2023學年九年級數(shù)學上冊重要考點題精講精練(人教版)正多邊形和圓（7大題型）（答案版）

正多邊形和圓（答案版）正多邊形的概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

正多邊形的有關概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．注意：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).題型1：正多邊形的相關概念1.下列關于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正九邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形B．存在一個正多邊形，它的外角和為720°C．任何正多邊形都有一個外接圓D．不存在每個外角都是對應每個內角兩倍的正多邊形【答案】C【解析】【解答】解：正九邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項A不正確；任何多邊形的外角和都為360°，故選項B不正確；任何正多邊形都有一個外接圓，故選項C正確；等邊三角形的每個外角都是對應每個內角兩倍，故選項D不正確.故答案為：C.【分析】根據(jù)正多邊形的性質、正多邊形與圓、多邊形內角和公式及外角和分別進行判斷即可.【變式1-1】已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P是劣弧上不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．75°D．90°【答案】A.【解析】如圖，連接OB、OC，則∠BOC=90°，

根據(jù)圓周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．

故選A．【點評】本題主要考查了正方形的性質和圓周角定理的應用．【變式1-2】如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P在⊙O上，則∠APB等于（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】連接OA，OB．根據(jù)正方形的性質，得∠AOB=90°．再根據(jù)圓周角定理，得∠APB=45°．

故選B．正多邊形的有關計算

(1)正ｎ邊形每一個內角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.注意：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉化為直角三角形題型2：正多邊形與圓有關的計算-角度2.如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，連接AC，則∠BAC的度數(shù)是（）A．45° B．38° C．36° D．30°【答案】C【解析】【解答】解：連接OC、OB根據(jù)正多邊形的性質可得：∠根據(jù)圓周角定理可得：∠故答案為：C

【分析】連接OC、OB，根據(jù)正多邊形的性質可得【變式2-1】如圖，⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，點P在⊙O上（P不與A，B重合），則∠APB的度數(shù)為（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°【答案】D【解析】【解答】解：連接OA，OB，如圖所示：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB＝360°6＝當點P不在弧AB上時，∠APB＝12∠AOB＝30°當點P在弧AB上時，∠APB＝180°﹣12∠AOB＝180°﹣30°＝150°故答案為：D．【分析】先求出∠AOB＝360°6＝【變式2-2】如圖，以正六邊形ABCDEF的邊AB為邊，在形內作正方形ABMN，連接MC．求∠BCM的大?。敬鸢浮拷猓骸吡呅蜛BCDEF為正六邊形，∴∠ABC=120°，AB=BC．∵四邊形ABMN為正方形，∴∠ABM=90°，AB=BM．（2分）∴∠MBC=120°﹣90°=30°，BM=BC．∴∠BCM=∠BMC．∴∠BCM=12×（180°﹣30°）=75°【解析】【分析】△BCM是等腰三角形，只要求出頂角∠CBM就可以，這個角是正六邊形與正方形內角的差．題型3：正多邊形與圓有關的計算-長度3.如圖，正六邊形ABCDEF內接于圓O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM為（）A．2 B．23 C．3 D．【答案】B【解析】【解答】解：連接OB、OC，如圖所示：則∠BOC∵OB=∴△OBC∴BC=∵OM⊥∴∠∴OM=故答案為：B．

【分析】連接OB、OC，證出△OBC是等邊三角形，得出BC【變式3-1】如圖，正六邊形與正方形有兩個頂點重合，且中心都是點O．若∠AOB是某正n邊形的一個外角，則n的值為（）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【解析】【解答】解：連接OC，如圖：根據(jù)題意，正六邊形和正方形的中心都是點O，∴∠BOC=90°，∠AOC=60°，∴∠AOB=90°-60°=30°；∵∠AOB是某正n邊形的一個外角，∴n=360°故答案為：B．

