定積分在物理中的應(yīng)用

定積分在物理中的應(yīng)用第1頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月【課標(biāo)要求】1．通過具體實(shí)例了解定積分在物理中的應(yīng)用．2．會(huì)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移和變力作功問題．【核心掃描】利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移和變力所作的功．

(重點(diǎn))第2頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月自學(xué)導(dǎo)引定積分在物理中的應(yīng)用變速直線運(yùn)動(dòng)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即變力作功如果物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動(dòng)到x＝b(a<b)，那么變力F(x)所作的功為第3頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月想一想：利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移是同一個(gè)式子嗎？

提示路程是標(biāo)量，位移是矢量，路程和位移是兩個(gè)不同的概念，(1)當(dāng)v(t)≥0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的路程和位移均用 求解； (2)當(dāng)v(t)<0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的位移用求解，這一時(shí)段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為－.第4頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月名師點(diǎn)睛1．在變速直線運(yùn)動(dòng)中求路程、位移

路程是位移的絕對值之和，從時(shí)刻t＝a到時(shí)刻t＝b 所經(jīng)過的路程S和位移S′分別為： (1)若V(t)≥0，則S＝V(t)dt，S′＝V(t)dt. (2)若V(t)≤0，則S＝－V(t)dt，S′＝V(t)dt. (3)若在區(qū)間[a，c]上，V(t)≥0，在區(qū)間[c，b]上V(t)<0， 則s＝V(t)dt－V(t)dt；S′＝V(t)dt.第5頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2．定積分在物理中的應(yīng)用 (1)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s＝v(t)dt. (2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與F相同的方向移動(dòng)了s(單位：m)，則力F所作的功為W＝Fs；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間[a，b]上的定積分，即W＝F(x)dx.第6頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s在數(shù)值上其實(shí)就是時(shí)間一速度坐標(biāo)系中對應(yīng)曲邊梯形的面積，而變力做功實(shí)際上也是位移—力坐標(biāo)系中對應(yīng)曲邊梯形的面積．在變力做功時(shí)，不限定F(x)為非負(fù)數(shù)，這樣求出來的定積分可能為負(fù)數(shù)．當(dāng)定積分為負(fù)數(shù)時(shí)，說明變力做負(fù)功，即克服變力做了功．第7頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月題型一求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移【例1】

有一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t時(shí)的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求 (1)P從原點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)t＝6時(shí)，求點(diǎn)P離開原點(diǎn)的路程和位移； (2)P從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t后又返回原點(diǎn)時(shí)的t值． [思路探索]第8頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即當(dāng)0≤t≤4時(shí)，P點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t>4時(shí)，P點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．故t＝6時(shí)，點(diǎn)P離開原點(diǎn)的路程當(dāng)t＝6時(shí)，點(diǎn)P的位移為第9頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)依題意(8t－2t2)dt＝0，第10頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和路程問題時(shí)，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵．(2)路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時(shí)，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間，然后分別計(jì)算，否則會(huì)出現(xiàn)計(jì)算失誤．第11頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月【變式1】

變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v(t)＝1－t2，初始位置為x0＝1，求它在前2秒內(nèi)所走的路程及2秒末所在的位置． 解當(dāng)0≤t≤1時(shí)，v(t)≥0，當(dāng)1≤t≤2時(shí)，v(t)<0. 所以前2秒鐘內(nèi)所走的路程第12頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月題型二求變力所作的功【例2】

在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個(gè)活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推到b處，計(jì)算在移動(dòng)過程中，氣體壓力所做的功．力F對物體所做的功為W＝F·S，求出變力F的表達(dá)式是本題中求功的關(guān)鍵．第14頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月【題后反思】解決變力作功注意以下兩個(gè)方面：(1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關(guān)鍵的一步．(2)根據(jù)變力作功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題．第16頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)槲恢脹Q定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定積分，而路程是位移的絕對值之和，所以需要判斷在[0,4]上，哪個(gè)時(shí)間段的位移為負(fù)．第19頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