湖南省道縣第二中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)，使得，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．設(shè)x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點，則常數(shù)a－b的值為()A．21 B．－21C．27 D．－273．甲、乙兩位同學(xué)將高三6次物理測試成績做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績均為整數(shù)滿分100分），乙同學(xué)對其中一次成績記憶模糊，只記得成績不低于90分且不是滿分，則甲同學(xué)的平均成績超過乙同學(xué)的平均成績的概率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的最小正周期為，且，有成立，則圖象的一個對稱中心坐標是（）A． B．C． D．5．“a>1”是“函數(shù)f(x)=ax-sinx是增函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．我國南北朝時期數(shù)學(xué)家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“緣冪勢既同，則積不容異也”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩幾何體體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與右側(cè)三視圖所對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢既同”，其中俯視圖中的圓弧為圓周，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．已知全集U＝Z，，B＝{－1,0,1,2}，則圖中的陰影部分所表示的集合等于（）A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}8．《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升9．已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，則A∩CA．{4,5} B．{3,4,5} C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}10．已知數(shù)列的前項和為，，，則（）A．128 B．256 C．512 D．102411．已知點是拋物線的焦點，點為拋物線上的任意一點，為平面上點，則的最小值為（）A．3 B．2 C．4 D．12．二項式的展開式中項的系數(shù)為，則（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，若，則的外接圓半徑，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體中，若兩兩垂直，，則四面體的外接球半徑______________．14．圓錐的母線長是，高是，則其側(cè)面積是________.15．把6個學(xué)生分配到3個班去，每班2人，其中甲必須分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________種.16．已知函數(shù)，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）用分析法證明：;（2）如果是不全相等的實數(shù)，若成等差數(shù)列，用反證法證明：不成等差數(shù)列.18．（12分）在平面真角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若曲線與曲線交于M，N兩點，直線OM和ON的斜率分別為和，求的值．19．（12分）已知數(shù)列{}滿足，且.（I）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（II）求數(shù)列{}的前項和.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的最小值；（3）證明：當(dāng)時，.21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：．22．（10分）隨著智能手機的普及，各類手機娛樂軟件也如雨后春筍般涌現(xiàn).如表中統(tǒng)計的是某手機娛樂軟件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注冊用戶數(shù)，記月份代碼為（如對應(yīng)于2018年8月份，對應(yīng)于2018年9月份，…，對應(yīng)于2019年4月份），月新注冊用戶數(shù)為（單位：百萬人）（1）請依據(jù)上表的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，判斷月新注冊用戶與月份線性相關(guān)性的強弱；（2）求出月新注冊用戶關(guān)于月份的線性回歸方程，并預(yù)測2019年5月份的新注冊用戶總數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，.回歸直線的斜率和截距公式：，.相關(guān)系數(shù)（當(dāng)時，認為兩相關(guān)變量相關(guān)性很強.）注意：兩問的計算結(jié)果均保留兩位小數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)，使得，等價于有兩個整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點在，由零點存在定理，列不等式組，從而可得結(jié)果..詳解：因為所以函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)，使得，等價于有兩個整數(shù)解，設(shè)，令，令恒成立，單調(diào)遞減，又，存在，使遞增，遞減，若解集中的整數(shù)恰為個，則是解集中的個整數(shù)，故只需，故選B.點睛：本題主要考查不等式有解問題以及方程根的個數(shù)問題，屬于難題.不等式有解問題不能只局限于判別式是否為正，不但可以利用一元二次方程根的分布解題，還可以轉(zhuǎn)化為有解（即可）或轉(zhuǎn)化為有解（即可）,另外，也可以結(jié)合零點存在定理，列不等式（組）求解.2、A【解析】

求出導(dǎo)數(shù)f′(x)．利用x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)兩個極值點即為f′(x)＝0的兩個根．即可求出a、b．【詳解】由題意知，－2，4是函數(shù)f′(x)＝0的兩個根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以?所以a－b＝－3＋24＝21.故選A【點睛】f′(x)＝0的解不一定為函數(shù)f(x)的極值點．（需判斷此解兩邊導(dǎo)數(shù)值的符號）函數(shù)f(x)的極值點一定是f′(x)＝0的解．3、C【解析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結(jié)合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計算公式求解其概率值即可.【詳解】由題意可得：，設(shè)被污損的數(shù)字為x，則：，滿足題意時，，即：，即x可能的取值為,結(jié)合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.【點睛】本題主要考查莖葉圖的識別與閱讀，平均數(shù)的計算方法，古典概型計算公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4、A【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的最小正周期和最值確定函數(shù)的解析式，進一步利用整體思想求出函數(shù)圖象的對稱中心.【詳解】由的最小正周期為，得，因為恒成立，所以，即，由，得，故，令，得，故圖象的對稱中心為，當(dāng)時，圖象的對稱中心為.故選：A.【點睛】本題考查的知識要點：正弦型函數(shù)的性質(zhì)、周期性和對稱中心的應(yīng)用及相關(guān)的運算問題，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

先由函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'【詳解】當(dāng)函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，則則a≥cos因此，“a>1”是“函數(shù)fx=ax-sin【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，涉及參數(shù)的取值范圍，一般要由兩取值范圍的包含關(guān)系來判斷，具體如下：（1）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；（2）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件；（3）A=B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件；（4）A?B，則則“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要條件。6、B【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱錐與圓錐體的所得組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算該組合體的體積即可．【詳解】解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱錐與圓錐體的組合體，如圖所示；則該組合體的體積為；所以對應(yīng)不規(guī)則幾何體的體積為．故選B．【點睛】本題考查了簡單組合體的體積計算問題，也考查了三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體直觀圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7、A【解析】