【分析】連接OC，先求出∠AOB的度數(shù)，在利用正多邊形外交和等于360度，即可求出答案?！咀兪?-2】如圖，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA、OE分別交于點F、G，點M為劣弧FG的中點．若FM＝22，則⊙O的半徑為（）A．2 B．6 C．22 D．2【答案】C【解析】【解答】解：如圖，連接OM，∵正六邊形OABCDE，∴∠FOG＝120°，∵點M為劣弧FG的中點，∴∠FOM＝60°，OM＝OF，∴△OFM是等邊三角形，∴OM＝OF＝FM＝22．則⊙O的半徑為22．故答案為：C．【分析】如圖，連接OM，根據(jù)正六邊形的性質及點M為劣弧FG的中點，可得△OFM是等邊三角形，可得OM＝OF＝FM＝22，即得⊙O的半徑.【變式3-3】如圖，正方形ABCD的外接圓為⊙O，點P在劣弧CD上（不與C點重合）．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為8，求正方形ABCD的邊長．【答案】（1）解：連接OB，OC，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°；（2）解：過點O作OE⊥BC于點E，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE=OB22【解析】【分析】（1）由圓內接正方形的性質可知，正方形ABCD的中心角為90°，根據(jù)同圓或等圓中圓周角等于圓心角的一半，可以求得∠BPC的度數(shù)；（2）由題意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的長。18．題型4：正多邊形與圓有關的計算-面積4.如圖，已知圓O內接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距n，面積S．【答案】解：連接OA、OB，過點O作OH⊥AB于點H，即邊心距n=OH，如圖所示：∴AH=HB，∠AOH=BOH，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，∴n=OH∴S△AOB∴S=6S【解析】【分析】連接OA、OB，過點O作OH⊥AB于點H，即邊心距n=OH，由題易知△AOB是等邊三角形，則有OA=AB=6cm，然后根據(jù)勾股定理求出邊心距OH，然后利用三角形的面積求解六邊形的面積即可?！咀兪?-1】已知在正六邊形ABCDEF中，P是EF的中點，若陰影部分四邊形ABPE的面積為9，則五邊形BCDEP的面積是（）A．12 B．123 C．18 D．【答案】C【解析】【解答】解：取正六邊形ABCDEF的中心O，連接OA、OF、OP、BF，根據(jù)正六邊形的性質可得，S△ABF=S△AOF∴S△ABF∵P是EF的中點，∴S△FBP∴S△ABF∵陰影部分四邊形ABPE的面積為9，即S△ABF∴S△ABF取DE的中點Q，連接BQ、BD，則S△CDB∴五邊形BCDEP的面積是4×92故答案為：C．【分析】先求出S△FBP=【變式4-2】如圖，內接正八邊形ABCDEFGH，若ΔADE的面積為10，則正八邊形ABCDEFGH的面積為.【答案】40【解析】【解答】解：取AE中點O，則點O為正八邊形ABCDEFGH外接圓的圓心，連接OD，∴△ODE的面積=12×△ADE的面積=12圓內接正八邊形ABCDEFGH是由8個與△ODE全等的三角形構成.則圓內接正八邊形ABCDEFGH為8×5=40，故答案為：40.【分析】取AE中點O，則點O為正八邊形ABCDEFGH外接圓的圓心，連接OD，可得△ODE的面積=12×△ADE的面積=5，由于圓內接正八邊形ABCDEFGH是由8個與△ODE全等的三角形構成，據(jù)此即可求出結論正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形.

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形.再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.

②正六、三、十二邊形的作法.

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點.

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點.

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分…….

注意：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結各等分點.題型5：作圓的正三角形、正方形、正六邊形5.尺規(guī)作圖：如圖，AD為⊙O的直徑。（1）求作：⊙O的內接正六邊形ABCDEF.(要求：不寫作法,保留作圖痕跡)；（2）已知連接DF，⊙O的半徑為4，求DF的長?！敬鸢浮浚?）解：如圖，正六邊形ABCDEF為所作；（2）解：連接OF，設BE與DF交于G點∵六邊形ABCDEF為正六邊形∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120°∴∠DFE=30°∵OE=OF∴△FOE為等邊三角形∴EF=OE=4，∠OEF=60°∴∠FGE=90°∴EG=12∴FG=E∴FD=2FG=4【解析】【分析】（1）如圖，在⊙O上依次截取六段弦，使它們都等于OA，從而得到正六邊形ABCDEF；（2）連接OF，可得△OFE是等邊三角形，邊長為4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，設BE與DF交于G點，可得∠FGE=90°，即可求得FG的長，進而求得FD的長【變式5-1】尺規(guī)作圖：如圖，AC為⊙O的直徑．（1）求作：⊙O的內接正方形ABCD．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）當直徑AC=4時，求這個正方形的邊長．【答案】（1）解：如圖所示：（2）解：∵直徑AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形ABCD為⊙O的內接正方形，∴∠AOB=90°，∴AB=OA2【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分，故只需要做出AC的中垂線該線與圓相交，順次連接即可，分別以點A，C為圓心，大于AC長度的一半為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過這點及點O作直線交圓于點B，D連接AB，BC，CD，DA四邊形ABCD就是所求的正方形；

