江蘇省南京市第二中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

江蘇省南京市第二中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.（2009江西卷文）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當(dāng)時，，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C解析：,故選C.2.已知集合，則（

）A．

B． C．

D．參考答案：D3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i，則|z|=(

)A．1 B． C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【專題】計(jì)算題；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再求模即可．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足=i，∴z==i，∴|z|=1，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．4.橢圓=1（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)為F1，若橢圓上存在一個點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，另一個焦點(diǎn)F2，利用OM是△FPF2的中位線，以及橢圓的定義求出直角三角形OMF1的三邊之長，使用勾股定理求離心率．【解答】解：設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，另一個焦點(diǎn)F2，由題意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位線，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由橢圓的定義知

PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得離心率e==，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用離心率公式和橢圓的定義：橢圓上任一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a．5.下列說法正確的個數(shù)是（

）①“若a+b≥4，則a，b中至少有一個不小于2”的逆命題是真命題②命題“設(shè)a，b∈R，若a+b≠6，則a≠3或b≠3”是一個真命題③“”的否定是“”④a+1＞b是a＞b的一個必要不充分條件A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C對于①，原命題的逆命題為：若中至少有一個不小于，則，而滿足中至少有一個不小于，但此時，故①是假命題；對于②，此命題的逆否命題為“設(shè)，若且，則”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，故②是真命題；對于③“”的否定是“”，故③是假命題；對于④，由可推得，故④是真命題，故選C．6.要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象()

A．向左平移個單位

B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位參考答案：B7.某交高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查.這種抽樣方法是(A)簡單隨機(jī)抽樣法

(B)抽簽法

(C)隨機(jī)數(shù)表法

(D)分層抽樣法參考答案：D

【解析】本小題主要考查抽樣方法。若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣。故選D。8.從中任取個數(shù)字,可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有（

）

A.個

B.個

C.個

D.個參考答案：C略9.已知，則（）A．

B． C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】指數(shù)與指數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)B6B7【答案解析】A

，則b>a>1,由得0<c<1,所以b>a>c,所以，故選A.【思路點(diǎn)撥】先利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果。10.函數(shù)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】的周期是2π，最大值為，最小值為﹣，即可求出相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離．【詳解】的周期是2π，最大值為，最小值為﹣，∴相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為半個周期π，縱坐標(biāo)之差為，∴圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)y＝Acos（ωx+）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域的面積為，2x+y的最大值為，其對應(yīng)的最優(yōu)解為

．參考答案：8，11，（6，﹣1）．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，從而求出三角形的面積，令z=2x+y，變形為y=﹣2x+z，顯然直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時，z最大，進(jìn)而求出最大值和最優(yōu)解．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，∴點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域的面積為：S△ABC=×8×2=8，令z=2x+y，則y=﹣2x+z，當(dāng)直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其對應(yīng)的最優(yōu)解為（6，﹣1），故答案為：8，11，（6，﹣1）．12.極坐標(biāo)系下曲線表示圓，則點(diǎn)到圓心的距離為

；

參考答案：略13.已知正數(shù)滿足，則的最小值為

．參考答案：14.三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人都選擇其中兩個項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是

.參考答案：略15.若變量x，y滿足約束條件則z=3x–y的最大值是___________.參考答案：9根據(jù)不等式組約束條件可知目標(biāo)函數(shù)在(3,0)處取得最大值為9.

16.已知以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線C，焦點(diǎn)在x軸上，直線x-y=0與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)。若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為

。參考答案：17.在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為，則與交點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為___________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為。（1）求的值；（2）求的值．參考答案：（1）；（2）．試題分析：（1）由題意A，B的橫坐標(biāo)分別為，先確定的值，從而確定的值，先求，再根據(jù)兩角和差公式求得的值；（2）可先求的值，再由的范圍確定的值．試題解析：由條件得，為銳角，故．同理可得，因此．（1）?！啵?），∵

，從而．考點(diǎn)：（1）三角函數(shù)的定義；（2）兩角和差的正切公式．19.（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)．

（1）若在處的切線與直線平行，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

求證：．參考答案：（1）;（2）時，在上單調(diào)遞增,②時，單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（3）見解析（1）由題知的定義域?yàn)?，且．又∵的圖象在處的切線與直線平行，∴，即解得………4分（2），由，知>0．①當(dāng)時，對任意，在上單調(diào)遞增。②當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為……9分（3）不妨設(shè)，且，由（2）知，則要證成立，只需證：即．∵，，兩式相減得：，即，∴，故只需證，即證明，即證明，變形為，設(shè)，令，則，顯然當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，=0，∴在上是增函數(shù)．

又∵，

∴當(dāng)時，總成立，命題得證．…14分20.某分公司經(jīng)銷某種品牌的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a（3≤a≤5）元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x（9≤x≤11）元時，一年的銷售量為（12﹣x）2萬件．（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）．參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：應(yīng)用題．分析：（1）根據(jù)題意先求出每件產(chǎn)品的利潤，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)L與x的函數(shù)關(guān)系式先求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令L′（x）=0便可求出極值點(diǎn)，從而求出時最大利潤，再根據(jù)a的取值范圍分類討論當(dāng)a取不同的值時，最大利潤各為多少．解答： 解：（1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a兩側(cè)L′的值由正值變負(fù)值．所以，當(dāng)8≤6+a≤9，即3≤a≤時，Lmax=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；當(dāng)9＜6+a≤，即＜a≤5時，Lmax=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2=4（3﹣a）3，即當(dāng)3≤a≤時，當(dāng)每件售價(jià)為9元，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）萬元；當(dāng)＜a≤5時，當(dāng)每件售價(jià)為（6+a）元，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）3萬元．點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法以及利用導(dǎo)數(shù)來求得函數(shù)的最值問題，是各地2015屆高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時注意自變量的取值范圍以及分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，屬于中檔題．21.設(shè)和是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，其中.（1）若，求的取值范圍；（2）若,求的最大值(注:是自然對數(shù)的底數(shù)).參考答案：(Ⅰ)解