2022-2023學(xué)年福建省泉州市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】VIP

2022-2023學(xué)年福建省泉州市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，再根據(jù)模長(zhǎng)公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.2．為貫徹國(guó)家體育總局提出的“陽(yáng)光體育”運(yùn)動(dòng)要求，某校舉行了全校大課間跑操比賽.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取個(gè)班級(jí)的比賽成績(jī)，得到以下統(tǒng)計(jì)表，由統(tǒng)計(jì)表可得這個(gè)比賽成績(jī)的第百分位數(shù)是（

）成績(jī)678910班級(jí)數(shù)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義直接計(jì)算即可【詳解】由，得出第百分位數(shù)是第和第個(gè)成績(jī)的平均數(shù)，由表中數(shù)據(jù)可知第個(gè)成績(jī)?yōu)?，第個(gè)成績(jī)10，所以第百分位數(shù)為，故選：C3．已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解法1：根據(jù)向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算求解；解法2：結(jié)合圖形處理問(wèn)題.【詳解】解法1：因?yàn)?，，則在上的投影向量為.解法2：因?yàn)椋蓤D可得，在軸上的投影數(shù)量為，則在上的投影向量.故選：B.

4．從，，，，這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同數(shù)字，則這兩個(gè)數(shù)字乘積為偶數(shù)且它們的和大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用列舉法寫(xiě)出所有的情況，然后找出符合題目條件的情況，根據(jù)古典概型公式代入計(jì)算即可.【詳解】從，，，，這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同數(shù)字的樣本空間是，，，，，，，，，，共個(gè)樣本點(diǎn)，記事件“這兩個(gè)數(shù)字乘積為偶數(shù)且和大于”，則，，，，共個(gè)樣本點(diǎn)，所以.故選：D.5．用平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫做正四棱臺(tái)，經(jīng)過(guò)正四棱臺(tái)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做該正四棱臺(tái)的對(duì)角面.若正四棱臺(tái)的體積為，上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，則該棱臺(tái)的對(duì)角面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)得到兩個(gè)棱錐的高之間的關(guān)系，再根據(jù)棱臺(tái)的體積公式求出棱臺(tái)的高，則可求出對(duì)角面的面積.【詳解】設(shè)截去小錐體的高為，棱臺(tái)的高為，則，得.由，解得.所以對(duì)角面面積為.

故選：A.6．已知向量，，若向量與的夾角等于與的夾角，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解法1：由向量的夾角公式可得，分別將選項(xiàng)代入結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案；解法2：由圖可知，向量與，的夾角均為，即向量在向量，方向上分解的長(zhǎng)度始終相等，可得出的比值，即可得出答案.【詳解】解法1：由向量與的夾角等于與的夾角即，可得，可得，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.解法2：由圖可知，向量與，的夾角均為，即向量在向量，方向上分解的長(zhǎng)度始終相等，又，，故恒成立，故選：C.

7．2022年6月5日，神舟十四號(hào)載人飛船成功與天和核心艙對(duì)接形成組合體，并于12月4日成功返回地面.本次任務(wù)的完成見(jiàn)證了貨運(yùn)飛船與空間站交會(huì)對(duì)接最快世界紀(jì)錄等眾多歷史性時(shí)刻.如圖，神州十四號(hào)返回艙接近地面時(shí)，傘面是表面積約為的半球面(不含底面圓)，傘頂與返回艙底端的距離為半球半徑的倍，直線(xiàn)在水平地面上的投影為，和觀測(cè)點(diǎn)在同一水平線(xiàn)上.在遙控觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，線(xiàn)段的視角（即）的正弦值為，則此時(shí)返回艙底端離地面的高度約為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)半球半徑為米，則，則，所以，因?yàn)檠鼋?，則，又，所以在中，，所以，因?yàn)椋瑒t，所以在直角中，，故選：B.8．已知為的外心，，，，則的面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)外心求出，利用條件得出，結(jié)合面積公式可得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為D，由為的外心可得，，，又，所以，又，可得，故，則的面積為，故選：D.

二、多選題9．已知直線(xiàn)，與平面，，，則的充分條件可以是（

）A．，B．，C．，D．，，【答案】ACD【分析】由直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及平面與平面平行的判定定理對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：已知，，由平行的傳遞性可得；對(duì)于選項(xiàng)B：已知，，聯(lián)想到“墻角模型”，可知無(wú)法推出；對(duì)于選項(xiàng)C：已知，則可找到內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，有，過(guò)構(gòu)造一平面交于直線(xiàn)，又，則，所以，，所以，同理，，相交，所以；對(duì)于選項(xiàng)D：已知，，，等價(jià)于，，由選項(xiàng)C可知結(jié)論正確.故選：ACD.10．下圖是年和年小明家庭各項(xiàng)支出的比例分配圖，其中每年用于房貸的支出費(fèi)用相等，則（