（2）根據(jù)正方形的中心角的計算方法算出∠AOB=90°，再根據(jù)勾股定理即可算出AB的長。題型6：規(guī)律性問題6.如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉，每次旋轉60°，那么經(jīng)過第2022次旋轉后，頂點D的坐標為．【答案】(【解析】【解答】解：如圖，連接AD，BD，在正六邊形ABCDEF中，AB=1∴BD=在RtΔAOF中，AF=1∴∠OFA∴OA=∴OB=∴D(∵將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉，每次旋轉60°，∴6次一個循環(huán)，∵2022÷6=337，∴經(jīng)過第2022次旋轉后，頂點D的坐標與第一象限中D點的坐標相同，故答案為：(3【分析】連接AD，BD，由正六邊形的性質可得AD=2，∠DAB=90°，利用勾股定理求出BD=3，在RtΔAOF中，可求出OA、OB的長，即得D點坐標，由于將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉，每次旋轉60°，可知6次一個循環(huán)，從而得出經(jīng)過第2022次旋轉后，頂點D的坐標與第一象限中D點的坐標相同，據(jù)此即得結論.【變式6-1】如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六邊形OABCDE繞點O順時針旋轉i個45°，得到正六邊形OAiBi?iDiEi，則正六邊形OAiBi?iDiEi（i＝4）的頂點?i的坐標是（）A．（1，-3） B．（1，3） C．（1，﹣2） D．（2，1【分析】由于正六邊形旋轉4次，每次轉45°，所以點C與C4關于原點對稱，可以直接把的C4坐標寫出來．【解答】解：∵正六邊形旋轉4次，即45°×4＝180°，∴點C與C4關于原點對稱，∵C的坐標為（﹣1，3），∴C4的坐標為（1，-3故選：A．【變式6-2】如圖，邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標原點O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉n次，每次旋轉60°，當n＝2020時，頂點A的坐標為（）A．（﹣2，23） B．（﹣2，﹣23） C．（2，﹣23） D．（2，23）【分析】連接OA，根據(jù)正多邊形的性質得到∠AOH＝30°，AH＝2，根據(jù)勾股定理求出OH，根據(jù)規(guī)律解答．【解答】解：連接OA，∠AOH＝30°，AH＝2，∴OH=OA2∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉6次回到原位置，2020÷6＝336…4，∴當n＝2020時，頂點A的坐標為（﹣2，﹣23），故選：B．題型7：正多邊形的旋轉問題7.一個適當大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為定值的小正六邊形ABCDEF的中心O重合，且與邊AB、CD相交于G、H（如圖）.圖中陰影部分的面積記為S，三條線段GB、BC、CH的長度之和記為l，大正六邊形在繞點O旋轉過程中，下列說法正確的是（）A．S變化，l不變 B．S不變，l變化C．S變化，l變化 D．S與l均不變【答案】D【解析】【解答】解：如圖，連接OA，OC．∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，∴∠HOC＝∠GOA，在△OHC和△OGA中，∠HOC∴△HOC≌△GOA（ASA），∴AG＝CH，∴S陰＝S四邊形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，故答案為：D．【分析】先求出∠HOC＝∠GOA，再利用ASA證明△HOC≌△GOA，最后求解即可?！咀兪?-1】五角星可以看成由一個四邊形旋轉若干次而生成的，則每次旋轉的度數(shù)可以是（）A．36° B．60° C．72° D．90°【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)旋轉的性質可知，每次旋轉的度數(shù)可以是360°÷5=72°或72°的倍數(shù).故答案為：C【分析】此題其實質就是求正五邊形的中心角的問題，用360°÷即可算出答案.【變式7-2】下列正多邊形中，繞其中心旋轉72°后，能和自身重合的是（）A．正方形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正八邊形【答案】B【解析】【解答】解：A、正方形的最小旋轉角度為90°，故本選項錯誤；B、正五邊形的最小旋轉角度為36005C、正六邊形的最小旋轉角度為36006D、正八邊形的最小旋轉角度為36008故選B．【分析】求出各個選項圖形的最小旋轉角度，即可做出判斷．【變式7-3】如圖，邊長為1的正五邊形ABCDE，頂點A、B在半徑為1的圓上，其它各點在圓內，將正五邊形ABCDE繞點A逆時針旋轉，當點E第一次落在圓上時，則點C轉過的度數(shù)為．【答案】12°【解析】【解答】解：如圖設圓心為O，連接OA、OB，點E落在圓上的點E′處．∵AB=OA=OB，∴∠OAB=60°，同理∠OAE′=60°，∵∠EAB=108°，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=48°，∴∠EAE′=∠OAE′﹣∠EAO=60°﹣48°=12°，∵點E旋轉的角度和點C旋轉的角度相等，∴點C旋轉的角度為12°，故答案為12°．【分析】因為點E旋轉的角度和點C旋轉的角度相等，所以求出點E旋轉的角度即可．一、單選題1．如圖，ABCD為⊙O內接四邊形，若∠D=85°，則∠B=（）

