概率2-4隨機(jī)變量函數(shù)的分布課件

第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié)布置作業(yè)第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度.一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義有,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)

,

對(duì)于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在上連續(xù)則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)為X的概率二、概率密度的性質(zhì)1o2of(x)xo面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件二、概率密度的性質(zhì)1o2of(x)xo面積為1這兩條利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在點(diǎn)x

處連續(xù),則有利用概率密度可確對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,(x1<

故

X的密度f(x)

在x

這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解:故X的密度f(x)在x這一點(diǎn)的值，若不計(jì)高階無窮小，有表示隨機(jī)變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.若不計(jì)高階無窮小，有表示隨機(jī)變量X取值于

要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f(x)xoa要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a(1)連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即這是因?yàn)檎?qǐng)注意:當(dāng)時(shí)得到(1)連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即(2)對(duì)連續(xù)型r.vX,有由P(B)=1,不能推出B=由P(A)=0,不能推出(2)對(duì)連續(xù)型r.vX,有由P(B)=1,不概率2-4隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件概率2-4隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件概率2-4隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件概率2-4隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量若r.vX的概率密度為：記作1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X概率2-4隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的

例2

某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)

以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位例2某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班

為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命.2.指數(shù)分布若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命若X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為事實(shí)上,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),若X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為事實(shí)上3.正態(tài)分布

若連續(xù)型r.vX的概率密度為記作其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布.3.正態(tài)分布若連續(xù)型r.vX的概率密度事實(shí)上,事實(shí)上,則有曲線關(guān)于軸對(duì)稱；則有曲線關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；x=μ

σ為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)在上單調(diào)增加,在上當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線

根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖.當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點(diǎn)決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布的分布函數(shù)設(shè)X~,X

正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用概率2-4隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件的性質(zhì):事實(shí)上,的性質(zhì):事實(shí)上,

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可證Z的分布函數(shù)為則有證Z的分布函數(shù)為則有

根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.于是根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可

書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.正態(tài)分布表當(dāng)x<0

時(shí),表中給的是x>0時(shí),Φ(x)的值.書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)若若X～N(0,1),~N(0,1)

則若若X～N(0,1),~N(0,1)則由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時(shí)，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743準(zhǔn)則由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”

.~N(0,1)

時(shí)，將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,可以認(rèn)為，Y的取值幾乎標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)設(shè)若數(shù)滿足條件則稱點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)設(shè)若數(shù)滿足條件則稱點(diǎn)解P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子:

例

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求解P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.因?yàn)閄～N(170,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.所以