）

A．總支出年比年增長(zhǎng)B．用于飲食的支出費(fèi)用年與年相等C．用于交通的支出費(fèi)用年與年相等D．用于娛樂(lè)的支出費(fèi)用年比年增長(zhǎng)【答案】AC【分析】根據(jù)各項(xiàng)支出比列分配表逐個(gè)分析各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)槊磕暧糜诜抠J的支出費(fèi)用相等，設(shè)為，則年總支出為，年總支出為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B：年與年飲食支出分別為，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：年與年交通支出分別為，,故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：年與年總支出不一樣，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選:.11．在中，，，，是邊上的一點(diǎn)，則（

）A． B．外接圓的半徑是C．若，則 D．若是的平分線(xiàn)，則【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式判斷A選項(xiàng)，應(yīng)用余弦定理及正弦定理判斷B選項(xiàng)，應(yīng)用向量加減法判斷C選項(xiàng)，根據(jù)面積公式求解判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得外接圓的半徑是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，所以，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由等面積法，得即，解得，故選項(xiàng)D正確；故選：.12．如圖，正三棱柱的上底面上放置一個(gè)圓柱，得到一個(gè)組合體，其中圓柱的底面圓內(nèi)切于，切點(diǎn)，分別在棱，上，為圓柱的母線(xiàn).已知圓柱的高為，側(cè)面積為，棱柱的高為，則（

）

A．平面B．C．組合體的表面積為D．若三棱柱的外接球面與線(xiàn)段交于點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為【答案】BCD【分析】作出平面截組合體所得截面，即可判斷A；先求出的邊長(zhǎng)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，，則，證明平面，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可判斷B；由于圓柱的下底面與棱柱的上底面有重疊部分，則表面積，再根據(jù)柱體的體積公式即可判斷C；取的中心，則的中點(diǎn)為棱柱的外接球球心，連接，，連接，在平面內(nèi)過(guò)作，垂足為，利用勾股定理求出外接球的半徑，利用等體積法求出到平面的距離，進(jìn)而可判斷D.【詳解】對(duì)于A：由題意，切點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，作出平面截組合體所得截面，如下圖1：由圖可知，，分別在截面的兩側(cè)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)閳A柱的高為，側(cè)面積為，所以圓柱底面半徑為，又圓柱的底面圓內(nèi)切于，則，所以棱柱底面邊長(zhǎng)，如下圖2：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，，則，所以，，，四點(diǎn)共面，又，所以，易知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故B正確；對(duì)于C：由于圓柱的下底面與棱柱的上底面有重疊部分，因此表面積，故C正確；對(duì)于D：如下圖3：取的中心，則的中點(diǎn)為棱柱的外接球球心，連接，，由勾股定理，得外接球半徑，連接，在平面內(nèi)過(guò)作，垂足為，則，由勾股定理，得，所以，所以，，由余弦定理得，所以，所以，設(shè)到平面的距離為，與平面所成的角為，由，有，即，解得，所以，故D正確.故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線(xiàn)面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線(xiàn)面垂直，進(jìn)而確定線(xiàn)面角的垂足，明確斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，即可確定線(xiàn)面角；（2）在構(gòu)成線(xiàn)面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而不必作出線(xiàn)面角，則線(xiàn)面角滿(mǎn)足（為斜線(xiàn)段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線(xiàn)面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線(xiàn)的方向向量，為平面的法向量，則線(xiàn)面角的正弦值為.三、填空題13．在中，，，，則.【答案】【分析】利用余弦定理即可得解.【詳解】因?yàn)樵谥校?，，，所以，則.故答案為：.14．2022年8月16日，航天員的出艙主通道——問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙氣閘艙首次亮相.某高中為了解學(xué)生對(duì)這一新聞的關(guān)注度，采用按比例分配的分層抽樣方法從高中三個(gè)年級(jí)中抽取了45人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中高一年級(jí)抽取了18人，高二年級(jí)抽取了12人，且高三年級(jí)共有學(xué)生1200人，則該高中的學(xué)生總數(shù)為人.【答案】3600【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比計(jì)算作答.【詳解】依題意，高三年級(jí)抽取的人數(shù)為，令該高中的學(xué)生總數(shù)為，則，解得，所以該高中的學(xué)生總數(shù)為.故答案為：15．復(fù)數(shù)、滿(mǎn)足，，則．【答案】【分析】可以采用向量方法求解，原問(wèn)題等價(jià)于：已知，，求.【詳解】原題等價(jià)于，，求.，，，.故答案為：.16．在三棱錐中，，平面，，，則與所成的角為.【答案】/【分析】如圖，以，為鄰邊將補(bǔ)成矩形，連接，則（或其補(bǔ)角）為與所成的角，由線(xiàn)面垂直的判定定理證得平面，則，所以，代入求解即可得出答案.【詳解】如圖，以，為鄰邊將補(bǔ)成矩形，連接，則（或其補(bǔ)角）為與所成的角.由平面，平面，得，又，，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又，所以.故與所成的角為.故答案為：.

