2022-2023學(xué)年福建省廈門市高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省廈門市高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將直線方程化為斜截式，求出直線的斜率，由斜率與傾斜角的關(guān)系，及可求解．【詳解】由，得，故斜率為，因，所以傾斜角．故選：D．2．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷.【詳解】；；；.故選：D.3．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，直線與切線平行，則切線與直線間的距離為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】C【分析】判斷在圓上，求出直線的斜率，確定出切線的斜率，求出的方程，得出，根據(jù)直線與直線平行，利用平行線的距離公式求出與的距離即可.【詳解】將代入圓方程左邊得，左邊=右邊，即在圓上，直線的斜率為，切線的斜率為，即直線的方程為，整理得，直線與直線平行，，即，直線方程為，即，直線與的距離為，故選：C4．使得的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為A． B． C． D．【答案】B【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，若展開式中有常數(shù)項(xiàng)，則，解得，當(dāng)r取2時(shí)，n的最小值為5，故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．5．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著的經(jīng)濟(jì)效益.假設(shè)在放射性同位素釷234的衰變過(guò)程中，其含量N（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中為時(shí)釷234的含量.已知時(shí)，釷234含量的瞬時(shí)變化率為，則（

）A．12 B． C．24 D．【答案】C【分析】對(duì)求導(dǎo)得，根據(jù)已知有即可求，進(jìn)而求.【詳解】由，得，∵當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)，.故選：C.6．如圖，已知的面積為4，連接三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，以此類推，第2022個(gè)三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于題設(shè)所得的三角形均為相似三角形，且前后兩個(gè)三角形面積的比例為，即所有三角形面積構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，寫出數(shù)列通項(xiàng)，進(jìn)而求第2022個(gè)三角形的面積.【詳解】由三角形相似知：后一個(gè)三角形的面積是前一個(gè)的，設(shè)第n個(gè)三角形的面積為，則數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，∴，∴第2022個(gè)三角形的面積為．故選：B．7．一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了ξ次球，則P(ξ＝12)＝()A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，表示第12次為紅球，則前11次中有9次為紅球，由n次獨(dú)立重復(fù)事件恰好發(fā)生k次的概率，計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，表示第12次為紅球，則前11次中有9次為紅球，從而，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，屬基礎(chǔ)題．8．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可知直線介于與軸之間，利用導(dǎo)數(shù)求出直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像.由圖像可知：函數(shù)的圖像是過(guò)原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線介于與軸之間符合題意，直線為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)在第二象限的部分的解析式為，求其導(dǎo)數(shù)可得，因?yàn)?，故，故直線的斜率為，故只需直線的斜率.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立求出參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.二、多選題9．下列四個(gè)命題中為真命題的是（