A．85° B．95° C．105° D．115°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓內接四邊形互補的性質.由∠D=85°得∠B=95°.故選B.2．半徑為a的圓的內接正六邊形的邊心距是（）A．a(chǎn)2 B．2a2 C．3a【答案】C【解析】【解答】解：如圖，連接OA、OB，過點O作OH垂直AB于點H，OH即為正六邊形邊心距.∵六邊形ABCDEF為正六邊形∴∠AOB=60°，OA=OB=AB=a，AH=BH=a∴OH即半徑為a的圓的內接正六邊形的邊心距是3a2.

【分析】連接OA、OB，過點O作OH垂直AB于點H，OH即為正六邊形邊心距，根據(jù)正六邊形的性質用勾股定理可求解.3．如圖，正六邊形ABCDEF內接于于⊙O,連接BD，則∠CBD的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】【解答】解：∵正六邊形ABCDEF，

∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，

∵CB=CD，

∴∠CBD=180°-120°2=30°；

故答案為：A.

【分析】先根據(jù)正多邊形的外角和求出這個正六邊形的一個內角的度數(shù)，再結合等腰三角形的性質，利用三角形的內角和定理即可求出∠CBD的度數(shù)4．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若它的一個外角∠DCE=70°，則∠BOD=()

A．35° B．70° C．110° D．140°【答案】D【解析】【分析】由圓內接四邊形的外角等于它的內對角知，∠A=∠DCE=70°，由圓周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．【解答】∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠A=∠DCE=70°，

∴∠BOD=2∠A=140°．

故選D．【點評】圓內接四邊形的性質：

1、圓內接四邊形的對角互補；

2、圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角)．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半5．若一個圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為r1，r2，r3，則r1：r2：r3等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．3：2：1【答案】C【解析】【解答】設圓的半徑為R，則正三角形的邊心距為R×cos60°．四邊形的邊心距為R×cos45°，正六邊形的邊心距為R×cos30°．則r1：r2：r3=1：2：3故選：C．【分析】經(jīng)過圓心O作圓的內接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C．連接OA，則在直角△OAC中，∠O=180n，OC是邊心距，OA二、填空題6．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，∠C=100°，則∠BOD=【答案】160【解析】【解答】解：∵A，B，C，D是⊙O上的四個點，∠C=100°∴∠A∴∠故答案為：160【分析】根據(jù)圓內接四邊形的性質可得∠A=180°-∠C7．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于點C．連接OA，OB，BC．若AB是⊙O的內接正六邊形的一邊，則∠ABC的度數(shù)為【答案】15°【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的內接正六邊形的一邊，∴∠AOB=∵OA=OB，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠ABC=12∠AOC=15°故答案為：15°．

【分析】根據(jù)已知條件得到∠AOB=60°，由等腰三角形的性質得出∠AOC=∠BOC8．一個正多邊形的每個內角都等于140°，則它是正邊形．【答案】九【解析】【解答】解：∵多邊形的各個內角都等于140°，∴多邊形的每一個外角都等于180°-140°=40°，∴邊數(shù)n=360°÷40°=9．故答案為：九．

