北京大學(xué)量子力學(xué)課件-第26講

第二十六講

Ⅰ.全同粒子的交換不變性的后果

(1)兩全同粒子的波函數(shù)

若兩全同粒子，它們的相互作用是變量可分離型的，即

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講1

可以證明：若粒子自旋為，則在兩粒子自旋交換時的對稱性為。若兩粒子都處于態(tài)，而總角動量為，其交換對稱性為，則應(yīng)滿足

偶

(2)由于全同粒子交換不變性，而使體系可能處的狀態(tài)數(shù)目不同.例：設(shè)有三個粒子處于（不同量子數(shù)單態(tài)）

可以證明：若粒子自旋為，則在2

A.玻色子

3個處2個處

各處

同一態(tài)

同一態(tài)

一個態(tài)

B.費(fèi)米子 1

各處一個態(tài)北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講3

(3)由于全同粒子交換不變性，而使體系的幾率分布不一樣。(4)由于全同粒子交換不變性，在散射時，散射截面不一樣。

當(dāng)兩粒子散射時，粒子散射到①處，即偏轉(zhuǎn)角的散射幾率為；粒子1如散射到②處，其偏轉(zhuǎn)角為，散射幾率為(3)由于全同粒子交換不變性，而使體系的4A.玻色子（自旋為0）

散射幾率為

（即②，①分不出。由于，,為偶）如自旋為1，非極化散射幾率為

A.玻色子（自旋為0）5北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講6°自旋，

自旋

自旋

(5)由于全同粒子交換不變性，使體系所處的狀態(tài)結(jié)構(gòu)也不同

元素周期表的規(guī)律正是由于電子為費(fèi)米子,PauliexclusionPrinciple起作用的結(jié)果。

7

例：粒子處于一維諧振子勢中。單粒子波函數(shù)相應(yīng)能量為

對個玻色子（），基態(tài)是所有粒子都處于態(tài),每個粒子平均能量為

例：粒子處于一維諧振子勢中。單粒子波8

B.費(fèi)米子（自旋）自旋為的費(fèi)米子非極化的散射幾率

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講9但對個無相互作用的費(fèi)米子（）。基態(tài)是二個處于,二個處于…,N為偶

但對個無相互作用的費(fèi)米子（）?；?0N為奇所以，每個粒子平均能量為N為奇11Ⅱ.定態(tài)微擾論這里討論的是與無關(guān)設(shè)：，要求其本征值和本征函數(shù)其中很接近，且有解析解。而是小量，為易于表達(dá)其大小的量級

Ⅱ.定態(tài)微擾論12（1）非簡并能級的微擾論設(shè)： 的本征值和本征函數(shù)為，構(gòu)成一正交，歸一完備組?，F(xiàn)求解即

（1）非簡并能級的微擾論13

求，的步驟是通過逐級逼近來求精確解，即將，對展開（即對矩陣元展開）。從，出發(fā)求，。當(dāng)，即，，非簡并微擾論就是處理的那一條能級是非簡并的（或即使有簡并，但相應(yīng)的簡并態(tài)并不影響處理的結(jié)果）。

14

A.一級微擾近似以標(biāo)積以（）標(biāo)積

A.一級微擾近似15

因此，在一級近似下北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講16(歸一化準(zhǔn)至一級)所以，在這條能級為非簡并時，其能量的一級修正恰等于微擾項在無微擾狀態(tài)的平均值。

(歸一化準(zhǔn)至一級)17北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講18例1：考慮一個粒子在位勢北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講19北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講20準(zhǔn)至一級修正的能量為北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講21

從這可以看到微擾論的應(yīng)用限度。如準(zhǔn)到一級，可以看出，完全是分立能級。但事實(shí)上，當(dāng)時，粒子是自由的。因此，能級是連續(xù)的，可取任何值。所以，要一級修正比較精確，則必須從這可以看到微擾論的應(yīng)用限度。22即經(jīng)典和量子的差別:經(jīng)典粒子不能運(yùn)動到