）A．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B．已知服從正態(tài)分布，且，則C．二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是45D．已知，且，則【答案】BCD【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)判斷A,B選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式展開式判斷C選項(xiàng)，應(yīng)用二項(xiàng)分布性質(zhì)判斷D選項(xiàng).【詳解】已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，可得曲線的對(duì)稱軸為，則，A不正確；若服從正態(tài)分布，且，則，B正確；二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，由，解得，可得常數(shù)項(xiàng)是，C正確；因?yàn)椋?，即，D正確.故選：BCD.10．已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且兩直線的斜率之積為m，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓（除去與x軸的交點(diǎn)）B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)）C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去與x軸的交點(diǎn)）D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的拋物線（除去與x軸的交點(diǎn)）【答案】ABC【分析】設(shè)，由題可得點(diǎn)P的軌跡方程為，則可根據(jù)的范圍依次判斷.【詳解】設(shè)，則直線的斜率為，直線的斜率為，由已知可得，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P的軌跡方程為，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓（除去與x軸的交點(diǎn)），故A正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)），故B正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去與x軸的交點(diǎn)），故C正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去與x軸的交點(diǎn)），故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．（多選）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】依題意當(dāng)時(shí)，求出，再利用作差法得到，即可得到的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可；【詳解】解：由題意，當(dāng)時(shí)，得，令，則當(dāng)時(shí)，所以，即．又時(shí)，也成立，∴，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴，即有．故選：ABD．12．如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四棱錐的體積為B．存在唯一的點(diǎn)，使截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值C．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，在直線上存在點(diǎn)，使得D．存在唯一一點(diǎn)，使得平面，且【答案】ABC【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；將長(zhǎng)方體的側(cè)面和沿棱展開到同一平面，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用勾股定理求出的長(zhǎng)，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用空間向量法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】長(zhǎng)方體中，，，，對(duì)于A，，，平面，平面，故平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖1所示，平面，平面，則，，平面，且，故，同理可得，所以，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，，同理可得，故四邊形為平行四邊形，則四邊形的周長(zhǎng)為，將長(zhǎng)方體的側(cè)面和沿棱展開到同一平面內(nèi)，如圖2所示，則的最小值為展開面中的長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，所以四邊形的周長(zhǎng)的最小值為，B對(duì)；對(duì)于，，即，所以，，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，則，，，因?yàn)槠矫妫瑒t，解得，即，D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題13．已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則的值為.【答案】4【分析】利用向量共線定理即可得出．【詳解】解：，，存在實(shí)屬使得解得：．故答案為4.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題．14．隨機(jī)變量X的分布列如下：其中a，b，c成等差數(shù)列，若，則的值是x-101pabc【答案】5【分析】由條件求出，然后算出，然后可得.【詳解】a，b，c成等差數(shù)列，，又，且，聯(lián)立以上三式解得：，，則故答案為：515．已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.【答案】2【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，，，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可．【詳解】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四、雙空題16．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%；加工出來(lái)的零件混放在一起，且第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.現(xiàn)從加工出來(lái)的零件中任取一個(gè)零件，則取到的零件是次品的概率為，取到的零件是次品，且是第3臺(tái)車床加工的概率為.【答案】0.0525【分析】首先用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示已知條件，設(shè)B＝“任取一個(gè)零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺(tái)車床加工”(i＝1，2，3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3兩兩互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由條件概率公式計(jì)算；由條件概率公式計(jì)算．【詳解】設(shè)B＝“任取一個(gè)零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺(tái)車床加工”(i＝1，2，3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3兩兩互斥．根據(jù)題意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.“如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i＝1，2，3)臺(tái)車床加工的概率”，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率．＝＝＝.故答案為：0.0525；五、解答題17．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響.（結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答）.（1）求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；（2）求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.【答案】（1）（2）【解析】（1）事件（甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)）與事件（甲射擊3次都擊中目標(biāo)）為對(duì)立事件，計(jì)算得到答案.（2）甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)甲、乙擊中目標(biāo)的概率分別是為，則，，事件（甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)）與事件（甲射擊3次都擊中目標(biāo)）為對(duì)立事件，所以.（2）甲射擊2次恰好擊中目標(biāo)2次的概率為，乙射擊2次恰好擊中目標(biāo)1次的概率為，二事件相互獨(dú)立，所以甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，且滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得的表達(dá)式.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，；（2）由（1）可知，，，又，，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，，又，所以，，則，因此，.19．如圖，直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用三角形中位線定理可得，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（Ⅱ）由，可設(shè)：AB=，可得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程分別求出平面的法向量、平面的一個(gè)法向量，再由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）如圖，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以在中，是中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，即，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則,則同理可得平面的一個(gè)法向量，則，所以，，所以，即二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20．在一次考試中某班級(jí)50名學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀.分?jǐn)?shù)6973747577787980人數(shù)24423463分?jǐn)?shù)82838587899395合計(jì)人數(shù)344523150經(jīng)計(jì)算樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差.為評(píng)判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績(jī)?yōu)椋⒏鶕?jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判.①；②；③.評(píng)判規(guī)則：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則被評(píng)為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個(gè)不等式，則被評(píng)為合格試卷；其他情況，則被評(píng)為不合格試卷.(1)試判斷該份試卷被評(píng)為哪種等級(jí)；(2)按分層隨機(jī)抽樣的方式從3個(gè)層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，再?gòu)某槌龅?0名學(xué)生中隨機(jī)抽出4人進(jìn)行學(xué)習(xí)方法交流，用隨機(jī)變量表示4人中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值.【答案】(1)該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，計(jì)算出，的值，由此判斷出“該份試卷為合格試卷”；（2）利用超幾何分布分布列計(jì)算公式，計(jì)算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1），，，因?yàn)榭忌煽?jī)滿足兩個(gè)不等式，所以該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷.（2）75分以下的人數(shù)為10；大于等于75分小于85分的人數(shù)為25；85分及以上的人數(shù)為15.按分層隨機(jī)抽樣的方式從3個(gè)層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，分別抽取人數(shù)為2，5，3.再?gòu)某槌龅?0名學(xué)生中隨機(jī)抽出4人進(jìn)行學(xué)習(xí)方法交流，用隨機(jī)變量表示4人中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，則的取值可能為0，1，2，3.，，，.∴的分布列為0123.21．已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.【答案】(1)見詳解；(2)3或.【分析】（1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點(diǎn)處的切線方程，比如：，又因?yàn)橐灿蓄愃频男问剑瑥亩蟪鰩?shù)直線方程，最后求出它所過(guò)的定點(diǎn).（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過(guò)為線段的中點(diǎn)，得出的值，從而求出坐標(biāo)和的值，分別為點(diǎn)到直線的距離，則，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理代入求解即可.【詳解】(1)證明：設(shè),,則．又因?yàn)?，所?則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過(guò)點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時(shí)等式恒成立．所以直線恒過(guò)定點(diǎn).(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用公共邊結(jié)合韋達(dá)定理求面積】設(shè)的中點(diǎn)為G，,則，，．由，得，將代入上式并整理得，因?yàn)?，所以或．由?）知，所以軸，則（設(shè)）．當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，．綜上，四邊形的面積為3或．[方法二]【利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合面積公式求面積】設(shè)，由（1）知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．由拋物線的定義，得．線段的中點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，軸，，；當(dāng)時(shí)，，由，得，即．所以，直線的方程為．根據(jù)對(duì)稱性考慮點(diǎn)和直線的方程即可．E到直線的距離為，D到直線的距離為．所以．綜上，四邊形的面積為3或．[方法三]【結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)求面積】圖5中，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)易得，又，所以．因?yàn)椋?，所以，所以．同理，所以，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．圖6中已去掉坐標(biāo)系和拋物線，并延長(zhǎng)于點(diǎn)H．因?yàn)?，所以．又因?yàn)镚，D分別為的中點(diǎn)，所以，故為平行四邊形，從而．因?yàn)榍?，所以I為的中點(diǎn)，從而．．當(dāng)直線平行于準(zhǔn)線時(shí)，易得．綜上，四邊形的面積為3或．

[方法四]【結(jié)合弦長(zhǎng)公式和向量的運(yùn)算求面積】由（1）得直線的方程為.由，可得，于是.設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)因此，四邊形的面積為3或.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：利用公共邊將一個(gè)三角形的面積分割為兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行計(jì)算是一種常用且有效的方法；方法二：面積公式