十一章第一節(jié)歐幾里得空間上的基本定理課件

第十一章:Euclid空間的極限和連續(xù)第一節(jié)：Euclid空間的基本定理第十一章:第一節(jié)：Euclid空間的基本定理主要內(nèi)容主要內(nèi)容十一章第一節(jié)歐幾里得空間上的基本定理ppt課件（1）n維空間及物理意義實(shí)數(shù)x一一對(duì)應(yīng)數(shù)軸點(diǎn).數(shù)組(x,y)實(shí)數(shù)全體表示直線(一維空間)一一對(duì)應(yīng)平面點(diǎn)(x,y)全體表示平面(二維空間)數(shù)組(x,y,z)一一對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)(x,y,z)全體表示空間(三維空間)推廣：n維數(shù)組(x1,x2,…,xn)全體稱為n維空間，記為一、Eucid空間點(diǎn)集相關(guān)概念（1）n維空間及物理意義實(shí)數(shù)x一一對(duì)應(yīng)數(shù)軸點(diǎn).數(shù)組(十一章第一節(jié)歐幾里得空間上的基本定理ppt課件（3）Euclid空間在n維空間Rn上定義加法和數(shù)乘運(yùn)算：（2）向量空間則Rn成為向量空間。

在n維向量空間Rn上定義內(nèi)積運(yùn)算：（3）Euclid空間在n維空間Rn上定義加法和數(shù)乘運(yùn)算：則Rn成為Euclid空間。其中內(nèi)積有如下性質(zhì)：

(i)正定性：<x,x>≥0,而<x,x>=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0;(ii)對(duì)稱性:<x,y>=<y,x>;(iii)線性性:<ax+by,z>=a<x,z>+b<y,z>;(iv)Schwarz不等式:<x,y>2≤<x,x><y,y>.則Rn成為Euclid空間。其中內(nèi)積有如下性質(zhì)：(i)正定（4）Euclid空間中的距離定義：(5)距離有下面的性質(zhì):(i)正定性:|x-y|≥0,|x-y|=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y;(ii)對(duì)稱性:|x-y|=|y-x|;(iii)三角不等式:|x-z|≤|x-y|+|x-z|;（4）Euclid空間中的距離定義：(5)距離有下面的性質(zhì):一、平面點(diǎn)集R中鄰域一、平面點(diǎn)集R中鄰域（1）R2鄰域°點(diǎn)的去心鄰域定義為：（1）R2鄰域°點(diǎn)的去心鄰域定義為：平面點(diǎn)集：

(2)(3)平面點(diǎn)集：(2)(3)圖10–1

(a)

圓C

(b)矩形S

圖10–2

(a)

圓鄰域

(b)

方鄰域

圖10–1(a)圓C(b)矩形SRn中的鄰域°Rn中的鄰域°Rn中點(diǎn)列收斂概念:定義:設(shè){xk}是Rn中的點(diǎn)列,若存在Rn中的點(diǎn)a,使得對(duì)于任意的,存在正整數(shù)K,成立,則稱{xk}收斂于a或者a是{xk}的極限.記為定理:的充分必要條件是Limk→∞xi

k=ai.Rn中點(diǎn)列收斂概念:定義:設(shè){xk}是Rn中的點(diǎn)列,若存定義：設(shè)S是Rn上的點(diǎn)集，如果存在正數(shù)M，使得對(duì)任意x∈S,有||x||≤M,則稱S是有界集。否則稱為無界點(diǎn)集.有界；無界．例如，定義：設(shè)S是Rn上的點(diǎn)集，如果存在正數(shù)M，使得對(duì)任意有界；無（2）區(qū)域例如，即為開集．內(nèi)點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)：開集：開集.（2）區(qū)域例如，即為開集．內(nèi)點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)：開集：開集.邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn).連通：連通的.邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn).連通：連通的.開區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，開區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，（3）聚點(diǎn)（1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：（2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn),也可能不是聚點(diǎn)；例如，(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．若在x的一個(gè)鄰域，只有x∈E，則稱x是E的孤立點(diǎn)。（3）聚點(diǎn)（1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：（2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)（3）點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)

是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．點(diǎn)x是E的聚點(diǎn)的充分必要條件是存在E的點(diǎn)列xn,xn≠x,且xn的極限等于x.（3）點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,十一章第一節(jié)歐幾里得空間上的基本定理ppt課件例如，閉區(qū)域：例如，閉區(qū)域：十一章第一節(jié)歐幾里得空間上的基本定理ppt課件例：證明:對(duì)任何恒為閉集.

