事實(shí)2“如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)”確定第三邊在該平面內(nèi)，故三角形是一個(gè)平面圖形，故C正確；對(duì)于D：如圖四邊形不是平面圖形，故D錯(cuò)誤；故選：C4．在如圖所示的正方體中，異面直線與所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義及正方體的特征求解【詳解】連接，，如圖，因?yàn)檎襟w中，所以就是與所成的角，在中，.∴.故選：C5．如圖，在正四棱臺(tái)中，，分別為上、下底面中心，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．是直角梯形 B．是直角梯形C．直線與直線異面 D．直線與直線異面【答案】D【分析】將正四棱臺(tái)補(bǔ)全為正四棱錐，再結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)一一分析即可.【詳解】由棱臺(tái)的定義可知可將正四棱臺(tái)補(bǔ)全為如圖所示正四棱錐，因?yàn)椋謩e為上、下底面中心，所以、、三點(diǎn)共線，且底面，底面，底面，底面，所以，，又，且，所以是直角梯形，故A正確；因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，與均為等腰三角形，且，，所以，，又，，所以是直角梯形，故B正確；因?yàn)?，，所以直線與直線異面，故C正確；由，所以直線與直線相交于點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：D6．已知平面直角坐標(biāo)系中的3點(diǎn)，則中最大角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)夾角公式算出每個(gè)內(nèi)角的余弦值，然后分析可得結(jié)果.【詳解】，根據(jù)夾角公式，；，根據(jù)夾角公式，；，根據(jù)夾角公式，.由，，，于是是鈍角，是銳角，最大角是，余弦值為.故選：C7．在三棱錐中，兩兩垂直，，則點(diǎn)到平面的距離等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)利用等體積法求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵兩兩垂直，且，∴，，∴，又，，，平面，所以平面，∵，即∴，∴，即點(diǎn)到平面的距離為，故選：D8．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，且，則“”是“且”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由面面平行的判定與性質(zhì)判斷充分性和必要性即可.【詳解】由面面平行的性質(zhì)可知：且，充分性成立；當(dāng)時(shí)，若，，，則可能平行或相交，必要性不成立；“”是“且”的充分而不必要條件.故選：A.9．在中，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理將邊化角，在利用兩角和的正弦公式及二倍角公式轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，在結(jié)合的范圍計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理可得因?yàn)?，所以，所以，則，則，即.故選：C10．如圖，在各棱長均為1的的四面體中，E是PA的中點(diǎn)，Q為直線EB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）

A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意將和折成一個(gè)平面，可知，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，在中，由余弦定理可得，可知為銳角，可得，將和折成一個(gè)平面，連接，可知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)，在中，由余弦定理可得，即，所以的最小值為.故選：B.二、填空題11．在中，若，則.【答案】/【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及角的范圍得答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，又在中，，，所?故答案為:.三、雙空題12．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，已知扇形的半徑為3，圓心角為，則扇形的弧長等于；該圓錐的體積等于.【答案】【分析】利用扇形的弧長公式可得扇形的弧長；求出圓錐的底面半徑和高可得圓錐的體積.【詳解】因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，圓心角為，則扇形的弧長等于；設(shè)圓錐的底面半徑為，所以，解得，則圓錐的高為，所以圓錐的體積為.故答案為：；.13．已知一個(gè)長方體的個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且長方體的棱長為，，，則長方體的體對(duì)角線的長等于；球的表面積等于.【答案】【分析】依題意長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，利用勾股定理求出體對(duì)角線，即可求出，再根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，，即長方體的體對(duì)角線為，則外接球的表面積.故答案為：；四、填空題14．已知l，m是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，能夠得到的是.（填入條件的序號(hào)即可）①；②；③；④.【答案】①③（或②④）【分析】由直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一分析即可得出答案.【詳解】選①②，若，，則可能，不正確；選①③，若，，則，正確；選①④，若，，則可能，不正確；選②③，若，，則可能，不正確；選②④，若，，則，正確；選③④，若，，則可能，不正確；故答案為：①③（或②④）15．如圖所示，在傾斜角等于的山坡上有一根旗桿，當(dāng)太陽的仰角是時(shí)，旗桿在山坡上的影子的長是30米，則旗桿的高等于米.