試題分析：圖中的陰影部分所表示的集合為,故選A．考點：集合的運算8、B【解析】

由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出中三節(jié)容量，即可得到答案．【詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選B．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

通過補集的概念與交集運算即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意得CUB=x|x<3，故【點睛】本題主要考查集合的運算，難度很小.10、B【解析】

Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2時，Sn＝2Sn﹣1﹣1，相減可得an+1＝2an．再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．【詳解】∵Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2時，Sn＝2Sn﹣1﹣1，∴an+1＝2an．n＝1時，a1+a2＝2a1﹣1，a1＝2，a2＝1．∴數(shù)列{an}從第二項開始為等比數(shù)列，公比為2．則a101×28＝3．故選：B．【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解析】

作垂直準線于點，根據(jù)拋物線的定義，得到，當(dāng)三點共線時，的值最小，進而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準線于點，由題意可得，顯然，當(dāng)三點共線時，的值最??；因為，，準線，所以當(dāng)三點共線時，，所以.故選A【點睛】本題主要考查拋物線上任一點到兩定點距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于常考題型.12、C【解析】二項式的展開式的通項是，令得的系數(shù)是，因為的系數(shù)為，所以，即，解得：或，因為，所以，故選C．【考點定位】二項式定理．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

通過條件三條棱兩兩垂直，可將其補為長方體，從而求得半徑.【詳解】若兩兩垂直,可將四面體補成一長方體，從而長方體的外接球即為四面體的外接球，于是半徑，故答案為.【點睛】本題主要考查外接球的半徑，將四面體轉(zhuǎn)化為長方體求解是解決本題的關(guān)鍵.14、【解析】

計算出圓錐底面圓的半徑，然后利用圓錐的側(cè)面積公式可計算出圓錐的側(cè)面積.【詳解】由題意知，圓錐的底面半徑為，因此，圓錐的側(cè)面積為，故答案為：.【點睛】本題考查圓錐的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵就是要求出圓錐的母線長和底面圓的半徑，利用圓錐的側(cè)面積公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題.15、1【解析】

根據(jù)題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，②、再從除了甲、乙、丙之外的3個人種任意選出2個人，分到三班，③、最后再把剩下的3個人選出2個人分到二班，剩余的一個分到一班，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，只有1種方法；②、再從除了甲、乙、丙之外的3個人種任意選出2個人，分到三班，有C32＝3種安排方法；③、最后再把剩下的3個人選出2個人分到二班，剩余的一個分到一班，有C32＝3種安排方法；則不同的分法有1×3×3＝1種；故答案為：1．【點睛】本題考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是對于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排．16、26【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，，則.【點睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）利用分析法證明，平方、化簡、再平方，可得顯然成立，從而可得結(jié)果；（2）假設(shè)成等差數(shù)列，可得，結(jié)合可得，與是不全相等的實數(shù)矛盾，從而可得結(jié)論.詳解：（1）欲證只需證：即只需證：即顯然結(jié)論成立故（2）假設(shè)成等差數(shù)列，則由于成等差數(shù)列，得①那么，即②由①、②得與是不全相等的實數(shù)矛盾．故不成等差數(shù)列．點睛：本題主要考查反證法的應(yīng)用以及利用分析法證明不等式，屬于難題.分析法證明不等式的主要事項：用分析法證明不等式時，不要把“逆求”錯誤的作為“逆推”，分析法的過程僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時，應(yīng)正確使用“要證”、“只需證”這樣的連接關(guān)鍵詞.18、（1），（2）1【解析】

（1）消去t即可得的普通方程，通過移項和可得的普通方程；（2）由可得的幾何意義是斜率，將的參數(shù)方程代入的普通方程，得到關(guān)于t的方程且，由韋達定理可得．【詳解】解：（1）．由，（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，得，即的普通方程為，由，得，即，將代入，得，即的直角坐標方程為．（2）．由（t為參數(shù)），得，則的幾何意義是拋物線上的點（原點除外）與原點連線的斜率．由題意知，將，（t為參數(shù)）代入，得．由，且得，且．設(shè)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為、，則，，所以．【點睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標方程化為普通方程和參數(shù)方程在幾何問題中的應(yīng)用．19、（I）見解析（II）【解析】

（I）根據(jù)題意，對于，變形可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義分析可得結(jié)論；（II）由（1）中的結(jié)論，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可得，即可得出，再根據(jù)錯位相減法即可求解出結(jié)果。【詳解】解：（I）由，可得所以得為等差數(shù)列，公差為1；（II），①②①-②得【點睛】本題主要考查了構(gòu)利用定義法證明等差數(shù)列以及錯位相減法求數(shù)列的前項和，證明時采用了構(gòu)造的方法，錯位相減法主要用于數(shù)列的形式為等差乘等比。20、(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)的最小值為.(3)證明見解析.【解析】分析：函數(shù)的定義域為，（1）函數(shù)，據(jù)此可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）由題意可知在上恒成立.據(jù)此討論可得的最小值為.（3）問題等價于.構(gòu)造函數(shù)，則取最小值.設(shè)，則.由于，據(jù)此可知題中的結(jié)論成立.詳解：函數(shù)的定義域為，（1）函數(shù)，當(dāng)且時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）因在上為減函數(shù)，故在上恒成立.所以當(dāng)時，，又，故當(dāng)，即時，.所以，于是，故的最小值為.（3）問題等價于.令，則，當(dāng)時，取最小值.設(shè)，則，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴.∵，∴，∴故當(dāng)時，.點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1