【分析】先利用平角求出每個外角的度數(shù)，再利用外角和除以它即可求出邊數(shù)。9．平面內有四個點A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，則滿足題意的OC長度為整數(shù)的值可以是．【答案】2，3，4【解析】【解答】解：考慮到∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，分兩種情況探究：情況1，如圖1，作△AOB，使∠AOB=1200，AO=BO=2，以點O為圓心，2為半徑畫圓，當點C在優(yōu)弧AB上時，根據(jù)同弧所圓周角是圓心角一半，總有∠ACB=12∠AOB=600，此時，OC=AO=BO=2情況2，如圖2，作菱形AOMB，使∠AOB=1200，AO=BO=AM=BM=2，以點M為圓心，2為半徑畫圓，當點C在優(yōu)弧AB上時，根據(jù)圓內接四邊形對角互補，總有∠ACB=1800－∠AOB=600．此時，OC的最大值是OC為⊙M的直徑4時，所以，2＜OC≤4，整數(shù)有3，4．綜上所述，滿足題意的OC長度為整數(shù)的值可以是2，3，4．故答案為：2，3，4．

【分析】分兩種情況：（1）∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，則可利用圓周角定理推出點C在以點O為圓心，2為半徑的圓上，故OC=2；（2）由∠AOB+∠ACB=180°可推出點A、O、B、C在同一個圓上，利用垂徑定理、等邊三角形得性質求出OC的取值范圍，即可求出OC的整數(shù)值。三、作圖題10．如圖，已知⊙O，點A在圓上，請以A為一頂點作圓內接正方形ABCD.（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】解：如圖，正方形ABCD為所作.【解析】【分析】連接AO并延長，交圓于點C，然后作AC的垂直平分線，與圓的交點記為B、D，接下來連接A、B、C、D即可得到正方形ABCD.四、解答題11．一個正多邊形的每一個外角都等于36°，求這個多邊形的邊數(shù).【答案】解：解：∵一個正多邊形的每個外角都等于36°，∴這個多邊形的邊數(shù)為360°÷36°=10.【解析】【分析】由于多邊形的外角和是固定的360°，故用多邊形外角和的總度數(shù)除以每一個外角的度數(shù)即可算出多邊形的邊數(shù).12．四邊形ABCD內接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，點E在AD上，求∠E的度數(shù).【答案】解：連接BD，∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠A=100°，∴∠BCD=180°-100°=80°∵CB=CD，∴∠DBC=∠∴∠DBC=∴∠E【解析】【分析】連接BD，根據(jù)圓內接四邊形對角互補，可求出∠BCD=180°-∠A=80°，利用等邊對等角可得∠DBC=∠CDB，根據(jù)三角形的內角和求出∠DBC的度數(shù)，利用同弧所對的圓周角相等可得∠E=∠DBC，從而求出結論.13．如圖，已知A、B、C、D是⊙O上的四點，延長DC、AB相交于點E．若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．【答案】證明∵A、D、C、B【解析】【分析】由圓內接四邊形的性質可知，∠A與∠DCB互補，而∠BCE與∠DCB也互補，可知∠A=∠BCE；由等腰三角形的性質，等腰三角形的兩個底角相等，可知∠BCE=∠E，所以∠A=∠E，再由等腰三角形的判定可知AD=DE，即△ADE是等腰三角形。14．如圖，有一個圓O和兩個正六邊形T1，T2．T1的6個頂點都在圓周上，T2的6條邊都和圓O相切（我們稱T1，T2分別為圓O的內接正六邊形和外切正六邊形）．（1）設T1，T2的邊長分別為a，b，圓O的半徑為r，求r：a及r：b的值；（2）求正六邊形T1，T2的面積比S1：S2的值．【答案】（1）解：連接圓心O和T1的6個頂點可得6個全等的正三角形．所以r：a=1：1；連接圓心O和T2相鄰的兩個頂點，得以圓O半徑為高的正三角形，所以r：b=AO：BO=sin60°=3：2.（2）解：T1：T2的邊長比是3：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4．【解析】【分析】（1）由題意可知正六邊形T1的邊長為a，而圓O的半徑與正六邊形T1的邊長相等，所以r：a=1：1；正方形T2的邊長為b，而圓O的半徑為正六邊形T2的弦心距，所以r：b=3：2。（2）由相似多邊形的性質可以相似多邊形的面積比等于相似比的平方，由（1）題中的比值可求得a：b=r：b，即可求得T1與T2的面積比。15．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三