四、解答題17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊角變換與三角函數(shù)的和差公式求解即可；（2）法一：利用正弦定理邊角變換與三角函數(shù)的和差公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解；法二：利用余弦定理與基本不等式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又，所以，又，所以，而，所?（2）法一：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，的最大值為1，故的最小值為.法二：因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故的最小值為.18．在矩形中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），與交于點(diǎn).(1)設(shè)，，請(qǐng)用，表示和；(2)求與夾角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可得解；（2）法一：利用平角向量的數(shù)量積運(yùn)算求得，，，從而得解；法二：建立直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，，，由此得解.【詳解】（1）依題意，作出圖形如下，

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是邊上的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），所以，.（2）法一：依題意得，，，則，，所以，，，由于與的夾角等于與的夾角，所以與夾角的余弦值為，即與夾角的余弦值為.法二：建立直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，

故，，，，則，由于與的夾角等于與的夾角所以與夾角的余弦值為，即與夾角的余弦值為.19．泉州，作為古代海上絲綢之路的起點(diǎn)，具有深厚的歷史文化底蘊(yùn)，是全國(guó)同時(shí)擁有聯(lián)合國(guó)三大類(lèi)非遺項(xiàng)目的唯一城市.為高效統(tǒng)籌整合優(yōu)質(zhì)文旅資源，文旅局在“五一”假期精心策劃文旅活動(dòng)，使得來(lái)泉旅游人數(shù)突破了萬(wàn)人次.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解來(lái)泉游客的旅游體驗(yàn)滿(mǎn)意度，用問(wèn)卷的方式隨機(jī)調(diào)查了名來(lái)泉旅游的游客，被抽到的游客根據(jù)旅游體驗(yàn)給出滿(mǎn)意度分值（滿(mǎn)分分），該興趣小組將收集到的數(shù)據(jù)分成五段：，，，，，處理后繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求圖中的值并估計(jì)名游客滿(mǎn)意度分值的中位數(shù)（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(2)已知在的平均數(shù)為，方差為，在的平均數(shù)為，方差為，試求被調(diào)查的名游客的滿(mǎn)意度分值的平均數(shù)及方差.【答案】(1)，(2)平均數(shù)為71，方差為510【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求頻率，再求中位數(shù)即可；（2）應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)及方差即得.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：，解得

由頻率分布直方圖，

因此，中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，

可以估計(jì)名游客滿(mǎn)意度分值的中位數(shù)為（2）把在的平均數(shù)記為，方差記為；在的平均數(shù)記為，方差記為；在的平均數(shù)記為，方差記為

由題得，，，，，在的頻率為，在的頻率為則

由

可得

即被調(diào)查的名游客的滿(mǎn)意度分值的方差為20．如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，側(cè)面是矩形，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2.【分析】（1）根據(jù)為等腰直角斜邊的中點(diǎn)和，得，再由側(cè)面是矩形，得，從而得證.（2）解法1：根據(jù)得到平面的距離.解法2:在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，可證平面，的長(zhǎng)度即為所求.【詳解】（1）由為等腰直角斜邊的中點(diǎn)，得.在三棱柱中，，所以，所以，即.

因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以，

又，平面，平面，所以平面.（2）解法1：連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)此距離為.由（1）知平面，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?/p>

所以.又，所以，所以，所以，又，平面，平面，所以平面.

因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所?

由，得，所以，解得.即到平面的距離為.

解法2:連接交于點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則為的中點(diǎn).

因?yàn)?，所?

由（1）知平面，又，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，所?又，平面，平面，所以平面.

因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，平面，所以平?

又，由，得，解得.即到平面的距離為.

21．在平面四邊形中，點(diǎn)在直線(xiàn)的兩側(cè)，，，四個(gè)內(nèi)角分別用表示，.(1)求；(2)求與的面積之和的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可求得，結(jié)合勾股定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，利用可表示出，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)化簡(jiǎn)得到，由正弦函數(shù)最值求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，解得：，，即，.（2）設(shè)，則，，，四點(diǎn)共圓，且為該圓的直徑，，，，，在中，，，.

，，，，當(dāng)，即時(shí)，，故與的面積和的最大值為.

22．如圖，在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)，、在上，.

(1)試在直線(xiàn)上確定點(diǎn)，使得對(duì)于上任一點(diǎn)，恒有平面；（用文字描述點(diǎn)位置的確定過(guò)程，并在圖形上體現(xiàn)，但不要求寫(xiě)出證明過(guò)程）(2)已知在直線(xiàn)上，滿(mǎn)足對(duì)于上任一點(diǎn)，恒有平面，為（1）中確定的點(diǎn)，試求當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，二面角的余弦值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，點(diǎn)即所求的點(diǎn)，然后證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）分別延長(zhǎng)、，所得交點(diǎn)即點(diǎn)，連接，則二面角即二面角，推導(dǎo)