《數(shù)學(xué)史》教學(xué)講解課件

第三章中世紀的中國數(shù)學(xué)主講人：翟影

搜集資料：劉玲

ppt制作：李艾娟3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》第三章中世紀的中國數(shù)學(xué)主講人：翟影13.1.1古代背景

第一章中已涉及了中國遠古數(shù)與形概念的萌芽。殷商甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國時代，又開始出現(xiàn)嚴格的十進位值制籌算記數(shù)。

《孫子算經(jīng)》中記載的籌算記數(shù)法則說：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵。千十相望，百萬相當”。

3.1.1古代背景第一章中已涉及了中國2

縱式用來表示個位、百位、萬位，……數(shù)字；橫式用來表示十位、千位、十萬位、……數(shù)字。縱、橫相間，零則以空位表示。這樣，數(shù)76031用算籌表示出來是。這種十進位值記數(shù)法是中國古代數(shù)學(xué)對人類文明的特殊貢獻。

關(guān)于幾何學(xué)，《史記》“夏本紀”記載說：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準繩”?！耙?guī)”是圓規(guī)，“矩”是直尺，“準繩”則是確定鉛垂方向的器械?？v式用來表示個位、百位、萬位，……數(shù)字；橫式3中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨4

商代(又稱殷代，約公元前17世紀～約前11世紀)：1899年在河南安陽發(fā)掘出來的殷墟龜甲和獸骨上所刻的象形文字(甲骨文，公元前14世紀)。自然數(shù)的記法：10進位制，最大的數(shù)字是3萬。

商代(又稱殷代，約公元前17世紀～約前11世紀)5中國古代數(shù)學(xué)的萌芽與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。

中國古代數(shù)學(xué)的萌芽與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲6周(約公元前11世紀～公元前256年)：奴隸制經(jīng)濟獲得進一步的發(fā)展.“數(shù)”作為六藝之一，開始形成一個學(xué)科。算籌記數(shù)和四則運算已經(jīng)開始

春秋戰(zhàn)國時期：人們已經(jīng)能熟練地進行籌算。周(約公元前11世紀～公元前256年)：奴隸制經(jīng)濟獲得7中國古代數(shù)學(xué)的萌芽

“數(shù)學(xué)”一詞相當于我國古代的“算術(shù)”

數(shù)學(xué)一詞，在中國最早出現(xiàn)在12世紀宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務(wù)究造化之源者，是數(shù)學(xué)”。中國古代數(shù)學(xué)的萌芽“數(shù)學(xué)”一詞相當于我國古代的“8中國古代數(shù)學(xué)的萌芽戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。儒家以“九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以《周易》象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托.墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨經(jīng)》的邏輯學(xué)為其論說的工具。名家認為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。中國古代數(shù)學(xué)的萌芽戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其9墨家墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。墨家墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進10中國古代數(shù)學(xué)的萌芽名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對中國古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。

中國古代數(shù)學(xué)的萌芽名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序113.1.2《周髀算經(jīng)》

在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，《周髀算經(jīng)》是最早的一部。作者不祥，成書年代應(yīng)不晚于公元前2世紀西漢時期，但書中涉及的數(shù)學(xué)、天文知識，有的可追溯到西周（公元前11世紀-前8世紀）。這部著作實際上是從數(shù)學(xué)上討論“蓋天說”（天圓地方）宇宙模型，反映了中國古代數(shù)學(xué)與天文學(xué)的密切聯(lián)系。從數(shù)學(xué)上看，《周髀算經(jīng)》主要的成就是分數(shù)運算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出?！爸荀隆笔菧y量日影的工具—八尺長竿3.1.2《周髀算經(jīng)》在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)12《周髀算經(jīng)》上卷:勾股定理的證明昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！?/p>

《周髀算經(jīng)》上卷:勾股定理的證明昔者周公問于商高曰：“13“勾廣三,股修四,徑隅五”商高定理-----勾股定理返回“……以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開方除之,得邪至日.”“勾廣三,股修四,徑隅五”商高定理-----勾股定理返回“…14古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期周人的測日影表古代認為夏至?xí)r立一8尺高的標竿，它的影長正好是6尺?！扒笮爸寥照?，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日從髀所旁至日所十萬里?！惫诺鋽?shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期周人的測日影表15影差d=后影長BD—前影長AC=b—a表距AB=e日前表后表前影后影南戴日下日遠日高A’B’OAaCBbDSO’hhhc日高公式（重差術(shù)）影差d=后影長BD—前影長AC=b—a表距AB16