證如圖所示,設(shè)的任一聚點(diǎn)，欲證（即亦為的界

點(diǎn)）.為此由聚點(diǎn)定義，

再由為界點(diǎn)的定義,

在

例：證明:對(duì)任何恒為閉集.的點(diǎn).由此推知在

內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,

為的界點(diǎn),即,也就證得

為閉集．

注類似地可以證明:對(duì)任何點(diǎn)集

亦恒為閉集.

內(nèi)既有的點(diǎn),又有非

的點(diǎn).所以,由的點(diǎn).由此推知在內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,為的界點(diǎn)集E的直徑的定義：對(duì)于一個(gè)集合E，按照上面的方式定義直徑是合理的，因?yàn)楫?dāng)E是圓盤時(shí)，diam(E)=直徑。點(diǎn)集E的直徑的定義：對(duì)于一個(gè)集合E，按照上面的方式定義直徑點(diǎn)集的一些性質(zhì):(1)x是S的聚點(diǎn)的充分必要條件是:存在S的點(diǎn)列{xk|xk∈S,xk≠x},使得Limk→∞xk=x.(2)S為閉集的充分必要條件為Sc是開集.(3)任意組開集的并是開集;(4)任意組閉集的交是閉集;(5)有限個(gè)開集的交是開集;(6)有限個(gè)閉集的并是閉集;點(diǎn)集的一些性質(zhì):(1)x是S的聚點(diǎn)的充分必要條件是:(2)SDeMorgan公式:設(shè){Sa}是(有限或者無限)Rn中的子集合,則DeMorgan公式:設(shè){Sa}是(有限或者無限)Rn中的二、Euclid空間基本定理（1）閉矩形套定理11.1.6:設(shè)是一列矩形套，如果則存在唯一點(diǎn)a∈每個(gè)△k.二、Euclid空間基本定理（1）閉矩形套定理11.1.6:（2）Cantor閉區(qū)域套定理11.1.6':設(shè)是一列閉區(qū)域套，如果則存在唯一點(diǎn)a∈每個(gè)Sk.（3）一個(gè)應(yīng)用及其推廣：（2）Cantor閉區(qū)域套定理11.1.6':設(shè)是一列閉區(qū)域Bolzano-Weierstrass定理11.1.7：定理：Rn上的有界點(diǎn)列{xn}必有收斂子列。證明：推論：Rn上的有界無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)（聚點(diǎn)定理）

。Bolzano-Weierstrass定理11.1.7：定理Cauchy收斂原理11.1.8：定義：Rn中的點(diǎn)列{xn}滿足：對(duì)于任意的∈>0,存在正整數(shù)K，使得對(duì)任意的k,l>K,成立|xl-xk|<∈，稱{xk}為基本列（或者Cauchy列）。定理：Rn中的點(diǎn)列{Pn}收斂的充分必要條件是：{Pn}是基本列。Cauchy收斂原理11.1.8：定義：Rn中的點(diǎn)列{xn證（必要性）應(yīng)用三角形不等式,立刻得到證（必要性）應(yīng)用三角形不等式,立刻得到這說明{xn}和{yn}都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則,

所以它們都收斂.

由點(diǎn)列收斂概念,推知

{

Pn

}

收斂于點(diǎn)P0(x0,y0).

這說明{xn}和{yn}都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西Heine-Borel定理11.1.9（緊集判斷定理）：定義：設(shè)S是Rn的一個(gè)子集，如果Rn中的一組開集{Ua|

a∈A}滿足∪a∈AUa包含S，稱{Ua}是S的一個(gè)開覆蓋。如果S的每個(gè)開覆蓋{Ua}中總存在一個(gè)有限的子覆蓋，稱S是緊集。定理：S是緊集的充分必要條件是：S是有界閉集。