區(qū)域中去。而在量子力學(xué)中，粒子有一定幾率在

即23區(qū)域中。在這區(qū)域中，有所以粒子受到的排斥力比處于純諧振子勢中的粒子小。以至于，北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講24

事實(shí)上，由于

由定理可證得

例2．求氦原子的基態(tài)能量

事實(shí)上，由于25設(shè)：

的基態(tài)為

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講26即

即27

于是以方向為Z方向,所以

于是28北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講29

由于

30北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講31

所以，準(zhǔn)至一級的能量為

B．二級微擾：當(dāng)微擾較大時，或一級微擾為零時，則二級微擾就變得重要了。由項得所以，準(zhǔn)至一級的能量為32

以進(jìn)行標(biāo)積得

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講33以進(jìn)行標(biāo)積得以進(jìn)行標(biāo)積得34所以準(zhǔn)至二級的能量和波函數(shù)北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講35

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講36北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講37

由準(zhǔn)至二級的歸一化波函數(shù)為

由38

顯然，要使近似解逼近真實(shí)解，就要恰當(dāng)選取，，而且要求

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講39這樣取一級近似才可以滿足精度要求。

例：剛體轉(zhuǎn)子的斯塔克效應(yīng)（StarkEffect）將體系置于外電場中，能級發(fā)生移動的現(xiàn)象稱為StarkEffect。設(shè)：轉(zhuǎn)子的角動量為，電偶極為，當(dāng)置于均勻外電場中（取電場方向為z）

這樣取一級近似才可以滿足精度要求。40

顯然（有重簡并）由于

顯然41

因此，運(yùn)算到的本征態(tài)上，不改變其本征值由遞推關(guān)系

因此，運(yùn)算到的本征態(tài)上，不改變42于是所以，盡管每一條能級有重簡并。但是，對某一態(tài)有相互作用的是那些同能級。因此，如考慮未微擾的能級態(tài)為，則只需要考慮，。而（）對和都沒有任何影響。所以，可看作“沒有簡并”的態(tài)。從而可用非簡并

于是43微擾論來處理。

微擾論來處理。44

由這可看出，簡并部分解除（同不同的能量不同，但相同） 和態(tài)仍簡并，即重簡并條（不簡并，而其他的為二重簡并）。

45

簡并的解除，實(shí)際上是的對稱性被破壞。如沒有完全解除，那實(shí)際上對稱性沒有完全被破壞。（2）堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常塞曼效應(yīng)

A．堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)

堿金屬原子有一個價電子，它受到來自原子核和其他電子提供的屏蔽庫侖場作用，，價電子的哈密頓量為

簡并的解除，實(shí)際上是的對稱性被破46

取選力學(xué)量完全集則能量與無關(guān)。

47

所以,的本征值及徑向波函數(shù)是與 無關(guān)。

48（對和是簡并的）

一級微擾

49對所以，一級微擾修正與有關(guān)對50前面已討論過

因此，這即觀測到的納光譜的雙線結(jié)構(gòu)的原因。

B．反常塞曼效應(yīng)：在較強(qiáng)磁場中()，原子光譜線分裂的現(xiàn)象（一般分為三條），稱為正常塞曼效應(yīng)。即使考慮自旋（而自旋－軌道耦合和項可忽）也同樣（因）。

前面已討論過51北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講52

當(dāng)磁場較弱時，與引起的附加能量可比較時，就不能忽略自旋－軌道相互作用項而僅考慮項。這時，哈密頓量（在均勻外磁場下）取方向為方向，當(dāng)磁場較弱時，與引起53

則(忽略)這時（簡并度為，即對簡并）

[選]

則54

是磁場為零時的能量本征方程的本征值。當(dāng)置入弱磁場（均勻，取方向），而引起能級移動，在一級微擾下是磁場為零時的能量本征方程的本征值。55北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講56

所以，當(dāng)放入弱磁場中，能級由根據(jù)偶極躍遷選擇定則所以，當(dāng)放入弱磁場中，能級由57

—有四條光譜線

—有四條光譜線58北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講59北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第26講60北京大學(xué)量子力