中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家，是公元3世紀三國時期的趙爽（吳）。趙爽注《周髀算經(jīng)》，作“勾股圓方圖”，其中的“弦圖”，相當于運用面積的出入相補證明了勾股定理。

考察以一直角三角形的勾和股為邊的兩個正方形的合并圖形，其面積應(yīng)有如果將這合并圖形所含的兩個三角形移補到圖中所示的位置，將得到一個以原三角形之弦為邊的正方形，其面積應(yīng)為，因此

中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家，是17古代數(shù)學(xué)家趙爽趙爽，又名嬰，字君卿，中國數(shù)學(xué)家。東漢末至三國時代吳國人。他是我國歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家。生平不詳，約生活于公元3世紀初。趙爽的《周髀算經(jīng)注》逐段解釋《周髀》經(jīng)文。

古代數(shù)學(xué)家趙爽趙爽，又名嬰，字君卿，中國數(shù)學(xué)家。東漢末至三國183.1.3《九章算術(shù)》

《九章算術(shù)》是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作。成書年代至遲在公元前1世紀，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。

《周禮》記載,西周貴族子弟必學(xué)的六門課程（“六藝”）中有一門是“九數(shù)”，劉徽《九章算術(shù)注》“序”中就稱《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼（?-公元前152）、耿壽昌等人刪補。

《九章算術(shù)》采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章。3.1.3《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》是中國古19中國古代數(shù)學(xué)體系形成《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來說，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。例如分數(shù)四則運算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數(shù)運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨立體系。中國古代數(shù)學(xué)體系形成20《九章算術(shù)》的內(nèi)容是由周代的“九數(shù)”發(fā)展而來的。劉徽稱：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”。

《九章算術(shù)》標志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識體系已初步形成。代表了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方法的特點：注重實際問題的數(shù)值計算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨有的計算工具和程序化計算方法明代刊印的《九章算術(shù)注》

《九章算術(shù)》的內(nèi)容是由周代的“九數(shù)”發(fā)展而來的。劉徽稱：“周21中國古代數(shù)學(xué)體系形成《九章算術(shù)》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當時的數(shù)學(xué)教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。中國古代數(shù)學(xué)體系形成《九章算術(shù)》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，22

1.方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界上最早對分數(shù)進行系統(tǒng)敘述的著作。

2.粟米：組好事糧食交易的計算方法，其中涉及許多比例問題。

3.衰（讀作“翠”）分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。

4.少廣：主要講開平方和開立方的方法。

5.商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學(xué)問題，以體積的計算為主。

6.均輸：計算稅收等更加復(fù)雜的比例問題。

7.盈不足：雙設(shè)法的問題。

8.方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負數(shù)的加減法，在世界數(shù)學(xué)史上是第一次出現(xiàn)。

9.勾股：勾股定理的應(yīng)用?！毒耪滤阈g(shù)》的內(nèi)容1.方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界《23(一）算術(shù)方面

（1）分數(shù)四則運算法則?！毒耪滤阈g(shù)》“方田”章給出了完整的分數(shù)加、減、乘、除以及約分和通分運算法則。

（2）比例算法?！毒耪滤阈g(shù)》“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，并提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問題的基本算法。（3）盈不足術(shù)?！坝蛔恪毙g(shù)是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設(shè)來求繁難算術(shù)問題的解的方法。“盈不足術(shù)”在中世紀阿拉伯數(shù)學(xué)著作中稱為“契丹算法”，即中國算法。

(一）算術(shù)方面（1）分數(shù)四則運算法則?！毒耪滤?4（二）代數(shù)方面（1）方程術(shù)?！胺匠绦g(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法。

（2）正負術(shù)?！毒耪滤阈g(shù)》在代數(shù)方面的另一項突出貢獻是負數(shù)的引進。(3)開方術(shù)?！毒耪滤阈g(shù)》“少廣”章有“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法?！毒耪滤阈g(shù)》開方術(shù)本質(zhì)上是一種減根變換法，開創(chuàng)了后來開更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。

（二）代數(shù)方面（1）方程術(shù)?！胺匠绦g(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法25（三）幾何方面

《九章算術(shù)》“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題。其中“方田”章討論面積問題，“商功”章討論體積問題，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用。

各種幾何圖形的名稱就反映著它們的現(xiàn)實來源。如平面圖形有“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“箕(ji)田”（梯形）、“圓田”（圓）、“弧田”（弓形）、“環(huán)田”（圓環(huán)）等；