Heine-Borel定理11.1.9（緊集判斷定理）：定義三個(gè)等價(jià)結(jié)論11.1.10：定理：設(shè)E是Rn的子集合，那么以下三個(gè)命題等價(jià)（1）E是有界閉集合；（2）E是緊集合；（3）E的任意無限子集在E中必有聚點(diǎn)。其中(1)和（2）的等價(jià)性由Heine-Borel定理給出。三個(gè)等價(jià)結(jié)論11.1.10：定理：設(shè)E是Rn的子集合，那么以證(1)→(3)設(shè)Eq是E的無限子集，推論11.1.1得必有聚點(diǎn).又因的聚點(diǎn)亦為E的聚點(diǎn),而E是

閉集,所以該聚點(diǎn)必屬于

E．

(3)→(1)先證E為有界集.倘若E為無界集,則

存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列易見這個(gè)子集無聚點(diǎn),

這與已知條件相矛盾.

再證

E為閉集.為此設(shè)P0為E的任一聚點(diǎn),由聚

點(diǎn)的等價(jià)定義,存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列

使

證(1)→(3)設(shè)Eq是E的無限子集，推論11.1.1現(xiàn)把看作,由條件的聚點(diǎn)(即)必屬于

E,所以E為閉集.

現(xiàn)把看作,由條件用閉域套定理證明聚點(diǎn)定理：E為有界無限點(diǎn)集,則

E至少有一個(gè)聚點(diǎn).

證

現(xiàn)用閉域套定理來證明.由于E有界,因此存

在一個(gè)閉正方形.如圖所示,把D1分成四個(gè)相同的小正方形,則在其中至少有一小閉

正方形含有E中無限多個(gè)點(diǎn),把它記為D2.再對(duì)

用閉域套定理證明聚點(diǎn)定理：E為有界無限點(diǎn)集,則E至少圖10–8

D2如上法分成四個(gè)更小

的正方形,其中又至少有一個(gè)小閉正方形含有E

的無限多個(gè)點(diǎn).如此下去,

得到一個(gè)閉正方形序列：很顯然,

{

Dn

}

的邊長(zhǎng)隨著而趨于零.

于是由閉域套定理,存在一點(diǎn)圖10–8D2如上法分成四個(gè)更小的最后,由區(qū)域套定理的推論,

又由Dn的取法,知道含有E的無限多個(gè)點(diǎn),這就證得了M0是E的聚點(diǎn).

推論

任一有界無限點(diǎn)列

必存在收斂子

列最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含作業(yè)：第119頁：第2,4,5,8,13,14題作業(yè)：第119頁：第2,4,5,8,13,14題本節(jié)涉及數(shù)學(xué)家：Euclid:古希臘數(shù)學(xué)家，公元前330年生于雅典，代表作：幾何原本，十三卷。公元前275年卒。Cantor:德國(guó)數(shù)學(xué)家，1845年生于德國(guó)，集合論的創(chuàng)始人。1918年卒。Weieratrass:19世紀(jì)下半葉德國(guó)數(shù)學(xué)家，生于1815年德國(guó)，數(shù)學(xué)分析大師，一是建立了實(shí)數(shù)理論，二是建立了極限理論。1897年卒。本節(jié)涉及數(shù)學(xué)家：Euclid:古希臘數(shù)學(xué)家，公元前330年生AugustusDeMorgan:1806-1871，生于India,移住英國(guó)，主要著作《FormalLogic》，首先使用規(guī)范數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)很多，見/projects/reals/history/demorgan.html。ReneDescartes:1596-1650,法國(guó),西方近代資產(chǎn)階級(jí)哲學(xué)的奠基人之一,數(shù)學(xué)家,自然科學(xué)家.<幾何學(xué)>是他的公開發(fā)表的唯一的數(shù)學(xué)著作標(biāo)志著解析幾何的誕生.恩格斯說:“數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是迪卡爾的變數(shù).”AugustusDeMorgan:1806-1871，生Bolzano：1781-1848，捷克數(shù)學(xué)家http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano.html,與Weierstrass有過合作研究,主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)和哲學(xué)。Heine：1821-1881，德國(guó)數(shù)學(xué)家，主要貢獻(xiàn)在給出一致連續(xù)概念，研究興趣在sphericalfunctions,Laméfunctions,andBesselfunctions.發(fā)表超過50篇論文。Borel：1871-1956，法國(guó)數(shù)學(xué)家