【答案】【分析】利用正弦定理計(jì)算可得.【詳解】如圖，，則，，米，由正弦定理，即，解得.

故答案為：16．如圖1，在矩形ABCD中，，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE折起，點(diǎn)A折起后的位置記為點(diǎn)，得到四棱錐，M為AC的中點(diǎn)，如圖2.某同學(xué)在探究翻折過程中線面位置關(guān)系時(shí)，得到下列四個(gè)結(jié)論：①恒有；

②恒有平面；③三棱錐的體積的最大值為；

④存在某個(gè)位置，使得平面平面.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①②③【分析】根據(jù)原圖形判斷①，根據(jù)面面平行得出線面平行判斷②，結(jié)合面面垂直及體積公式判斷體積最大值得出③，應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理及反證法得出④.【詳解】矩形ABCD中,,①正確；取CD中點(diǎn)H，連接MH，BH，M和H分別是，CD的中點(diǎn)，，在平面外，平面，E是矩形ABCD的AB邊中點(diǎn)，，，，在平面外，平面，又，平面平面，平面，，②正確；取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：當(dāng)平面平面時(shí)，到平面的距離最大.因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?，所以.所以四棱錐體積最大值為，所以四棱錐體積最大值為，M為AC的中點(diǎn)，三棱錐的體積的最大值為故③正確.平面平面,平面平面平面,平面,,,④錯(cuò)誤故答案為：①②③.五、解答題17．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求證：，，，四點(diǎn)共面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由正方體的性質(zhì)得到，即可得證；（2）通過證明平面，即可得證；（3）連接，即可得到，再由正方體的性質(zhì)得到，即可得證.【詳解】（1）由正方體的性質(zhì)，平面，平面，所以平面.（2）由正方體的性質(zhì)平面，平面，所以，又為正方形，所以，，平面，所以平面，又平面，所以.

（3）連接，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又且，所以為平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面.18．在中，，，.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理計(jì)算可得；（2）首先利用兩角和的正弦公式求出，在根據(jù)面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，，由正弦定理，即，解得，又，所以，所?（2）由（1）可得，所以，所以.19．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值及取得最小值自變量的值.【答案】(1)(2)最小值為，當(dāng)時(shí)取得.【分析】（1）根據(jù)二倍角公式，輔助角公式將函數(shù)化簡，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合的范圍進(jìn)行求解.【詳解】（1），故最小正周期為（2）由于，則，注意到在上滿足，上，于是要求的最小值只用考慮的情況，由在上單調(diào)遞減，，于是在上遞減，故時(shí)，即，取到最小值.20．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在，且，理由見解析【分析】（1）依題意可得，再由底面為矩形，則，即可得證；（2）由已知證明平面，進(jìn)一步可得平面平面；（3）連接、，，連接，依題意可得，則，再由線面平行的性質(zhì)得到，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又底面為矩形，所以，所以.（2）底面為矩形，．平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，．又，，、平面，平面，而平面，平面平面；（3）存在，且，理由如下：連接、，，連接，因?yàn)槭蔷匦?，且為的中點(diǎn)，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以.

21．某城市計(jì)劃新修一座城市運(yùn)動(dòng)主題公園，該主題公園為平面五邊形（如圖所示），其中三角形區(qū)域?yàn)閮和顒?dòng)場所，三角形區(qū)域?yàn)槲乃嚮顒?dòng)場所，三角形區(qū)域?yàn)榍蝾惢顒?dòng)場所，為運(yùn)動(dòng)小道（不考慮寬度），，，.

(1)求的長度；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的長度；(3)在（2）的條件下，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使兒童活動(dòng)場所（即三角形）的面積最大？條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時(shí)，兒童活動(dòng)場所（即三角形）的面積最大【分析】